📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (10.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (11.03)
▪️Алгебраическая геометрия II (13.03)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (15.03)
▪️Замощения сдвигами функций (15.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (15.03)

▪️Геометрические реализации алгебраических объектов и производная некоммутативная алгебраическая геометрия (10.03)
▪️Свойства конечности для групп и теория Морса – 1 (10.03)
▪️Определение матрицы b-периодов дубля поверхности с краем по её ДН-оператору (10.03)
▪️Числа Райдемайстера автоморфизмов дискретных групп (12.03)

На открытке: визуализация конформных преобразований

Нильсен-Тёрстон и Тёрстон вслед за Берсом

Теорема классификации Нильсена-Тёрстона в теории групп классов отображений поверхностей и теорема Тёрстона в комплексной динамике являются краеугольными результатами в своих областях. Они дают нормальные формы для гомеоморфизмов и разветвленных накрытий поверхностей. В совместной работе с Белком и Винарски мы приводим теорему, которая содержит обе теоремы в качестве частных случаев. Мы доказываем эту теорему как следствие теоремы Тейхмюллера, подобно тому, как Берс доказал классификацию Нильсена-Терстона. Наша работа решает несколько открытых вопросов. Я буду стремиться к тому, чтобы доклад был доступен широкой аудитории топологов.

00:00 Введение
01:20 Классификация Нильсена-Тёрстона
06:24 Разветвлённые накрытия поверхностей
09:30 Теорема Тёрстона
11:40 Препятствия: циклы Леви
15:00 Почему это действительно препятствия
18:05 Теорема Тёрстона на бис
18:20 Обещанная убер/над/сверх/супер-теорема
22:04 Комплексные структуры и пространство Тейхмюллера
25:32 Метрика на пространстве Тейхмюллера
27:22 Пример: тор (задача Гросса)
30:49 Геодезические на пространстве Тейхмюллера (растяжения вдоль слоений)
33:34 Пулбэк не увеличивает расстояние
37:45 Исключительный случай сжатия
43:10 Доказательство сверхтеоремы и классификации Нильсена-Тёрстона a la Bers
48:18 Вопрос М. Бонк и ответ на него
52:19 Открытые проблемы
54:18 Вопросы и ответы

(источник)

В субботу (15 марта) в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Классификация Нильсена-Тёрстона»
Андрей Рябичев

Пусть S — замкнутая поверхность. Тогда элементы группы классов отображений Mod(S) делятся на три класса: периодические, приводимые и псевдоаносовские. Интересно, что описываются эти классы гомеоморфизмов в совершенно разных терминах: первый — в теоретико-групповом, второй — в терминах действия на классах кривых, а третий — в терминах некоторой геометрической структуры на поверхности. Кроме того, первые два класса пересекаются, но дизъюнктны с третьим.

Я расскажу доказательство этой теоремы, принадлежащее Берсу (1978), в нём рассматривается действие Mod(S) на пространстве Тейхмюллера Teich(S), а для построения слоений псевдоаносовского отображения используются квазиконформные отображения. Попутно я постараюсь напомнить многочисленные детали этого рассуждения — измеримые слоения, гиперболические/римановы структуры на поверхностях, теоремы существования/единственности Тейхмюллера, а также предыдущие термины.

Группы и теория гомотопий

Планируется разбор и обсуждение некоторых открытых проблем теории групп и маломерной теории гомотопий: проблемы асферичности Уайтхеда, D(2)-гипотезы Уолла, проблемы дыр соотношений, проблемы делителей нуля в групповых кольцах. Скорее это не курс, а беседы о теории групп и теории гомотопий с описанием различных примеров, трюков и методов.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 12 часов)
▪️Таймкоды

Программа
1. Философия и панорамный взгляд
2. Предчувствие функториальной хирургии
3. Гомологии групп
4. Запредельная алгебра
5. Формула Ву
6. Проблема Капланского
7. Методы комбинаторной теории групп
8. Дыры соотношений
9. Теория функторов

Литература
▪️J. Neisendorfer. Algebraic Methods in Unstable Homotopy Theory. Cambridge University Press; 2010.
▪️C. Hog-Angeloni, W. Metzler, A. Sieradski, eds. Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory. Cambridge University Press; 1993.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Время регистрации истекает.

