Геометрия холста и карт

На протяжении истории то, как люди изображают пространство — будь то на картине или на карте — радикально менялось. Эти трансформации определялись не только сменой эстетических идеалов, но, в первую очередь, новыми математическими моделями, которые предлагали принципиально иной способ видения и осмысления мира.


1. Сакральная «геометрия»: пространство как символ

До эпохи Ренессанса в европейской культуре доминировала теоцентрическая модель мира. Геометрия в ней служила не инструментом измерения, но языком сакрального порядка.
В иконописи это проявлялось через систему обратной перспективы: параллельные линии расходились от зрителя, а размер фигуры определялся её местом в духовной иерархии, а не законами оптики. Как показал академик Б.В. Раушенбах, это не было «ошибкой» или неумением — такая система отражает работу мозга, синтезирующего зрительные образы в процессе движения глаз. Цель этой «духовной геометрии» заключалась не в имитации видимого мира, а в выражении мира вечного, где физическая реальность подчинена законам духа.
Этот принцип символического пространства находил отражение не только в искусстве, но и в картографии, создавая единую систему визуального мышления. Средневековые mappae mundi (например, знаменитая Херефордская карта XIII в.) помещали Иерусалим в центр мира, а размеры стран определялись их религиозной значимостью. Палестина изображалась крупнее Европы, реки чертились прямыми линиями (что символизировало божественный порядок), а расстояния измерялись в «днях пути паломника».
Математика здесь сводилась к символическим пропорциям. Например, отношение условной площади Иерусалима к площади Европы могло достигать 5:1, что грубо нарушало евклидову метрику, но идеально сохраняло теологическую гармонию. Эти карты были не навигационными инструментами, а визуальными молитвами, где геометрия служила проводником в мир божественного порядка.

2. Ренессанс: Евклид как язык реальности

Эпоха Возрождения, с её антропоцентризмом, совершила переворот: карта превратилась в инструмент познания Земли, а картина сделалась «окном в мир». Центральным символом этой революции стала линейная перспектива.
Это был не просто художественный приём, а строгая геометрическая система. Леон Баттиста Альберти в трактате «О живописи» (1435 г.) описал создание картины как математическую проекцию лучей зрения на плоскость, опираясь на авторитет Евклидовой геометрии. Холст превратился в прозрачное «окно», через которое зритель мог заглянуть в упорядоченное, измеренное и рассчитанное пространство. Художник стал не только творцом, но и инженером-расчётчиком, владеющим инструментами для точного переноса трёхмерной реальности на плоскость. Брунеллески экспериментально подтвердил это, создав зеркальный прибор: он нарисовал вид на флорентийский баптистерий на серебряной пластине, а затем сравнил его с реальным отражением через отверстие в рамке, демонстрируя идентичность изображения. Леонардо да Винчи довёл систему до виртуозности, подчинив её законам пропорции и сходимости линий к единой точке схода.
Но математизация пространства не ограничилась стенами мастерских. Она шагнула наружу, чтобы измерить саму Землю. Голландский астроном Виллеброрд Снеллиус в 1615 г. впервые применил метод триангуляции для точного расчёта расстояний между городами, используя церковные шпили как точки геодезической сети. В XVIII в. французские учёные, используя гигантские триангуляционные сети в экспедициях к экватору и полярному кругу, математически доказали сплюснутость Земли у полюсов — задолго до спутниковых снимков. Карта мира перестала быть схематичным рисунком; она стала точным, рассчитанным документом, продуктом геометрии и тригонометрии.
Ренессансная «революция расчёта» показала, что красота гармонии и точность измерения — две стороны одной медали. Она заложила рациональный фундамент современного визуального восприятия и пространственного мышления.

