Forwarded from MathKids
💯Вася Буфеев набирает учеников 5-11 классов для индивидуальных и групповых онлайн-занятий олимпиадной математикой.
🎓закончил совместную магистратуру НИУ ВШЭ и ЦПМ.
❤️Долгое время вёл потрясающий кружок Кострома Орen в ЦДО, от которого остались самые тёплые воспоминания и несколько приятных дипломов известных олимпиад.
Работал в ЦПМ, в школах 57, 2086, 444, 1535, 1534, летних школах Kostroma Open и ТЛ 2х2, совместно с Дмитрием Калининым на турнирах матбоев Kostroma Open и конечно же, турнире Мебиуса
Многие ребята, обучавшихся в кружках Васи стали победителями и призёрами математических олимпиад - ММО, Тургора, Всеросса.
Подробная информация и запись https://forms.gle/dNr8ZEL37sXHe3k57
Васин telegram @Vsbufeev и whatsapp 89175246002
🎓закончил совместную магистратуру НИУ ВШЭ и ЦПМ.
❤️Долгое время вёл потрясающий кружок Кострома Орen в ЦДО, от которого остались самые тёплые воспоминания и несколько приятных дипломов известных олимпиад.
Работал в ЦПМ, в школах 57, 2086, 444, 1535, 1534, летних школах Kostroma Open и ТЛ 2х2, совместно с Дмитрием Калининым на турнирах матбоев Kostroma Open и конечно же, турнире Мебиуса
Многие ребята, обучавшихся в кружках Васи стали победителями и призёрами математических олимпиад - ММО, Тургора, Всеросса.
Подробная информация и запись https://forms.gle/dNr8ZEL37sXHe3k57
Васин telegram @Vsbufeev и whatsapp 89175246002
❤9
Forwarded from matolimp
🔥 Открыта запись на курс подготовки к решению сложных задач профильного ЕГЭ по математике.
Занятия подойдут тем, кто:
– хочет научиться решать без страха задания сложной части ЕГЭ (№ 13 – 19);
– готов трудиться и стремится к высокому результату (90+).
🔥 Преподаватель: Буфеев Сергей Валентинович, учитель 57 школы, старший эксперт ЕГЭ, преподаватель ресурсного центра по подготовке учителей к ЕГЭ, победитель конкурсов лучших учителей Москвы и РФ, автор множества учебных пособий, статей и видеоматериалов, автор тг-канала Математическая эссенция.
🔥 Запланированы группы: для 10 и 11 классов.
Обучение будет проходить онлайн в небольшой группе один раз в неделю. Продолжительность одного занятия 120 мин. После каждого урока у вас останется его видеозапись.
Занятия предполагают максимум практики и общения, усвоение наиболее важных методов решения, нестандартных подходов, ловушек, выполнение и разбор домашнего задания. Фрагменты рабочих занятий можно посмотреть здесь и здесь.
🔥 Более подробная информация, а также запись в группы доступна в гуглформе .
По всем вопросам можно написать в Whatsapp по номеру +79055625577 или в Telegram @sbufeev.
Реклама. Буфеев Сергей Валентинович ИНН 771901186229 erid: 2Vtzqw6tcuQ
Занятия подойдут тем, кто:
– хочет научиться решать без страха задания сложной части ЕГЭ (№ 13 – 19);
– готов трудиться и стремится к высокому результату (90+).
🔥 Преподаватель: Буфеев Сергей Валентинович, учитель 57 школы, старший эксперт ЕГЭ, преподаватель ресурсного центра по подготовке учителей к ЕГЭ, победитель конкурсов лучших учителей Москвы и РФ, автор множества учебных пособий, статей и видеоматериалов, автор тг-канала Математическая эссенция.
🔥 Запланированы группы: для 10 и 11 классов.
Обучение будет проходить онлайн в небольшой группе один раз в неделю. Продолжительность одного занятия 120 мин. После каждого урока у вас останется его видеозапись.
