Характеристические классы

Характеристические классы — один из ключевых объектов алгебраической топологии. Теория характеристических классов зародилась в работах Штифеля, Уитни, Понтрягина, Чженя и других математиков в 30-х — 40-х годах 20-го века. С тех пор она активно развивается и уже давно стала необходимым инструментом в большинстве разделов современной топологии. Подходы к построению характеристических классов очень разнообразны. В докладе будет сделана попытка дать обзор некоторых конструкций характеристических классов и обсудить связи между ними. Планируется рассказать о некоторых классических приложениях характеристических классов, таких как результат об отсутствии алгебр с делениями в размерностях, не являющихся степенями двойки, и результат Милнора о нетривиальных гладких структурах на 7-мерной сфере. Также планируется кратко обсудить результаты о гомотопической, топологической и комбинаторной инвариантности (или неинвариантности) тех или иных характеристических классов. В основном речь будет идти о классических классах Штифеля — Уитни, Эйлера, Понтрягина и Чженя, хотя скорее всего будут упомянуты и более современные объекты, в частности, характеристические классы Мамфорда — Миллера — Мориты расслоений со слоем поверхность.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1.5 часа)

Программа
1. Краткий обзор гомологий и когомологий
2. От теоремы Пуанкаре — Хопфа к классу Эйлера
3. От наборов сечений к классам Штифеля — Уитни и Понтрягина
4. Комбинаторные формулы для характеристических классов

Пререквизиты
Доклад будет в первую очередь рассчитан на математиков-нетопологов, поэтому все необходимые определения будут даны в процессе доклада.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Косы: хитросплетение математики

Теория кос является одним из интереснейших разделов топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Так, современные исследования кос затрагивают различные аспекты комбинаторики, теории групп, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию узлов, комбинаторику многогранников, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, описать произвольный узел, симметрию платонова тела или отображение между многомерными сферами. В настоящем курсе мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Курс «Теория кос» является идеологическим продолжением данного вводного мини-курса.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения, конспект и список литературы

Программа
1. Структуры на косах и нормальные формы. Мы обсудим алгебраические свойства кос и докажем существование уникальных геометрических представлений: причесанной и жадной формы кос.
2. Действия групп кос и инварианты. Мы посмотрим на косы с точки зрения преобразований объектов самой разной природы.
3. Трихотомия Нильсена — Тёрстона. Мы попробуем выяснить, какие косы задают наиболее эффективные способы перемешивания растворов, проложим мостик к теории узлов и выясним, при чем здесь геометризационная теорема Тёрстона.
4. Косы на поверхностях и комплекс Мура брунновых кос. Мы узнаем, как связаны косы и гомотопические группы сфер.

Пререквизиты
Для понимания первых трёх тем не предполагается знаний сверх школьной программы, представления о непрерывности и пространственного мышления. Возможно, в конце для полного понимания потребуются более продвинутые знания.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Введение в симплициальные множества

Мини-курс представляет собой расширенный пререквизит к будущему курсу симплициальной теории гомотопий.

В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков.
О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам:

1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано);
2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты);
3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория).

В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 8 часов)
▪️Слайды и упражнения

Программа
1. Комбинаторные модели и предпучки.
2. Нерв и комплекс Виеториса.
3. Йога Йонеды и пространства отображений.
4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус.
5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации.
6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение.
7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров.
8. Гомотопические группы сфер и раскраски.

Литература
▪️E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», (2011)
▪️G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets»‎, (2023)
▪️Dmitri Pavlov, «Topology»‎, (2019)
▪️Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups»‎, (2010)

Пререквизиты
Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).

На этой неделе в Санкт-Петербурге проходит IV Конференция математических центров России. Поприветствуем доклады секций «Топология» и «Геометрия»!

6 августа (вторник)

▪️Проблема Арнольда о гельдеровом отображении квадрата на куб (Щепин Е. В.)
▪️Синтаксическая алгебра и связь с топологией (Голубь Н. И.)
▪️Полином Ямады K4-кривых и полином Джонса ассоциированных зацеплений (Ошмарина О. А.)

▪️Многомерные биллиардные книжки и их топологические свойства (Кибкало В. А.)
▪️Атлас бифуркационных диаграмм системы трёх вихрей со связью (Пальшин Г. П.)