3. Перцептивная перспектива: синтез науки и нейрофизиологии

Ренессансная линейная перспектива и средневековая обратная перспектива долгое время рассматривались как исторические этапы, отражающие разные мировоззренческие парадигмы. Однако 1970-80-х годах академик Борис Викторович Раушенбах показал, что обе системы — лишь частные формы процесса зрительного наблюдения. Его теория перцептивной перспективы стала мостом между искусством, математикой и нейрофизиологией.
Будучи не только искусствоведом, но и крупным математиком и механиком, Раушенбах показал, что:
- Линейная перспектива (ренессансная) идеально работает только для статичного взгляда одного глаза, зафиксированного в строго определённой точке. Но в реальности человек смотрит двумя глазами, постоянно двигает головой и меняет угол зрения.
- Обратная перспектива (иконописная), хотя и учитывает некоторые особенности синтеза образов мозгом, является чрезмерно символической и не стремится к воссозданию реалистичного зрительного впечатления.
Ни та, ни другая система по отдельности не способна передать то, как мы видим мир на самом деле.
Учёный предложил рассматривать зрительное восприятие как сложный процесс, в котором мозг синтезирует единый образ из множества «снимков», сделанных с разных точек. Его модель перцептивной перспективы включает три ключевые зоны:
- Ближний план (до 1,5 метров): Здесь работает механизм, схожий с обратной перспективой. Рассматривая близкий объект (например, книгу), мы водим по нему глазами. Мозг «склеивает» эти отдельные изображения в единый образ, в котором объект как бы «разворачивается» навстречу зрителю.
- Дальний план (свыше 5-6 метров): Здесь вступают в силу законы, близкие к линейной перспективе. Удалённые объекты (здание на другом берегу реки) практически не искажаются при движении наших глаз.
- Средний план: В этой переходной зоне действует аксонометрия (параллельная перспектива), где параллельные линии остаются параллельными.
Таким образом, человеческое восприятие — это гибридная система, плавно переключающаяся между разными геометрическими моделями.
Раушенбах не ограничился качественным описанием. Он представил этот процесс математически, описав его как кусочно-непрерывную функцию, зависящую от дистанции до объекта.
Для описания преобразования глубины он ввёл понятие коэффициента искажения, который меняется в зависимости от дистанции. Математически преобразование можно описать через функцию, связывающую реальную глубину z и воспринимаемую глубину z': z' = f(z).
Здесь f(z) — нелинейная функция, приближающаяся к линейной зависимости на больших расстояниях (линейная перспектива) и дающая «обратный» эффект на близких (обратная перспектива).
Это объясняет, почему великие художники-реалисты (например, Веласкес или Серов) интуитивно нарушали строгие каноны линейной перспективы: они усиливали элементы обратной перспективы на переднем плане, чтобы добиться максимального эффекта жизнеподобия.
Теория Раушенбаха имела далеко идущие последствия:
- Реабилитация иконописи. Она окончательно сняла с обратной перспективы клеймо «невежества», показав её глубокую нейрофизиологическую обоснованность.
- Мост между культурами. Она объединила восточную (иконописную) и западную (ренессансную) традиции в единую теорию восприятия.
- Влияние на современные технологии. Принципы перцептивной перспективы нашли применение в компьютерной графике, VR и AR, где задача — создать максимально естественное изображение для подвижного зрителя.
Открытие Раушенбаха показало, что истина не в выборе между той или иной геометрической системой, а в понимании механизмов работы нашего сознания. Искусство, математика и нейрофизиология, наконец, нашли общий язык для описания того, как мы видим и осознаём окружающее нас пространство. Это синтез, в котором строгий расчёт не отрицает духовную глубину, а позволяет понять её природу.