Занятия предполагают максимум практики и общения, усвоение наиболее важных методов решения, нестандартных подходов, ловушек, выполнение и разбор домашнего задания. Фрагменты рабочих занятий можно посмотреть здесь и здесь.
🔥 Более подробная информация, а также запись в группы доступна в гуглформе .
По всем вопросам можно написать в Whatsapp по номеру +79055625577 или в Telegram @sbufeev.
Реклама. Буфеев Сергей Валентинович ИНН 771901186229 erid: 2Vtzqw6tcuQ
🔥9
1. Ян Стен. Школа для мальчиков и девочек, 1670
2. Неизвестный художник. Урок математики, 1840
3. Франческо Бергамини. Урок счёта, сер. XIX в.
4. Франческо Бергамини. Ценный урок, сер. XIX в.
5. Франсуа-Луи Ланфант. Урок математики, 1880
6. Иоганн Газенклевер. Школьный экзамен, 1880
7. В.Е. Маковский. В сельской школе, 1883
8. Н.П. Богданов-Бельский. Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского, 1895.
2. Неизвестный художник. Урок математики, 1840
3. Франческо Бергамини. Урок счёта, сер. XIX в.
4. Франческо Бергамини. Ценный урок, сер. XIX в.
5. Франсуа-Луи Ланфант. Урок математики, 1880
6. Иоганн Газенклевер. Школьный экзамен, 1880
7. В.Е. Маковский. В сельской школе, 1883
8. Н.П. Богданов-Бельский. Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского, 1895.
❤12❤🔥6👍1
9. Ф.П. Решетников. Опять двойка (ранняя версия картины), 1948
10. Л.Л. Луконина-Овчинникова. У доски, 1952
11. И.А. Тихий. Экзамен, 1953
12. Г.В. Богданов. Практикантка, 1966
13. В.И. Цветков. Не решила, 1966
14. Советский плакат, 1956.
10. Л.Л. Луконина-Овчинникова. У доски, 1952
11. И.А. Тихий. Экзамен, 1953
12. Г.В. Богданов. Практикантка, 1966
13. В.И. Цветков. Не решила, 1966
14. Советский плакат, 1956.
❤12❤🔥4🕊3
Forwarded from Математика не для всех
Есть классическая задача, известная как «задача Мозера о делении круга хордами». Суть её проста: если на окружности отметить несколько точек и соединить их всеми возможными хордами так, чтобы никакие три не пересекались в одной внутренней точке, то на сколько частей разобьётся круг?
Интуиция подсказывает простую схему. Первые шаги дают закономерность: одна точка — один сектор, две точки — два, три — четыре, четыре — восемь, пять — шестнадцать. Кажется, что формула очевидна: каждое новое добавление удваивает количество частей, и значит ответ должен быть 2^(m−1), где m — количество точек. Но при шести точках магия ломается: вместо 32 частей получается 31. Именно этот сбой стал поводом для Льва Мозера в 1949 году сформулировать задачу как пример того, что «индукция может подводить».
Дальнейшие исследования показали, что правильное выражение для количества областей куда сложнее и связано с комбинаторикой. Фактически оно опирается на выборы пар и четвёрок точек: количество хорд зависит от сочетаний из двух, а число точек пересечения внутри круга — из четырёх. На этой базе выводится формула Мозера, которая уже точно описывает рост последовательности.
В статье Карлоса Родригеса-Лукатеро рассматриваются разные способы её получения. Сначала через элементарные комбинаторные рассуждения: учитывается количество хорд и точек пересечения, а затем прибавляется единица за исходный круг. Второй способ основан на знаменитой формуле Эйлера для планарных графов, которая связывает количество вершин, рёбер и граней. Если рассматривать хорды и дуги как рёбра, точки пересечения как вершины, а полученные части — как грани, то результат снова приводит к формуле Мозера. Наконец, автор предлагает ещё один путь — через разностные уравнения. Если построить таблицу конечных разностей для последовательности 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57…, то получится рекуррентное соотношение четвёртого порядка. Его решение снова даёт точную формулу.
