(2,3,5) = (5,2,3)

Курс посвящен обзору восьми различных эквивалентных определений гомологической сферы Пуанкаре — пространства, послужившего контрпримером к первоначальной ошибочной гипотезе Пуанкаре о характеризации трёхмерной сферы. Для эффективной работы с этим пространством мы обратимся к визуализациям таких фундаментальных объектов и концепций трёхмерной и четырёхмерной топологии и теории узлов, как разветвлённые накрытия, разложения на ручки, скручивания Дена по кривым и хирургии Дена по узлам, диаграммы Хегора и исчисление Кёрби.

Расшифровку названия ищите в теле лекций.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 7 часов)
▪️Фотографии досок (на форуме Лектория)

Программа
1. Теорема Ликориша — Уоллеса
2. Разложение на ручки и диаграммы Хегора
3. Пространство додекаэдра есть хирургия по правому трилистнику с оснащением -1
4. Три трюка: вырывание окружности, 2-2-слайдинг, Рольфсен-твист
5. Е8, 2-3-5, Борромео, Уайтхед, 5 колец
6. Разветвленные накрытия S^3 с ветвлением вдоль узла
7. Разгадка

Литература
▪️Р. Кёрби, М. Шарльманн, «Восемь ликов гомологической трехмерной сферы Пуанкаре», (1982)
▪️Н. Савельев, «Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона», (2004)
▪️В. Прасолов, А. Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», (1997)
▪️D. Rolfsen, «Knots and Links», (1976)

Соседи
▪️Геометрическая теория узлов
▪️Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Художественный фильм «Не узел»

00:00 Определение узлов и зацеплений
02:18 Теорема Гордона—Люке о дополнении узла
03:20 Геометрия конических особенностей
04:38 Понятие фундаментальной области
06:50 Переход от конуса к цилиндру
07:45 Дополнение колец Борромео
09:19 его фундаментальная область
10:56 переход к гиперболическому додекаэдру
13:23 истинное обличие
14:21 Жесткость Мостова—Прасада и геометризация Тёрстона

Также смотрите: «Флатландия» и «Форма пространства»

(источник + перевод)

Группы Шоттки: фундаментальные области, предельные множества и связь с римановыми поверхностями

Курс знакомит с одним из красивейших объектов современной математики — группами Шоттки. Это специальные группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости, которые связывают комплексный анализ, теорию групп, гиперболическую геометрию и топологию поверхностей.

Группы Шоттки возникают естественным образом при изучении дискретных групп преобразований Мёбиуса и играют фундаментальную роль в теории римановых поверхностей. Курс покажет, как геометрия группы рождает сложные фрактальные множества, и продемонстрирует красоту и единство различных областей математики.

Почему эту тему стоит изучить? Здесь соблюдён баланс интуиции и формализма: видно, откуда берутся примеры и почему они важны для гиперболической и комплексной геометрии. Также это удачный ввод в теорию Тайхмюллера и теорию групп Клейна.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения: раз и два

Программа

1. Дробно-линейные преобразования и инверсии
2. Группы Шоттки, PSL(2,Z), жордановы кривые, орбиты, фундаментальные области, факторизация
3. Действие на сфере Римана, области разрыва, предельные множества
4. Связь с канторовым множеством: фрактальная структура предельного множества
5. Римановы поверхности, эллиптические кривые и пространство Тайхмюллера

Пререквизиты

Пригодятся азы комплексного анализа (дробно-линейные преобразования, инверсии, конформные отображения), теории групп (свободные группы, дискретные группы преобразований), топологии (связность, компактность, фундаментальные группы поверхностей)

Соседи
▪️Пространства Тейхмюллера
▪️Геометрическая теория групп
▪️Клейновы группы

Литература
▪️A. F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups
▪️L. Maskit, Kleinian Groups
▪️J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрические структуры на поверхностях