4. Геометрия XXI в.: от фракталов к многомерным ландшафтам данных

Современный мир, с его цифровой сложностью и многогранностью, требует новых геометрических языков для своего описания. Если Ренессанс открыл универсальность евклидовой геометрии, а XX в. — пределы её применимости, то XXI в. стал эпохой плюрализма геометрических моделей. Сегодня геометрия — это не единая истина, а набор мощных инструментов, выбираемых в зависимости от задачи: будь то моделирование вселенной, создание виртуальных миров или анализ Big Data.
Цифровая эпоха окончательно освободила картографию от ограничений статичных бумажных носителей. Современные карты — это уже не просто плоские проекции, а интерактивные, многослойные системы. Хотя традиционные методы остаются в ходу, они стали лишь одним из многих способов визуализации.
Ключевым прорывом стало появление Web-GIS — динамических платформ, которые позволяют совмещать данные спутниковой съёмки, GPS-трекинга, социальной статистики в реальном времени. Пространство на таких картах стало многомерным: к традиционным X и Y добавились оси высоты Z, времени Т, тематические потоки информации — спутниковые снимки, данные датчиков, социальная статистика. Это превратило карту из статичного изображения в пространственно-временной симуляции, где каждое изменение мгновенно отражается на цифровом двойнике.

Теория фракталов Б. Мандельброта, рождённая в XX в., нашла своё истинное призвание в веке XXI. Она оказалась не просто математической диковинкой, а универсальным языком для описания сложных, самоподобных систем — от ветвления кровеносных сосудов и береговых линий до кластеров галактик.
В компьютерной графике фрактальные алгоритмы стали основой для генерации бесконечно сложных и реалистичных ландшафтов, текстур и органических форм в кино и видеоиграх. Эта «геометрия хаоса» позволила преодолеть искусственную прямолинейность евклидовых моделей и создать цифровые миры, визуально неотличимые от природных. Более того, фрактальные принципы — рекурсия, самоподобие, масштабируемость — стали эстетическим ориентиром для современного дизайна, архитектуры и медиаискусства.

Самый радикальный сдвиг произошёл в области, которую можно назвать «геометрией данных». В эпоху больших данных мы постоянно имеем дело с объектами, существующими в пространствах с огромной размерностью. Профиль пользователя в соцсети может описываться тысячами параметров (каждый — своя ось координат), превращаясь в точку в гиперальном многомерном пространстве.
Анализировать такие структуры методами классической геометрии невозможно. Здесь на помощь приходят топология и дифференциальная геометрия. Учёные и инженеры смотрят на данные как на сложное многообразие, имеющее свою форму, кривизну и связность. Методы машинного обучения «схлопывают» эти тысячемерные пространства в 2D или 3D-визуализации, сохраняя их топологические свойства — близкие точки в исходном пространстве остаются близкими и на карте. Это позволяет буквально «увидеть» геометрию данных — обнаружить кластеры, выбросы и скрытые закономерности.

Любопытно, что развитие геометрии сегодня в некотором смысле замыкает круг, но на новом витке спирали. Евклидова перспектива — лишь частный случай в спектре перцептивных моделей. Сегодня мы наблюдаем возврат к символическому и субъективному пониманию пространства, но на принципиально новом уровне. Если средневековый картограф искажённо рисовал Иерусалим по религиозным причинам, то современный алгоритм «искажает» многомерное пространство данных по алгебраическим и топологическим причинам — чтобы сделать его понятным человеку.

Геометрия XXI в. перестала быть просто разделом математики. Она стала мета-языком, связующим звеном между физической реальностью, цифровыми мирами и человеческим восприятием. От фрактальных ландшафтов и топологии данных до неевклидовых законов квантовых полей — современная геометрия предлагает не один, а множество параллельных способов описания универсума. Она больше не диктует, каким мир должен быть согласно аксиомам, а помогает описать бесконечное разнообразие того, каким он может быть. И в этом её величайшая сила и красота.

📅✨ 27 сентября 2025 — С днём глобального квадрата!

Иногда календарь подкидывает такие совпадения, что мурашки бегут по коже. 27 сентября — именно такой день. Почему?

👉 Если записать дату в Американском формате (09/27/2025), получится число 9 272 025. Это точный квадрат:
3045 × 3045 = 9 272 025.

👉 А если записать её по-европейски (27/09/2025), мы получаем 27 092 025. И это тоже квадрат:
5205 × 5205 = 27 092 025.

Такое совпадение называется «глобальная квадратная дата» — и за весь XXI век оно случается всего 8 раз. Для сравнения: «голубая луна» бывает раз в 2–3 года, а солнечное затмение где-то на Земле — каждые полгода.