Интуиция подсказывает простую схему. Первые шаги дают закономерность: одна точка — один сектор, две точки — два, три — четыре, четыре — восемь, пять — шестнадцать. Кажется, что формула очевидна: каждое новое добавление удваивает количество частей, и значит ответ должен быть 2^(m−1), где m — количество точек. Но при шести точках магия ломается: вместо 32 частей получается 31. Именно этот сбой стал поводом для Льва Мозера в 1949 году сформулировать задачу как пример того, что «индукция может подводить».
Дальнейшие исследования показали, что правильное выражение для количества областей куда сложнее и связано с комбинаторикой. Фактически оно опирается на выборы пар и четвёрок точек: количество хорд зависит от сочетаний из двух, а число точек пересечения внутри круга — из четырёх. На этой базе выводится формула Мозера, которая уже точно описывает рост последовательности.
В статье Карлоса Родригеса-Лукатеро рассматриваются разные способы её получения. Сначала через элементарные комбинаторные рассуждения: учитывается количество хорд и точек пересечения, а затем прибавляется единица за исходный круг. Второй способ основан на знаменитой формуле Эйлера для планарных графов, которая связывает количество вершин, рёбер и граней. Если рассматривать хорды и дуги как рёбра, точки пересечения как вершины, а полученные части — как грани, то результат снова приводит к формуле Мозера. Наконец, автор предлагает ещё один путь — через разностные уравнения. Если построить таблицу конечных разностей для последовательности 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57…, то получится рекуррентное соотношение четвёртого порядка. Его решение снова даёт точную формулу.
❤10👍7🔥3
Разберём из статьи Rodriguez-Lucatero самый простой — комбинаторный — способ решения классической задачи Мозера о делении круга. Формула количества областей выглядит так:
R(n) = 1 + C²ₙ + C⁴ₙ.
Рассмотрим, откуда берутся эти слагаемые.
1) Исходная область: +1.
Это весь круг до проведения хорд.
2) Базовый вклад хорд: + C²ₙ.
Каждая хорда проводится между двумя точками. Всего таких пар — C²ₙ. Даже если хорда не имеет пересечений (как самая первая проведённая), она всегда делит некоторую существующую область на две — то есть добавляет ровно одну новую область. Это минимальный вклад каждой хорды.
3) Дополнительный вклад от пересечений: + C⁴ₙ.
Теперь учтём, что хорды могут пересекаться. Каждое пересечение двух хорд — это событие, которое увеличивает вклад той хорды, которая проводится позже.
Представьте процесс: вы проводите хорды по одной. Новая хорда пересекает несколько уже существующих. Каждое такое пересечение разбивает новую хорду на отрезки. Ключевое наблюlение: каждый новый отрезок добавляет ровно одну новую область.
Если хорда не имеет пересечений (k=0), она состоит из одного отрезка и добавляет одну область.
Если хорда имеет одно пересечение (k=1), она разбивается на два отрезка и добавляет две области.
Если k пересечений — добавляет (k+1) областей.
То есть сверх своей "базовой" единицы каждое пересечение на хорде добавляет +1 к её вкладу. Откуда берутся эти пересечения? Каждое внутреннее пересечение однозначно определяется выбором четырёх точек на окружности (они образуют выпуклый четырёхугольник, диагонали которого и пересекаются). Всего таких четвёрок — C⁴ₙ.
Важный момент: при последовательном проведении каждое пересечение учтётся ровно один раз — когда проводится вторая из двух пересекающихся хорд. Поэтому общий дополнительный вклад от всех пересечений в точности равен C⁴ₙ.
Итог. Суммируем исходную область, базовый вклад всех хорд и дополнительный вклад всех пересечений:
R(n) = 1 + C²ₙ + C⁴ₙ.
Эта формула показывает, что рост числа областей определяется не экспоненциально, а полиномиально, что и объясняет нарушение интуитивного ожидания удвоения.
R(n) = 1 + C²ₙ + C⁴ₙ.
Рассмотрим, откуда берутся эти слагаемые.
1) Исходная область: +1.
Это весь круг до проведения хорд.