Геометрических структур на поверхностях много, можно выделить по крайней мере 6 классов. А именно, поверхность можно наделить метрикой постоянной кривизны, комплексно-проективной структурой, аффинной структурой, вещественно-проективной структурой, целочисленно-аффинной структурой, трансляционной структурой, либо же просто комплексной структурой. Определение каждой из этих структур элементарно, но за каждой стоит целая наука, в той или иной степени развитая. Например, целочисленно-аффинная структура привлекла к себе внимание относительно недавно и связана с зеркальной симметрией, такая структура на поверхностях кодирует интересные многообразия размерности 4 с комплексной и симплектической структурой. Используя такую структуру, можно нарисовать картинку К3-поверхности. Трансляционная структура связана с бильярдами, динамическими системами, и модулярными формами. Цель лекций — рассказать несколько разных сюжетов, связанных с этими структурами.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 6 часов)

Программа

1. Аффинные структуры и теорема Милнора–Вуда. Отсутствие аффинных структур на поверхностях рода g≥2. Касательное расслоение, класс Эйлера.
2. Трансляционные (плоские) поверхности. Конические особенности, автоморфизмы, Veech-группы и решётки конечного объёма в SL(2,R).
3. Динамика и слоения. Феномен Зорича: направлениеные потоки, полосы распространения, гиперболические автоморфизмы, связи с эллиптическими кривыми и расширениями.
4. Плоские метрики с коническими особенностями. Комплексная структура на конусах, применение комплексного анализа к задачам о триангуляции.
5. Приложения к триангуляциям и дискретным задачам. Триангуляция поверхностей с ограничениями на валентности (5,6,…,7); как геометрические структуры помогают формулировать и решать комбинаторные вопросы.
6. K3-поверхности и зеркальная симметрия. Квартики в CP³, куммерские поверхности, связка комплексной и симплектической структур — обзор, мотивирующий для дальнейшего изучения.

Пререквизиты

1. Базовая топология поверхностей (род, простые замкнутые кривые).
2. Комплексный анализ на поверхностях (голоморфные/мероморфные функции).
4. Элементы римановой/дифференциальной геометрии (касательное расслоение, векторные поля).
6. Базовый курс по теории групп и линейной алгебре: матрицы, SL(2,R).
7. Желательно знакомство теорий Тейхмюллера, но не обязательно.

Соседи
▪️Пространства Тейхмюллера
▪️Слоения, железные дороги Тёрстона и гиперболическая геометрия на поверхностях
▪️Теорема Милнора—Вуда

Литература

▪️A. Eskin, H. Masur, A. Zorich, Moduli spaces of Abelian differentials: The principal boundary, counting problems, and the Siegel–Veech constants
▪️B. Farb, D. Margalit, A Primer on Mapping Class Groups
▪️L. Huybrechts, Lectures on K3 Surfaces
▪️L. Tu, Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Чем вам может быть интересна теория узлов

00:00 Математическое определение
04:13 Физические истоки: Тейт против Менделеева
08:32 Проблемы перечисления и распознавания узлов
09:55 Комбинаторная теория: теорема Райдемайстера
10:58 Решение проблемы распознавания узлов
13:00 Инварианты узлов
14:20 Трёхцветные раскраски
17:56 Многочлен Александера—Конвея
19:40 Многочлен Джонса: революция в теории узлов
21:08 Перечисление: пара Перко, метод Конвея и компьютеры
24:28 Связь с химией: как завязать молекулу в узел
26:22 Связь с биологией: как топоизомераза спасает ДНК
28:39 Какой из двух популярных узлов лучше использовать
29:48 Что сделать, чтобы наушники в кармане не запутывались

(источник)

Теория узлов в 4D

Узлы в 3D
02:38 Плоские проекции
06:09 Цветные проекции
08:15 Теорема Райдемастера
15:05 Трёхцветные раскраски как инвариант
19:52 История классификации узлов

Поверхности в 4D
20:49 Аналогия с 3D
22:22 Использование цвета для визуализации 4D
23:36 Примеры
27:37 Два способа разрешить тройное пересечение
28:59 Зонтик Уитни
30:27 Теорема Роземана (аналог теоремы Райдемастера)
35:31 Трёхцветные раскраски как инвариант

Ленточные поверхности в 4D
40:30 Ленточные сферы
43:15 Движение колец (косы со спайками)
46:22 Диаграммы ленточных сфер и их преобразований
49:38 Использование виртуальных перекрёстков
51:52 Примеры
55:04 Сюръективное соответствие, инъективность неизвестна
55:49 Современные вопросы и разработки

(источник + перевод)

Голосуйте за время проведения семинара в этом семестре!