🔮 Следующая глобальная квадратная дата — только 1 января 2036 года, но там обе записи дают одно и то же число. Поэтому 27 сентября 2025-го считается самой красивой датой нашего времени.

И да, не забывайте, сам 2025 год — тоже квадратный:
2025 = 45 × 45.
А ещё это сумма кубов всех цифр от 0 до 9.

Так что сегодня отмечаем, 27 сентября 2025-го мы будем жить в чистой математической гармонии.

Как математика описывает повороты: от плоскости к пространству

Когда мы говорим «повернуть», обычно имеем в виду что-то простое. На плоскости это очевидно: взяли точку с координатами (x; y), повернули её вокруг начала координат и получили новую точку с координатами (x'; y'). Если аккуратно расписать тригонометрию, получится формула:
(x'; y') = (x cosθ – y sinθ; x sinθ + y cosθ).
То есть все новые координаты выражаются через старые по линейным формулам.
Эту же идею можно упаковать ещё изящнее. Представим точку как комплексное число z = x + iy. Тогда поворот на угол θ — это просто умножение:
z' = eⁱ ᶿ z.
Одно число, один множитель — и поворот готов. На плоскости всё удивительно красиво и просто.
Но в пространстве всё становится значительно сложнее. Теперь у предмета три степени свободы (в отличие от двух на плоскости). Одного угла явно не хватит — нужно задать и ось поворота, и угол. Хочется найти такой же «компактный» способ записи, как комплексные числа в 2D.

Матрицы: универсальный язык
Первое, что приходит в голову, — снова посмотреть на линейные формулы. Когда мы поворачиваем вектор, его новые координаты выражаются через старые по правилу: «новый x = линейная комбинация старых x, y, z», и так же для остальных. То есть это линейное преобразование. А все линейные преобразования удобно записывать матрицами.
Поэтому матрица поворота в трёхмерном пространстве — это таблица 3×3 из 9 чисел. Важно, что это не любая матрица, а ортонормированная: она сохраняет длины и углы, не сжимая и не растягивая объекты.
Как повернуть вокруг произвольной оси u? Идея в смене базиса:
1. Нормируем ось поворота u, чтобы |u| = 1.
2. Строим новый ортонормированный базис, где третья ось совпадает с u (например, с помощью процесса Грама-Шмидта для нахождения двух ортогональных векторов в плоскости, перпендикулярной u).
3. В этой системе поворот вокруг u — это просто поворот вокруг z (мы знаем эту матрицу Rᶻ(α)).
4. После поворота возвращаемся обратно в исходную систему координат.
В терминах матриц это выглядит так:
R = S Rᶻ(α) Sᵀ,
где S — матрица перехода в новый базис, а Sᵀ (транспонированная) возвращает нас назад (поскольку S ортогональна, то S⁻¹= Sᵀ).

(продолжение ⤵️)

(начало ⤴️)

Формула Родрига: вся матрица в одном уравнении
Если аккуратно расписать все преобразования, эта конструкция сворачивается в одну элегантную формулу — формулу Родрига:
v' = v cosα + (u × v) sinα + u (u ⋅ v) (1 – cosα).
В ней v — исходный вектор, u — ось поворота, α — угол. Смысл прозрачный:
1. v cosα — проекция вектора, которая просто масштабируется.
2. (u × v) sinα — создаёт перпендикулярную компоненту для поворота.
3. u (u ⋅ v) (1 – cosα) — корректирует длину проекции на ось.
Эта формула — компактная запись той самой матрицы поворота и часто используется в компьютерной графике благодаря своей вычислительной эффективности.

Кватернионы: магия четырёх измерений
В XIX в. Уильям Гамильтон искал обобщение комплексных чисел на 3D. И нашёл — но в 4D. Так появились кватернионы. Это числа вида:
q = a + bi + cj + dk,
где i, j, k — мнимые единицы с особыми правилами умножения: i²=j²=k²=–1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=–k, kj=–i, ik=–j.

