Стипендии имени В. А. Рохлина для молодых математиков Санкт-Петербурга

Стипендии имени В. А. Рохлина предназначаются для студентов и аспирантов Санкт-Петербурга, показавших успехи в обучении и в научных исследованиях, и подготовивших на рассмотрение жюри научный проект на ближайший календарный год, преимущественно по направлениям: топология, геометрия, алгебра, теория динамических систем и смежным разделам математики. Проект представляется вместе с рецензией научного руководителя. Возможны коллективные проекты (не более двух участников).

Более подробную информацию можно найти на сайте.

Приём заявок открыт до 15-го октября!

В четверг (30 октября) в 17 00 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Реконструкция узлов по псевдохарактерам групп кос»
Илья Алексеев

Теория узлов и теория кос тесно связаны конструкцией замыкания, переводящей косы в узлы и зацепления. Классическая теорема Александера гласит, что любое зацепление является замыканием некоторой косы, а теорема Маркова описывает, когда две косы представляют одно и то же зацепление, сводя топологическую эквивалентность к алгебраическим преобразованиям — сопряжению и стабилизации в группах кос. Эта связь стимулирует поиск тонких инвариантов сопряженности, среди которых особое место занимают псевдохарактеры — вещественнозначные функции на группе кос, задающие её ограниченные 2-коциклы. Они возникают на стыке алгебры, топологии, геометрии и динамики и находят применения в комбинаторной теории групп, симплектической геометрии и теории представлений.

Наиболее яркие результаты о связи топологии узлов и свойств представляющих их кос были получены для конкретного псевдохарактера — закрученности (также известной как коэффициент дробного скручивания Дена). Закрученность даёт нижнюю оценку на род ограничивающих узел поверхностей в 3D и 4D, оценку на число нитей кос-представителей, а также позволяет определять геометрический тип узла в терминах динамического типа задающей его косы. Отсюда возникает естественный вопрос: данная глубокая связь является специфическим свойством закрученности или частным проявлением более общего принципа?

Мы показываем, что связь универсальна: любой псевдохарактер на группах кос несёт содержательную информацию о геометрии и топологии зацепления. В частности, при замене закрученности на произвольный псевдохарактер остаются в силе аналогичные оценки и критерии, касающиеся трёхмерного рода, числа нитей и геометрического типа.

Таким образом, совокупность значений всех псевдохарактеров — или спектр псевдохарактеров — восстанавливает фундаментальные свойства зацепления по представляющим его косам. Получающийся когомологический профиль узла формирует новый язык для выражения его инвариантов и объединяет топологические, алгебраические и геометрические аспекты в единую систему координат.

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (30.10)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (01.11)
• Теория схем Гротендика (31.10)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (31.10)

• Срезанность узлов, как препятствие к диффеоморфности многообразий (27.10)
• Кратности реализации циклов в обобщенной проблеме Стинрода (28.10)
• Ветвление функции объёма вблизи асимптотических гиперплоскостей (29.10)
• A lemma on Singular Borromean Rings (30.10)

На открытке: произведение поверхности на окружность

Трансляция сегодняшнего доклада в zoom: 812-916-426!

В понедельник (3 ноября) в 17 00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Вещественные алгебраические узлы и зацепления»
Матвей Магин

Вещественное алгебраическое зацепление — это кривая в ℝP³, заданная системой однородных полиномиальных уравнений с вещественными коэффициентами.

Плоские вещественные алгебраические кривые были хорошо изучены в XX веке (в частности, это было мотивировано 16-ой проблемой Гильберта), в то время как систематическое изучение пространственных кривых (т.е. зацеплений) было начато совсем недавно, менее 10 лет назад. Методы этой науки находятся на пересечении алгебраической геометрии кривых и маломерной топологии.

Настоящий доклад — попытка осветить имеющиеся в этой области результаты и открытые вопросы.

Конференция

«Маломерная топология 2025»

5-7 ноября 2025
Наб. р. Фонтанки, 27, Мраморный зал
Расписание

Конференция приурочена к 50-летию Андрея Валерьевича Малютина. Тематика конференции охватывает современные достижения и актуальные проблемы в области топологии малых размерностей: теорию узлов и зацеплений, теорию групп кос, теорию 3- и 4-многообразий, контактную топологию, геометрические и алгебраические структуры на многообразиях малой размерности, а также связи с теорией групп, комбинаторикой, динамическими системами и математической физикой.

В воскресенье (9 ноября) в 13 00 в Мраморном зале ПОМИ РАН и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Дифференциальная топология за пределами многообразий»
Аршак Айвазьян

Я расскажу о схемной дифференциальной геометрии, определение которой формально аналогично определению схемной алгебраической геометрии. Этот язык предлагает единообразное трактование таких пространств, как многообразия с углами и стратификациями, инфинитезимальные окрестности и ростки, пространства отображений, распределений и другие бесконечномерные пространства, а также принципиальных новых пространств, выходящих за пределы традиционной парадигмы.

Доклад рассчитан на студентов 3 курса и старше, однако по запросам аудитории всё необходимое будет напоминаться.

