Задача 2. Математики, находясь на отдыхе, разрезали арбуз на 4 части и съели. Могло ли при этом остаться 5 корок (корки не ломали)?

Решение. Из арбуза можно вырезать кусок в виде столбика, идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединённые арбузной мякотью.

Задача 3. Решите ребус.

Ответ: 9321 + 93247 = 102568.

Задача 4. Два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей, а арбуз, две дыни и два нектарина — на 50 рублей дешевле. Сколько стоит набор из арбуза, дыни и двух нектаринов?

Решение. Из условия получаем, что арбуз, две дыни и два нектарина стоят 950 рублей. Известно, что два арбуза, дыня и четыре нектарина стоят 1000 рублей. Складывая, получаем, что три арбуза, три дыни и шесть нектаринов стоят 1950 рублей, делим на 3 и выясняем, что арбуз, дыня и два нектарина стоят 650 рублей.

Задача 5. Взвесили 4 арбуза. Все арбузы без первого весят 34 кг, все без второго — 28 кг, все без третьего — 38 кг, все без четвёртого — 32 кг. Сколько весит самый лёгкий арбуз?

Ответ: 6.

Задача 6. Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

Решение. Машино высказывание равносильно тому, что шесть арбузов тяжелее девяти дынь. Анино — тому, что шесть арбузов тяжелее восьми дынь. Поэтому если права Маша, то права и Аня. Но обе они правы быть не могут. Значит, Аня права, а Маша ошибается. То есть шесть арбузов тяжелее восьми дынь, но не тяжелее девяти. Следовательно, двенадцать арбузов тяжелее шестнадцати дынь, но не тяжелее восемнадцати.

Задача 7. На завтрак группа из 5 слонов и 7 бегемотов съела 11 круглых и 20 кубических арбузов, а группа из 8 слонов и 4 бегемотов — 20 круглых и 8 кубических арбузов. Все слоны съели поровну (одно и то же целое число) арбузов. И все бегемоты съели поровну арбузов. Но один вид животных ест и круглые, и кубические арбузы, а другой вид привередливый и ест арбузы только одной из форм. Определите, какой вид (слоны или бегемоты) привередлив и какие арбузы он предпочитает.

Решение. Выясним сначала, сколько арбузов ест на завтрак каждое из животных. По условию 5 слонов и 7 бегемотов съедают 31 арбуз, а 8 слонов и 4 бегемота — 28 арбузов. Мы видим, что если заменить трёх бегемотов на трёх слонов, то требуется на три арбуза меньше. Значит, 12 слонов съели бы 31 – 7 = 24 арбуза (т.е. каждый по 2), а 12 бегемотов 31 + 5 = 36 арбузов (т.е. каждый по 3).
В первой группе бегемоты съели 7 · 3 = 21 арбуз. Столько арбузов одной формы не было, значит, бегемоты едят арбузы любой формы, а привередливы слоны. Во второй группе слоны съели 8 · 2 = 16 арбузов. Столько кубических арбузов не было, значит, слоны предпочитают именно круглые арбузы.

Задача 8. Компания для дня рождения купила в магазине 6 арбузов общей массой 30 кг. Масса каждого арбуза не превышает 10 кг. Какого наименьшего количества пакетов заведомо хватит, чтобы унести все арбузы, если один пакет выдерживает груз массой не более 10 кг (масса арбуза может быть не целым числом).

Решение. Докажем, что 4 пакетов не хватит. Для этого возьмем арбузы массой 6 кг, 6 кг, 6 кг, 6 кг, 5 кг и 1 кг. Нетрудно заметить, что унести в 4 пакетах эти арбузы не удастся (в любой пакет с арбузом в 6 кг нельзя положить 5 кг арбуз, значит, пакетов нужно не менее 5).
Докажем, что 5 пакетов всегда хватит. Упорядочим арбузы по невозрастанию массы: сначала самый тяжелый (если таких несколько, выберем любой из них), потом легче и т.д. Посмотрим на сумму в этом ряду четвертого арбуза и последнего (шестого): если их можно положить в один пакет, то 5 пакетов заведомо хватит, так как осталось 4 арбуза; если их нельзя положить в один пакет, их сумма больше 10 кг, тогда четвертый арбуз весит больше 5 кг, значит, первый, второй и третий также весят больше 5 кг, но тогда суммарный вес пятого и шестого арбуза должны быть меньше 10 кг и их можно поместить в последний пятый пакет (для первых четырех арбузов четырех пакетов хватит).
Ответ: 5 пакетов.