Единичный кватернион (с нормой 1) обобщает роль eⁱ ᶿ. Как именно он задаёт поворот?
1. Кодирование оси и угла: Единичный кватернион q = (w, u) кодирует поворот вокруг оси uна угол 2α так: w = cosα, |u| = sinα. Угол делится пополам — это ключевая особенность!
2. Вектор как кватернион: Вектор v = (x, y, z) представляется как чисто мнимый кватернион: v̅ = (0, v).
3. Поворот: Поворот вектора v на угол 2α вокруг оси u вычисляется формулой: v' = q v̅ q⁻¹,
где q⁻¹ = (w, –u) — обратный кватернион (для единичного кватерниона обратный совпадает со сопряженным).
Почему это работает? Умножение слева на q и справа на q⁻¹ обеспечивает чистый поворот без масштабирования. Деление угла пополам необходимо, потому что при двустороннем умножении эффект «удваивается», давая полный поворот на угол 2α.

Итог: какой инструмент выбрать?
Мы начали с простого вопроса — как описывать повороты.
• На плоскости — предпочтительны комплексные числа: один множитель, и готово.
• В пространстве — универсальны матрицы, но они громоздки (9 параметров вместо необходимых 3).
• Для компактности, численной устойчивости и избежания проблем (вроде шарнирного блока — gimbal lock, возникающего при использовании углов Эйлера) идеально подходят кватернионы.
Все эти способы — разные языки для описания одного и того же движения. Выбор конкретного метода зависит от задачи: кватернионы эффективны для интерполяции поворотов в анимации, матрицы удобны для композиции преобразований, а формула Родрига полезна для прямых вычислений без промежуточных структур.
Независимо от используемого формализма, физическая суть поворота остаётся неизменной — это ортогональное преобразование, сохраняющее длины и углы в пространстве.

Задача 1. «Коммерсантъ» создал генератор эпитетов в стиле Дмитрия Медведева. В его базе — 100 имён прилагательных (например, «пьяные», «гнилые», «полудохлые», «первостатейные») и 120 имён существительных (например, «чебурашки», «крокодилы», «придурки», «гельминты»), что даёт 12000 возможных пар.
Какое минимальное количество запусков гарантирует появление «прямоугольника» из четырёх эпитетов вида (A,S), (A,T), (B,S), (B,T)?
Например, эпитеты: «пьяные чебурашки», «пьяные гельминты», «гнилые чебурашки», «гнилые гельминты».

Решение. Представим базу как таблицу: 100 строк (прилагательные) и 120 столбцов (существительные). Каждый запуск ставит крестик в одной клетке. Прямоугольник появится, когда найдутся две строки и два столбца, на пересечениях которых стоят четыре крестика.
Чтобы избежать прямоугольника, любые два прилагательных не должны встречаться более чем с одним общим существительным. Всего пар прилагательных: C²₁₀₀ = 100·99/2 = 4950. Это максимальное число «разрешённых связей» между прилагательными через существительные.
Посчитаем эти связи. В столбце с k крестиками количество пар прилагательных равно C²ₖ = k(k–1)/2. Условие отсутствия прямоугольника: сумма этих значений по всем столбцам не превышает 4950. Чтобы максимально оттянуть появление прямоугольника, распределим крестики равномерно.
Проверим, сколько крестиков k можно поставить в каждый из 120 столбцов:
120 · k(k–1)/2 ≤ 4950.
Наибольшее целое k, при котором это неравенство ещё выполняется: k=9.
При k=9: сумма связей: 120 · (9·8/2) = 120 · 36 = 4320.
Общее число запусков: n = 120 · 9 = 1080.
У нас осталось в запасе 4950 − 4320 = 630 связей. Если в каком-то столбце увеличить k с 9 до 10, число связей в нём вырастет на C²₁₀ − C²₉ = 45 − 36 = 9. Запас позволяет сделать это для 630 / 9 = 70 столбцов.
Итоговое распределение без прямоугольника:
70 столбцов с k=10 крестиками — число связей: 70·45=3150;
50 столбцов с k=9 крестиками — число связей: 50·36=1800.
Общее число связей: 3150 + 1800 = 4950.
Общее число запусков n: 70·10 + 50·9 = 700 + 450 = 1150.
Таким образом, 1150 запусков — это максимальное количество, при котором можно избежать прямоугольника. На 1151-м принцип Дирихле гарантирует, что лимит связей будет превышен — какая-то пара прилагательных встретится с двумя общими существительными, образуя искомый прямоугольник.
Ответ: 1151 запуск.