Дискретная теория Морса

Дискретная теория Морса на первый взгляд выглядит как игрушечный вариант гладкой, однако обладает не меньшей научной мощностью: позволяет считать эйлерову характеристику, вычислять гомологические группы, упрощать изучаемое многообразие. Можно управлять градиентным векторным полем так, как этому научил Милнор, однако его знаменитая «First Cancellation Theorem» о взаимном сокращении критических точек превращается в дискретном случае в милую, почти очевидную лемму. Мы научимся пользоваться этим замечательным методом (это просто) и порешаем задачи – от простых до пока не решенных (потребуется креативность).

Курсы «Теория Морса: гладкая и дискретная» и «Разбиения многообразий на ручки: в сторону теоремы об h-кобордизме» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гладкая теория Морса: самые общие сведения вкратце. Симплициальные комплексы, клеточные комплексы. Дискретная функция Морса по Робину Форману, первые примеры.
2. Морсовы гомологии, неравенства Морса.
3. Более содержательные примеры (целая россыпь комбинаторно-геометрических объектов, которые интересны сами по себе): сферы Бира, «знаменитые» многогранники – пермутоэдр и ассоциэдр, малые накрытия (по Дэвису–Янушкевичу), конфигурационные пространства шарнирных механизмов, и другие, сколько успеем.
4. Игра «угадай подкомплекс» и дискретная теория Морса.

Пререквизиты
Для понимания морсовых гомологий потребуется знание линейной алгебры и теории абелевых групп. Прочие знания (в т. ч. знание классической теории Морса) не предполагаются.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (31.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (01.04)
▪️Алгебраическая геометрия II (03.04)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (05.04)
▪️Замощения сдвигами функций (05.04)

▪️Двумерные узлы и гладкие структуры в S^4 (31.03)
▪️Are all 2-dimasional links in the 4-sphere slice? (02.04)
▪️Three Talks about Knots and Functional Integrals 3 (05.04)

На открытке: нормальное расслоение на стандартном торе

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (07.04)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (08.04)
▪️Алгебраическая геометрия II (10.04)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (12.04)
▪️Замощения сдвигами функций (12.04)

▪️Классификация тесных контактных структур в полнотории (07.04)
▪️Сравнение по модулю 1 для η-инварианта трёхмерных римановых многообразий (07.04)
▪️Контактизация систем уравнений первого порядка на двумерных многообразиях (07.04)
▪️Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея III (11.04)
▪️Тройной трюк Уитни II (11.04)

На открытке: контактная структура в полнотории

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (28.04)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (29.04)
▪️Алгебраическая геометрия II (01.05)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (03.05)
▪️Замощения сдвигами функций (03.05)

▪️Гипотеза Зимана для неспециальных полиэдров – 2 (28.04)
▪️Почти тетраэдральные многообразия (28.04)
▪️Расстояния Громова-Хаусдорфа между неограниченными метрическими пространствами (28.04)
▪️О рационально интегрируемых двойственных и проективных бильярдах (29.04)
▪️Об обобщении топологической группы Брауэра (30.04)

На открытке: расслоение Зейферта дополнения узла «трилистника» (траектории модулярного потока)

Научная школа

«Летняя Исследовательская Программа Студентов»

7 июля — 8 августа 2025
МФТИ
Москва, Долгопрудный

Исследовательская программа для студентов 3-4 курсов бакалавриата, магистров, аспирантов математических специальностей.

По традиции научных стажировок после теоретического введения в контекст лекторы будут предлагать открытые задачи из разных разделов фундаментальной и прикладной математики, среди которых:

• Экстремальная комбинаторика
• Дискретная и комбинаторная геометрия
• Топологическая комбинаторика
• Дискретная оптимизация и теория сложных сетей
• Computer science и теоретическая информатика

Подробнее о прошлой и предстоящей программах можно узнать на сайте.
Заявки на участие принимаются до 15 мая.

(2,3,5) = (5,2,3)

Курс посвящен обзору восьми различных эквивалентных определений гомологической сферы Пуанкаре — пространства, послужившего контрпримером к первоначальной ошибочной гипотезе Пуанкаре о характеризации трёхмерной сферы. Для эффективной работы с этим пространством мы обратимся к визуализациям таких фундаментальных объектов и концепций трёхмерной и четырёхмерной топологии и теории узлов, как разветвлённые накрытия, разложения на ручки, скручивания Дена по кривым и хирургии Дена по узлам, диаграммы Хегора и исчисление Кёрби.