2) Базовый вклад хорд: + C²ₙ.
Каждая хорда проводится между двумя точками. Всего таких пар — C²ₙ. Даже если хорда не имеет пересечений (как самая первая проведённая), она всегда делит некоторую существующую область на две — то есть добавляет ровно одну новую область. Это минимальный вклад каждой хорды.
3) Дополнительный вклад от пересечений: + C⁴ₙ.
Теперь учтём, что хорды могут пересекаться. Каждое пересечение двух хорд — это событие, которое увеличивает вклад той хорды, которая проводится позже.
Представьте процесс: вы проводите хорды по одной. Новая хорда пересекает несколько уже существующих. Каждое такое пересечение разбивает новую хорду на отрезки. Ключевое наблюlение: каждый новый отрезок добавляет ровно одну новую область.
Если хорда не имеет пересечений (k=0), она состоит из одного отрезка и добавляет одну область.
Если хорда имеет одно пересечение (k=1), она разбивается на два отрезка и добавляет две области.
Если k пересечений — добавляет (k+1) областей.
То есть сверх своей "базовой" единицы каждое пересечение на хорде добавляет +1 к её вкладу. Откуда берутся эти пересечения? Каждое внутреннее пересечение однозначно определяется выбором четырёх точек на окружности (они образуют выпуклый четырёхугольник, диагонали которого и пересекаются). Всего таких четвёрок — C⁴ₙ.
Важный момент: при последовательном проведении каждое пересечение учтётся ровно один раз — когда проводится вторая из двух пересекающихся хорд. Поэтому общий дополнительный вклад от всех пересечений в точности равен C⁴ₙ.
Итог. Суммируем исходную область, базовый вклад всех хорд и дополнительный вклад всех пересечений:
R(n) = 1 + C²ₙ + C⁴ₙ.
Эта формула показывает, что рост числа областей определяется не экспоненциально, а полиномиально, что и объясняет нарушение интуитивного ожидания удвоения.
❤7👍6🔥5
С именем Мозера связана ещё задача о перемещении дивана по Г-образному коридору.
Telegraph
Задача о перемещении дивана по Г-образному коридору
Насколько большой диван можно пронести по коридору единичной ширины, который поворачивает под прямым углом? Математически эта задача была поставлена в 1966 г. канадским математиком Лео Мозером и до сих пор не получила окончательного решения. Под «диваном»…
⚡5👍4🔥3❤2
Мозером была поставлена (1966 г.) ещё одна классическая задача геометрической оптимизации — проблема червя Мозера: требуется найти наименьшую площадь такой плоской фигуры, чтобы она могла покрыть (после подходящих поворотов и переносов) любую кривую единичной длины.
Интуитивный ответ — полукруг радиуса ½. Чтобы покрыть прямой отрезок длины 1, нужен круг диаметра 1, но по соображениям симметрии достаточно взять только половину этого круга. Площадь такого полукруга равна π/8 ≈ 0,392.
Однако, эта фигура не является оптимальной.
Сам Мозер предложил остроумную конструкцию, известную как "шляпа Мозера". Она состоит из центрального прямоугольника и двух сегментов круга на его концах. Ширина этой фигуры выбирается минимально возможной, чтобы через неё можно было протащить любой изгиб червя, а высота и радиусы скруглений подбираются так, чтобы скрыть червей, свёрнутых в клубок на концах. Мозер получил верхнюю оценку площади в 0,260. Но позже выяснилось, что существуют черви, которых нельзя накрыть шляпой Мозера.
На сегодняшний день проблема червя Мозера остается открытой. Известно, что минимальная площадь искомой фигуры лежит в узком интервале: нижняя оценка составляет 0,2195, а верхняя — 0,27524.
Современные исследования используют методы численной оптимизации, выпуклого анализа и даже искусственного интеллекта для поиска оптимальной формы. Задача формулируется как поиск выпуклого множества наименьшей площади, содержащего конгруэнтную копию каждой дуги на плоскости длины один.