Задача 2. Генератор эпитетов Медведева использует 100 прилагательных и 120 существительных, создавая 12 000 возможных пар. Сколько нужно сделать запусков, чтобы вероятность того, что какой-то эпитет повторится (то есть два разных запуска дадут одинаковую пару), превысила 50%?

Решение. Это классическая задача о днях рождения. Вероятность того, что все n запусков дадут разные пары, равна:
P = (11999 /12000) · (11998 /12000) · ... · ((12000–n+1) /12000).
Для больших чисел это хорошо приближается формулой
P ≈ exp(–n(n–1)/(2·12000)).
Нам нужно, чтобы эта вероятность стала меньше 0,5.
Решаем неравенство:
exp(–n²/(2·12000)) ≈ 0,5.
Логарифмируем:
–n²/24000 ≈ ln 0,5 ≈ –0,693,
n² ≈ 24000 · 0,693 ≈ 16632,
n ≈ √16632 ≈ 129.
Таким образом, при 129 запусках вероятность повторения чуть меньше 50%, а при 130 запусках — чуть больше.
Ответ: 130 запусков.

Задача 3. Генератор эпитетов Медведева использует 100 прилагательных и 120 существительных, создавая 12 000 возможных пар. Сколько нужно сделать запусков, чтобы вероятность того, что какое-то прилагательное встретится в четырёх различных эпитетах (например, «пьяные чебурашки», «пьяные крокодилы», «пьяные гельминты», «пьяные придурки»), превысила 50%?

Решение. Вероятность появления конкретного прилагательного в одном запуске: p = 120/12000 = 0,01. Для появления четырёх разных эпитетов это прилагательное должно встретиться ровно четыре раза с разными существительными. Вероятность того, что четыре случайных существительных окажутся разными: (120/120)·(119/120)·(118/120)·(117/120) ≈ 0,9507.
Вероятность P₁ для одного прилагательного вычисляется так: нужно выбрать 4 запуска из n (число сочетаний Cₙ⁴), умножить на вероятность появления в этих запусках (0,01⁴), на вероятность отсутствия в остальных n−4 запусках (0,99ⁿ⁻⁴) и на вероятность различия существительных (0,9507). Вероятность того, что хотя бы одно из 100 прилагательных удовлетворит условию, приближённо равна P = 1 − exp(−100·P₁). Порог в 50% достигается при 100·P₁ > ln 2 ≈ 0,693.
Теперь подберём n.
Для n = 79:
C₇₉⁴ = 1502501,
(0,99)⁷⁵ ≈ 0,472,
P₁ ≈ 1502501 · 10⁻⁸· 0,472 · 0,9507 ≈ 0,00675,
100·P₁ ≈ 0,675 < 0,693,
P ≈ 0,490 (49,0%).
Для n = 80:
C₈₀⁴ = 1581580,
(0,99)⁷⁶ ≈ 0,467,
P₁ ≈ 1581580 · 10⁻⁸· 0,467 · 0,9507 ≈ 0,00702,
100·P₁ ≈ 0,702 > 0,693,
P ≈ 0,504 (50,4%).
Таким образом, вероятность превышает 50% при n = 80 запусков.
Ответ: 80 запусков.

Проводы. Автор: Кристина Стрельникова

— Зайка! — сказала мама.
— Мямля! — сказал отец.
— Нельзя опаздывать в школу.
— Иди уже наконец!

— Никто тебя не укусит,
Ты нам позвони, если что.
— И кстати, во время экскурсий
Наматывай шарф на пальто.