📣 Мероприятия этой недели

• Функториальная и гомотопическая теория групп (14.11)
• Теория схем Гротендика (14.11)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (15.11)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (14.11)

• Доминирование многообразий гиперповерхностями (10.11)
• Срезанность узлов как препятствие к диффеоморфности многообразий–2 (10.11)
• Гомотопические классы элементов диаграмм и раскаски (10.11)
• Orientation Reversal and Resurgent Crossing of the Natural Boundary (10.11)
• Перекрестки и дуги узлов с топологической точки зрения (12.11)

На открытке: пространство модулей расслоений Хиггса

В понедельник (17 ноября) в 15:30 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Задание b_1-триангуляций гиперболических трёхмерных многообразий с вполне геодезическим краем при помощи шаблонов»
Даниил Нигомедьянов

Известно, что триангуляционная сложность компактного связного 3-многообразия с краем оценивается снизу первым числом Бетти гомологий этого многообразия в группе с коэффициентами Z/2Z. Совместно с Е. Фоминых было доказано, что все многообразия, на которых достигается нижняя оценка сложности, за исключением нескольких многообразий малой сложности, являются гиперболическими, а их минимальные триангуляции единственны. В докладе будет представлена тополого-комбинаторная техника, позволяющая задавать данные многообразия при помощи особого вида клеточных комплексов, называемых шаблонами.

В понедельник (24 ноября) в 15:30 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Обзор общей теории slice-torus инвариантов»
Вадим Степанюк

Изучение узлов с точки зрения их конкордантности — отношения эквивалентности, связывающего два узла, если они являются краями гладкого цилиндра в B⁴, — имеет большое значение для маломерной топологии и активно исследуется последнее время. Появление теорий гомологий зацеплений (гомологий Хегора — Флоера, Хованова) привело к созданию множества новых инструментов для изучения конкордантности, препятствий для срезанности и вычисления четырехмерного рода. Одними из первых таких инструментов стали τ-инвариант Ожсвата — Сабо и s-инвариант Расмуссена. Эти инварианты обладают множеством общих свойств, поэтому поначалу ставился вопрос о справедливости их равенства. Так произошло выделение общего класса slice-torus инвариантов.

В докладе будет изложена общая теория slice-torus инвариантов и представлено их обобщение на случай зацеплений. Мы обсудим их новые приложения, включая оценку снизу на splitting number. В качестве применения будет разобран пример топологической и гладкой срезанности претцелевых узлов.

От слушателей предполагается базовое знакомство с теорией узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (24.11)
• Функториальная и гомотопическая теория групп (28.11)
• Теория схем Гротендика (28.11)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (29.11)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (28.11)

• Псевдоизотопии и диффеоморфизмы четырехмерной сферы – 2 (24.11)
• Регулярность по Альфорсу и положительная кривизна Риччи (24.11)
• Проблема Шёнфлиса для билипшицевых гомеоморфизмов, сохраняющих площадь (27.11)

На открытке: букет гавайских причуд

В понедельник (1 декабря) в 17:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«О связи траекторий полурассеивающих бильярдов и геодезических» (перенос на 11 декабря)
Роман Баринов

Бильярд в дополнении нескольких выпуклых множеств называется полурассеивающим.

В первой части доклада будет рассказано о связи между траекториями полурассеивающих бильярдов на гладких римановых многообразиях и геодезическими в нерегулярной римановой геометрии. Будут приведены равномерные оценки на локальное и глобальное числа отражений в невырожденном полурассеивающем бильярде.

Во второй части доклада будет доказана теорема глобализации геодезических для финслеровых полиэдров (симплициальные комплексы, склеенные из симплексов, вырезанных из некоторых нормированных пространств): в односвязном финслеровом полиэдре локальная единственность геодезических влечёт глобальную единственность.

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (01.12)
• Функториальная и гомотопическая теория групп (05.12)
• Теория схем Гротендика (05.12)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (06.12)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (05.12)

• Квадратичные метрические сравнения (01.12)
• Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных симплектических многообразиях с особенностями общего положения (01.12)
• On computability-theoretic aspects of Stone spaces (03.12)
• Combinatorial curvature flows on surfaces and 3-dimensional manifolds (06.12)

На открытке: трёхмерное клеточное пространство

В понедельник (8 декабря) в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Сертификация зацепленности кривыми на ручках»
Арина Малова

Доклад посвящён вопросу неразводимости двухкомпонентных зацеплений в трёхмерной сфере. Мы рассмотрим зацепления, в которых одна из компонент затянута ручкой или перекрёстной ручкой в дополнении второй компоненты, и сформулируем достаточные условия неразводимости в терминах кривых на этих поверхностях

В четверг (11 декабря) в 15:20 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный):

«О связи траекторий полурассеивающих бильярдов и геодезических»
Роман Баринов

(перенос с 1 декабря)

В понедельник (15 декабря) в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Лемма Дена и теорема о сфере»
Сергей Фомин

Мы разберем два классических результата трехмерной топологии, по пути узнав пререквизиты из кусочно-линейной теории особенностей, которые интересны сами по себе.

Пререквизиты: думаю, что-то будет понятно даже неподготовленному слушателю.