Расшифровку названия ищите в теле лекций.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 7 часов)
▪️Фотографии досок (на форуме Лектория)

Программа
1. Теорема Ликориша — Уоллеса
2. Разложение на ручки и диаграммы Хегора
3. Пространство додекаэдра есть хирургия по правому трилистнику с оснащением -1
4. Три трюка: вырывание окружности, 2-2-слайдинг, Рольфсен-твист
5. Е8, 2-3-5, Борромео, Уайтхед, 5 колец
6. Разветвленные накрытия S^3 с ветвлением вдоль узла
7. Разгадка

Литература
▪️Р. Кёрби, М. Шарльманн, «Восемь ликов гомологической трехмерной сферы Пуанкаре», (1982)
▪️Н. Савельев, «Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона», (2004)
▪️В. Прасолов, А. Сосинский, «Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия», (1997)
▪️D. Rolfsen, «Knots and Links», (1976)

Соседи
▪️Геометрическая теория узлов
▪️Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Художественный фильм «Не узел»

00:00 Определение узлов и зацеплений
02:18 Теорема Гордона—Люке о дополнении узла
03:20 Геометрия конических особенностей
04:38 Понятие фундаментальной области
06:50 Переход от конуса к цилиндру
07:45 Дополнение колец Борромео
09:19 его фундаментальная область
10:56 переход к гиперболическому додекаэдру
13:23 истинное обличие
14:21 Жесткость Мостова—Прасада и геометризация Тёрстона

Также смотрите: «Флатландия» и «Форма пространства»

(источник + перевод)

Группы Шоттки: фундаментальные области, предельные множества и связь с римановыми поверхностями

Курс знакомит с одним из красивейших объектов современной математики — группами Шоттки. Это специальные группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости, которые связывают комплексный анализ, теорию групп, гиперболическую геометрию и топологию поверхностей.

Группы Шоттки возникают естественным образом при изучении дискретных групп преобразований Мёбиуса и играют фундаментальную роль в теории римановых поверхностей. Курс покажет, как геометрия группы рождает сложные фрактальные множества, и продемонстрирует красоту и единство различных областей математики.

Почему эту тему стоит изучить? Здесь соблюдён баланс интуиции и формализма: видно, откуда берутся примеры и почему они важны для гиперболической и комплексной геометрии. Также это удачный ввод в теорию Тайхмюллера и теорию групп Клейна.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения: раз и два

Программа

1. Дробно-линейные преобразования и инверсии
2. Группы Шоттки, PSL(2,Z), жордановы кривые, орбиты, фундаментальные области, факторизация
3. Действие на сфере Римана, области разрыва, предельные множества
4. Связь с канторовым множеством: фрактальная структура предельного множества
5. Римановы поверхности, эллиптические кривые и пространство Тайхмюллера

Пререквизиты

Пригодятся азы комплексного анализа (дробно-линейные преобразования, инверсии, конформные отображения), теории групп (свободные группы, дискретные группы преобразований), топологии (связность, компактность, фундаментальные группы поверхностей)

Соседи
▪️Пространства Тейхмюллера
▪️Геометрическая теория групп
▪️Клейновы группы

Литература
▪️A. F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups
▪️L. Maskit, Kleinian Groups
▪️J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрические структуры на поверхностях

Геометрических структур на поверхностях много, можно выделить по крайней мере 6 классов. А именно, поверхность можно наделить метрикой постоянной кривизны, комплексно-проективной структурой, аффинной структурой, вещественно-проективной структурой, целочисленно-аффинной структурой, трансляционной структурой, либо же просто комплексной структурой. Определение каждой из этих структур элементарно, но за каждой стоит целая наука, в той или иной степени развитая. Например, целочисленно-аффинная структура привлекла к себе внимание относительно недавно и связана с зеркальной симметрией, такая структура на поверхностях кодирует интересные многообразия размерности 4 с комплексной и симплектической структурой. Используя такую структуру, можно нарисовать картинку К3-поверхности. Трансляционная структура связана с бильярдами, динамическими системами, и модулярными формами. Цель лекций — рассказать несколько разных сюжетов, связанных с этими структурами.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 6 часов)