📣 Мероприятия этой недели

• Функториальная и гомотопическая теория групп (19.09)
• Теория схем Гротендика (19.09)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (20.09)

• Нижние оценки на число делений без зависти (15.09)
• Потоки Риччи и гомотопический тип группы диффеоморфизмов простых трёхмерных многообразий (15.09)
• Invariants of virtual knots and links (15.09)
• Инварианты почти вложений графов в плоскость (17.09)
• Real Heegaard Floer Homology (18.09)
• О связи свойств компактного подмножества R^N и его проекций (20.09)

На открытке: комплексное проективное пространство CP^2 как результат факторизации четырёхмерного шара D^4 по действию окружности на его крае ∂D^4=S^3 расслоением Хопфа (конус отображения)

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (25.09)
• Функториальная и гомотопическая теория групп (26.09)
• Теория схем Гротендика (26.09)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (27.09)

• Узлы, весовые системы и гипотеза Ландо (22.09)
• Потоки Риччи и гомотопический тип группы диффеоморфизмов простых трёхмерных многообразий — 2 (22.09)
• Множества Делоне: локальные правила, счетные семейства и периодичность (22.09)
• Конечная порожденность абелизаций ядер Джонсона (23.09)
• Теоремы Браудера-Левина-Новикова о вложимости (24.09)

На открытке: взгляд изнутри результата хирургии Дена 55/7 по узлу «восьмёрка»

В четверг (25 сентября) в 17:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Дополнение альтернированного зацепления как склейка идеальных многогранников»
Ярослав Нагибин

В докладе я расскажу алгоритм, позволяющий по диаграмме альтернированного зацепления представить его дополнение как склейку двух идеальных (т. е. с удалёнными вершинами) многогранников.

В конце, в качестве приложения алгоритма, расскажу, как с помощью идеальной триангуляции строить гиперболическую структуру.

В понедельник (6 октября) в 17 00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Геометрия дискретной группы Гейзенберга»
Руслан Магдиев

Дискретная группа Гейзенберга — это классическая решётка в трёхмерной Nil-геометрии, одной из восьми геометрий Тёрстона. Её граф Кэли можно рассматривать как комбинаторную модель этой геометрии. В докладе мы обсудим, как устроены кратчайшие пути (геодезические) в таком графе.

Мы увидим классификацию геодезических относительно стандартных порождающих и связь с путями на плоской решётке. Кроме того, поговорим о ряде открытых направлений: глубина «тупиков», описание конусов геодезических, формулы для расстояния, локальные описания окрестностей и другие вопросы на стыке комбинаторики и геометрии.

Доклад рассчитан на широкий круг слушателей: от студентов, знакомых с группами и геометрией, до исследователей, интересующихся геометрической теорией групп и её связями с трёхмерными геометриями.

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (06.10)
• Функториальная и гомотопическая теория групп (10.10)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (11.10)
• Теория схем Гротендика (10.10)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (10.10)

• Свойства плоских углов тетраэдров с заданным основанием (06.10)
• Потоки Риччи и гомотопический тип группы диффеоморфизмов простых трёхмерных многообразий — 4 (06.10)
• Слоение Лиувилля плоских биллиардов в потенциальном и магнитном поле (06.10)
• On biquandles for the groups G^k_n and surface singular braid monoid (06.10)
• О гельдеровых отображениях многообразий (07.10)
• Поверхности бесконечного типа и их группы классов отображений (08.10)
• О числе компонент складок у простых по образу отображений со складками (10.10)
• Knot Logic and Majorana Fermions (11.10)

На открытке: расслоение Зейферта дополнения узла «трилистника»

Стипендии имени В. А. Рохлина для молодых математиков Санкт-Петербурга

Стипендии имени В. А. Рохлина предназначаются для студентов и аспирантов Санкт-Петербурга, показавших успехи в обучении и в научных исследованиях, и подготовивших на рассмотрение жюри научный проект на ближайший календарный год, преимущественно по направлениям: топология, геометрия, алгебра, теория динамических систем и смежным разделам математики. Проект представляется вместе с рецензией научного руководителя. Возможны коллективные проекты (не более двух участников).