Есть гипотеза и заявления о её доказанности, что искомым покрытием служит очень простая фигура — круговой сектор с углом 30°. В этом случае искомая площадь составляет π/12 ≈ 0,261. В настоящее время гипотеза проходит математическую верификацию.
Проблема червя Мозера — не просто головоломка. Она лежит в основе раздела математики, изучающего покрытия и размещения. Её методы находят применение в:
теории оптимизации (разработка алгоритмов для поиска минимальных покрытий),
робототехнике (планирование траекторий и определение минимального пространства для маневра),
компьютерной графике (вычисление минимальных ограничений для анимации и физических симуляций),
биологии (моделирование минимального пространства, необходимого для складывания белков).
Эта задача — прекрасный пример того, как интуитивно простой геометрический вопрос может породить глубокую и до сих пор не решённую проблему, бросающую вызов математикам уже более полувека.
Интуитивный ответ — полукруг радиуса ½. Чтобы покрыть прямой отрезок длины 1, нужен круг диаметра 1, но по соображениям симметрии достаточно взять только половину этого круга. Площадь такого полукруга равна π/8 ≈ 0,392.
Однако, эта фигура не является оптимальной.
Сам Мозер предложил остроумную конструкцию, известную как "шляпа Мозера". Она состоит из центрального прямоугольника и двух сегментов круга на его концах. Ширина этой фигуры выбирается минимально возможной, чтобы через неё можно было протащить любой изгиб червя, а высота и радиусы скруглений подбираются так, чтобы скрыть червей, свёрнутых в клубок на концах. Мозер получил верхнюю оценку площади в 0,260. Но позже выяснилось, что существуют черви, которых нельзя накрыть шляпой Мозера.
На сегодняшний день проблема червя Мозера остается открытой. Известно, что минимальная площадь искомой фигуры лежит в узком интервале: нижняя оценка составляет 0,2195, а верхняя — 0,27524.
Современные исследования используют методы численной оптимизации, выпуклого анализа и даже искусственного интеллекта для поиска оптимальной формы. Задача формулируется как поиск выпуклого множества наименьшей площади, содержащего конгруэнтную копию каждой дуги на плоскости длины один.
Есть гипотеза и заявления о её доказанности, что искомым покрытием служит очень простая фигура — круговой сектор с углом 30°. В этом случае искомая площадь составляет π/12 ≈ 0,261. В настоящее время гипотеза проходит математическую верификацию.
Проблема червя Мозера — не просто головоломка. Она лежит в основе раздела математики, изучающего покрытия и размещения. Её методы находят применение в:
теории оптимизации (разработка алгоритмов для поиска минимальных покрытий),
робототехнике (планирование траекторий и определение минимального пространства для маневра),
компьютерной графике (вычисление минимальных ограничений для анимации и физических симуляций),
биологии (моделирование минимального пространства, необходимого для складывания белков).
Эта задача — прекрасный пример того, как интуитивно простой геометрический вопрос может породить глубокую и до сих пор не решённую проблему, бросающую вызов математикам уже более полувека.
👍9🔥3❤2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ_АНАЛИЗ_для_школьников.pdf
448.6 KB
От подписчика Александр Макеев. Методическое пособие по математическому анализу для школьников.
Пособие отличается от классических подходов к матанализу тем, что оно полностью избегает традиционного, сложного для школьников формального определения предела, заменяя его интуитивно понятным аппаратом дифференциалов и акцентом на вычислительные алгоритмы. Главная его особенность - построение всего курса на основе практического, "алгоритмического" определения действительных чисел и производной. Это делает теорию доступной и тесно связывает её с физическими и геометрическими приложениями.
#предложка
Пособие отличается от классических подходов к матанализу тем, что оно полностью избегает традиционного, сложного для школьников формального определения предела, заменяя его интуитивно понятным аппаратом дифференциалов и акцентом на вычислительные алгоритмы. Главная его особенность - построение всего курса на основе практического, "алгоритмического" определения действительных чисел и производной. Это делает теорию доступной и тесно связывает её с физическими и геометрическими приложениями.
#предложка
👍9🥰4❤1