Программа

1. Аффинные структуры и теорема Милнора–Вуда. Отсутствие аффинных структур на поверхностях рода g≥2. Касательное расслоение, класс Эйлера.
2. Трансляционные (плоские) поверхности. Конические особенности, автоморфизмы, Veech-группы и решётки конечного объёма в SL(2,R).
3. Динамика и слоения. Феномен Зорича: направлениеные потоки, полосы распространения, гиперболические автоморфизмы, связи с эллиптическими кривыми и расширениями.
4. Плоские метрики с коническими особенностями. Комплексная структура на конусах, применение комплексного анализа к задачам о триангуляции.
5. Приложения к триангуляциям и дискретным задачам. Триангуляция поверхностей с ограничениями на валентности (5,6,…,7); как геометрические структуры помогают формулировать и решать комбинаторные вопросы.
6. K3-поверхности и зеркальная симметрия. Квартики в CP³, куммерские поверхности, связка комплексной и симплектической структур — обзор, мотивирующий для дальнейшего изучения.

Пререквизиты

1. Базовая топология поверхностей (род, простые замкнутые кривые).
2. Комплексный анализ на поверхностях (голоморфные/мероморфные функции).
4. Элементы римановой/дифференциальной геометрии (касательное расслоение, векторные поля).
6. Базовый курс по теории групп и линейной алгебре: матрицы, SL(2,R).
7. Желательно знакомство теорий Тейхмюллера, но не обязательно.

Соседи
▪️Пространства Тейхмюллера
▪️Слоения, железные дороги Тёрстона и гиперболическая геометрия на поверхностях
▪️Теорема Милнора—Вуда

Литература

▪️A. Eskin, H. Masur, A. Zorich, Moduli spaces of Abelian differentials: The principal boundary, counting problems, and the Siegel–Veech constants
▪️B. Farb, D. Margalit, A Primer on Mapping Class Groups
▪️L. Huybrechts, Lectures on K3 Surfaces
▪️L. Tu, Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Чем вам может быть интересна теория узлов

00:00 Математическое определение
04:13 Физические истоки: Тейт против Менделеева
08:32 Проблемы перечисления и распознавания узлов
09:55 Комбинаторная теория: теорема Райдемайстера
10:58 Решение проблемы распознавания узлов
13:00 Инварианты узлов
14:20 Трёхцветные раскраски
17:56 Многочлен Александера—Конвея
19:40 Многочлен Джонса: революция в теории узлов
21:08 Перечисление: пара Перко, метод Конвея и компьютеры
24:28 Связь с химией: как завязать молекулу в узел
26:22 Связь с биологией: как топоизомераза спасает ДНК
28:39 Какой из двух популярных узлов лучше использовать
29:48 Что сделать, чтобы наушники в кармане не запутывались

(источник)

Теория узлов в 4D

Узлы в 3D
02:38 Плоские проекции
06:09 Цветные проекции
08:15 Теорема Райдемастера
15:05 Трёхцветные раскраски как инвариант
19:52 История классификации узлов

Поверхности в 4D
20:49 Аналогия с 3D
22:22 Использование цвета для визуализации 4D
23:36 Примеры
27:37 Два способа разрешить тройное пересечение
28:59 Зонтик Уитни
30:27 Теорема Роземана (аналог теоремы Райдемастера)
35:31 Трёхцветные раскраски как инвариант

Ленточные поверхности в 4D
40:30 Ленточные сферы
43:15 Движение колец (косы со спайками)
46:22 Диаграммы ленточных сфер и их преобразований
49:38 Использование виртуальных перекрёстков
51:52 Примеры
55:04 Сюръективное соответствие, инъективность неизвестна
55:49 Современные вопросы и разработки

(источник + перевод)

Голосуйте за время проведения семинара в этом семестре!

📣 Мероприятия этой недели

• Функториальная и гомотопическая теория групп (19.09)
• Теория схем Гротендика (19.09)
• Теория гомотопий и алгебраическая К-теория (20.09)

• Нижние оценки на число делений без зависти (15.09)
• Потоки Риччи и гомотопический тип группы диффеоморфизмов простых трёхмерных многообразий (15.09)
• Invariants of virtual knots and links (15.09)
• Инварианты почти вложений графов в плоскость (17.09)
• Real Heegaard Floer Homology (18.09)
• О связи свойств компактного подмножества R^N и его проекций (20.09)

На открытке: комплексное проективное пространство CP^2 как результат факторизации четырёхмерного шара D^4 по действию окружности на его крае ∂D^4=S^3 расслоением Хопфа (конус отображения)