Более подробную информацию можно найти на сайте.

Приём заявок открыт до 15-го октября!

В четверг (30 октября) в 17 00 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Реконструкция узлов по псевдохарактерам групп кос»
Илья Алексеев

Теория узлов и теория кос тесно связаны конструкцией замыкания, переводящей косы в узлы и зацепления. Классическая теорема Александера гласит, что любое зацепление является замыканием некоторой косы, а теорема Маркова описывает, когда две косы представляют одно и то же зацепление, сводя топологическую эквивалентность к алгебраическим преобразованиям — сопряжению и стабилизации в группах кос. Эта связь стимулирует поиск тонких инвариантов сопряженности, среди которых особое место занимают псевдохарактеры — вещественнозначные функции на группе кос, задающие её ограниченные 2-коциклы. Они возникают на стыке алгебры, топологии, геометрии и динамики и находят применения в комбинаторной теории групп, симплектической геометрии и теории представлений.

Наиболее яркие результаты о связи топологии узлов и свойств представляющих их кос были получены для конкретного псевдохарактера — закрученности (также известной как коэффициент дробного скручивания Дена). Закрученность даёт нижнюю оценку на род ограничивающих узел поверхностей в 3D и 4D, оценку на число нитей кос-представителей, а также позволяет определять геометрический тип узла в терминах динамического типа задающей его косы. Отсюда возникает естественный вопрос: данная глубокая связь является специфическим свойством закрученности или частным проявлением более общего принципа?

Мы показываем, что связь универсальна: любой псевдохарактер на группах кос несёт содержательную информацию о геометрии и топологии зацепления. В частности, при замене закрученности на произвольный псевдохарактер остаются в силе аналогичные оценки и критерии, касающиеся трёхмерного рода, числа нитей и геометрического типа.

Таким образом, совокупность значений всех псевдохарактеров — или спектр псевдохарактеров — восстанавливает фундаментальные свойства зацепления по представляющим его косам. Получающийся когомологический профиль узла формирует новый язык для выражения его инвариантов и объединяет топологические, алгебраические и геометрические аспекты в единую систему координат.

📣 Мероприятия этой недели

• Студенческий семинар по маломерной топологии (30.10)
• Трёхмерные и четырёхмерные многообразия (01.11)
• Теория схем Гротендика (31.10)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (31.10)

• Срезанность узлов, как препятствие к диффеоморфности многообразий (27.10)
• Кратности реализации циклов в обобщенной проблеме Стинрода (28.10)
• Ветвление функции объёма вблизи асимптотических гиперплоскостей (29.10)
• A lemma on Singular Borromean Rings (30.10)

На открытке: произведение поверхности на окружность

Трансляция сегодняшнего доклада в zoom: 812-916-426!

В понедельник (3 ноября) в 17 00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Вещественные алгебраические узлы и зацепления»
Матвей Магин

Вещественное алгебраическое зацепление — это кривая в ℝP³, заданная системой однородных полиномиальных уравнений с вещественными коэффициентами.

Плоские вещественные алгебраические кривые были хорошо изучены в XX веке (в частности, это было мотивировано 16-ой проблемой Гильберта), в то время как систематическое изучение пространственных кривых (т.е. зацеплений) было начато совсем недавно, менее 10 лет назад. Методы этой науки находятся на пересечении алгебраической геометрии кривых и маломерной топологии.

Настоящий доклад — попытка осветить имеющиеся в этой области результаты и открытые вопросы.