Задача 9. В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири — целое число килограммов?

Решение. Одной или двумя гирями массы 1 кг, 3 кг, 5 кг, 7 кг, 9 кг и 10 кг можно взвесить любой из данных арбузов. Действительно,
2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1,
8 = 7 + 1, 11 = 10 + 1, 12 = 9 + 3,
13 = 10 + 3, 14 = 9 + 5, 15 = 10 + 5,
16 = 9 + 7, 17 = 10 + 7, 18 = 9 + 9,
19 = 10 + 9, 20 = 10 + 10.
Таким образом, шесть различных чисел могло быть записано.
Покажем, что пяти типов гирь недостаточно для требуемых взвешиваний. Если гирь пять, то какие-то двадцать арбузов, вообще говоря, взвесить можно. А именно: пять арбузов уравновесить одиночными гирями, пять — двойными и остальные 5·4 : 2 = 10 арбузов — парами различных гирь. Но при этом каждая комбинация гирь должна быть использована ровно один раз.
Заметим, что половина арбузов имеет нечётную массу. Пусть из пяти гирь k имеют нечётную массу, а 5 – k — чётную. Тогда количество способов взвесить арбуз нечётной массы в точности равно k + k(5 – k) = 6k – k². Однако ни при каком k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 это выражение не равно 10 (это можно проверить либо подстановкой, либо решив квадратное уравнение 6k – k² = 10).
Ответ: 6 чисел.

💯Вася Буфеев набирает учеников 5-11 классов для индивидуальных и групповых онлайн-занятий олимпиадной математикой.

🎓закончил совместную магистратуру НИУ ВШЭ и ЦПМ.

❤️Долгое время вёл потрясающий кружок Кострома Орen в ЦДО, от которого остались самые тёплые воспоминания и несколько приятных дипломов известных олимпиад.
Работал в ЦПМ, в школах 57, 2086, 444, 1535, 1534, летних школах Kostroma Open и ТЛ 2х2, совместно с Дмитрием Калининым на турнирах матбоев Kostroma Open и конечно же, турнире Мебиуса
Многие ребята, обучавшихся в кружках Васи стали победителями и призёрами математических олимпиад - ММО, Тургора, Всеросса.

Подробная информация и запись https://forms.gle/dNr8ZEL37sXHe3k57

Васин telegram @Vsbufeev и whatsapp 89175246002

🔥 Открыта запись на курс подготовки к решению сложных задач профильного ЕГЭ по математике.
Занятия подойдут тем, кто:
– хочет научиться решать без страха задания сложной части ЕГЭ (№ 13 – 19);
– готов трудиться и стремится к высокому результату (90+).

🔥 Преподаватель: Буфеев Сергей Валентинович, учитель 57 школы, старший эксперт ЕГЭ, преподаватель ресурсного центра по подготовке учителей к ЕГЭ, победитель конкурсов лучших учителей Москвы и РФ, автор множества учебных пособий, статей и видеоматериалов, автор тг-канала Математическая эссенция.

🔥 Запланированы группы: для 10 и 11 классов.
Обучение будет проходить онлайн в небольшой группе один раз в неделю. Продолжительность одного занятия 120 мин. После каждого урока у вас останется его видеозапись.
Занятия предполагают максимум практики и общения, усвоение наиболее важных методов решения, нестандартных подходов, ловушек, выполнение и разбор домашнего задания. Фрагменты рабочих занятий можно посмотреть здесь и здесь.

🔥 Более подробная информация, а также запись в группы доступна в гуглформе .
По всем вопросам можно написать в Whatsapp по номеру +79055625577 или в Telegram @sbufeev.

Реклама. Буфеев Сергей Валентинович ИНН 771901186229 erid: 2Vtzqw6tcuQ