— Желаем хороших оценок.
— С ребятами подружись.
— Во время больших переменок
Ты лучше вдоль стенок держись.

— В столовой питайся горячим.
— Не ной. Не теряй ключи.
— Держи свой портфель. Удачи!
Иди и детей учи!

Всем привет, на связи коллектив Politeconomics. Как уже многие знают, мы увлечены преподаванием и популяризацией математики.

7 октября в 19:00 по МСК приглашаем вас на открытый вебинар по теме "Как выучить математику во взрослом возрасте?", который проведёт Даниил Григорьев.

Обсудим:

🔵 Как математика захватывает прежде "чисто гуманитарные" области
🔴 Почему традиционное преподавание часто не справляется со своей задачей
🟠 Действительно эффективные подходы и последние новации в обучении

В конце вебинара обязательно ответим на все вопросы и пообщаемся с вами!

➡️ Регистрируйтесь по ссылке

🔻Для всех участников вебинара скидка 10% на 4-х месячный онлайн-курс "Математика с нуля для взрослых", который начинается уже 16 октября!

#ГеометрияДляВсех
Когда я был школьником, то попал на семинар к известному геометру И.Ф. Шарыгину, который заметил, что было бы здОрово привнести в геометрию ещё и цвет. Именно это мы и пытаемся делать! А сегодня такая задачка:

В прямоугольном треугольнике проведена высота. В исходный и в два образовавшихся треугольника вписали круги. Известно, что площади двух луночек на рисунке равны 2 и 3 соответственно. Чему равна площадь зелёной криволинейной фигуры?

Подписаться на телеграм-канал

Русская рулетка 3. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Нужно ли раскручивать барабан снова, чтобы уменьшить шанс выстрела при следующем нажатии?

Решение.
Вероятности выстрела без проворачивания:
для револьвера с одним патроном — ⅕,
для револьвера с двумя патронами — ¼.
Найдём вероятности револьверов после холостого выстрела.
Вероятность холостого выстрела:
• для револьвера с одним патроном — ⅚,
• для револьвера с двумя патронами — ⅔.
Общая вероятность холостого выстрела:
P = ½·⅚ + ½·⅔ = ⁵/₁₂ + ⁴/₁₂ = ⁹/₁₂ = ¾.
Апостериорные вероятности:
• P(1 патрон) = (½·⅚) / ¾ = ⁵/₉,
• P(2 патрона) = 1 − ⁵/₉ = ⁴/₉.
Вероятность выстрела без проворачивания:
P = ⁵/₉·⅕ + ⁴/₉·¼ = ¹/₉ + ¹/₉ = ²/₉.
Вероятность выстрела с проворачиванием:
P = ⁵/₉·⅙ + ⁴/₉·⅓ = ⁵/₅₄ + ⁸/₅₄ = ¹³/₅₄.
Сравнение: ²/₉ = ¹²/₅₄ < ¹³/₅₄.
Ответ: не нужно раскручивать барабан.

Русская рулетка 4. На столе лежат два шестизарядных револьвера: в одном заряжен один патрон, в другом — два подряд. После случайного выбора револьвера, раскрутки барабана и нажатия на курок выстрела не произошло. Что лучше для уменьшения вероятности выстрела: сменить револьвер или стрелять из прежнего? Раскручивать барабан или нет?

Решение.
После холостого выстрела апостериорные вероятности:
• Вероятность, что выбран револьвер с одним патроном: ⁵/₉.
• Вероятность, что выбран револьвер с двумя патронами: ⁴/₉.

1. Стрелять из прежнего револьвера:
• Без проворачивания: P = ¹²/₅₄.
• С проворачиванием: P = ¹³/₅₄.

2. Сменить револьвер:
(при смене револьвер оказывается в случайном положении, поэтому вероятность выстрела не зависит от проворачивания)
P = ⁴/₉ · ⅙ + ⁵/₉ · ⅓ = ⁴/₅₄ + ¹⁰/₅₄ = ¹⁴/₅₄.

Ответ: стрелять из прежнего револьвера, не раскручивать барабан.