7 августа (среда)

▪️Проблема Кервера в стабильной теории гомотопий и ее обобщение (Ахметьев П. М.)
▪️Действия торов и кватернионных торов на произведениях сфер (Гугнин Д. В.)

▪️Интегрируемые двумерные геодезические потоки в магнитном поле (Агапов С. В.)
▪️О гамильтоновости в задаче о движении твёрдого тела в потоке частиц (Верёвкин Г. А.)

8 августа (четверг)

▪️Сильное сходство отображений (Подкорытов С. С.)
▪️Степень обобщенной полухарактеристики (Лаврухин В. А.)
▪️Порядки гомотопических инвариантов отображений в пространства Эйленберга—Маклейна (Фомин С. В.)
▪️Пополнения Боусфилда—Кана подстягиваемых копредставлений и ациклические разложения Дрора (Михович А. М.)
▪️Производная дифференциальная геометрия (Айвазьян А. В.)

▪️О статических многообразиях с краем (Медведев В. О.)
▪️Тропический закон взаимности Вейля (Магин М. И.)
▪️Разложение Коджимы одного класса гиперболических 3-многообразий с вполне геодезическим краем (Нигомедьянов Д. Д.)
▪️О невырожденности полурассеивающих бильярдов в нормированных пространствах (Баринов Р. В.)

9 августа (пятница)

▪️Евклидов объем конического многообразия над гиперболическим узлом является алгебраическим числом (Абросимов Н. В.)
▪️Оценки объёмов гиперболических зацеплений через число скручиваний в диаграмме (Егоров А. А.)
▪️Циклическая упорядочиваемость и группы виртуальных узлов (Иванов М. Э.)

▪️Мультиобходы и многогранники бинарных деревьев (Щербаков О. С.)
▪️Роль полярного преобразования в построении двойственных многогранников к выпуклым и звездчатым многогранникам (Антипова Л. А.)

10 августа (суббота)

▪️Инварианты заузленных тел с ручками (Бардаков В. Г.)
▪️Продолжения представлений группы кос на моноид сингулярных кос (Козловская Т. А.)
▪️Коэффициенты дробных скручиваний Дена кос на поверхностях (Алексеев И. С.)
▪️Конфигурационные пространства, косы и гомотопические группы (Ионин В. А.)

11 августа (воскресенье)

▪️О двух проблемах Ролфсена (Мелихов С. А.)
▪️О типичности гиперболических узлов (Белоусов Ю. С.)
▪️Сравнение лежандровых узлов с нетривиальной группой симметрии (Шастин В. А.)
▪️Лежандровы лаврентьевские кривые (Прасолов М. В.)
▪️Прямоугольные диаграммы тугих слоений в дополнениях к узлам (Чернавских М. М.)
▪️Геометрические свойства графов хирургий в маломерной топологии (Миллер А. Ю.)

Видеозаписи продолжения «Геометрической теории узлов» уже доступны!

▪️Лемма о Диаманте и теорема Шуберта
▪️Теорема Дена — Ликориша для диска с дырами
▪️Теорема Дена — Ликориша в общем случае, разбиение Хегора
▪️Теорема Ликориша — Уоллеса, Инь-Ян, торические червоточины

Для вашего удобства теперь все видеоролики нашего YouTube-канала дублируются в отдельном Telegram-канале: @ldtss_backup

Теорема Милнора—Вуда

Расслоения со слоем «окружность» над поверхностями (тором, сферой, кренделем...) — замечательный ручной объект, они классифицируются своими числами Эйлера. Например, число Эйлера объясняет, почему сферического ёжика невозможно причесать без образования макушек.

Мы планируем несколько усложнить жизнь (попутно сделав её интереснее): нас будут интересовать расслоения с плоскими связностями, или, что то же самое, с трансверсальными слоениями. Теорема Милнора—Вуда даёт точный ответ на вопрос, какие из расслоений обладают плоской связностью. По ходу дела нам понадобятся гомеоморфизмы окружности, число вращения Пуанкаре, вычисление класса Эйлера, минимальные триангуляции расслоения — всё это мы пройдём.

Курсы «Класс Эйлера», «S^1-расслоения» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Локально тривиальные расслоения
2. Триангуляции S^1-расслоений
3. Число Эйлера S^1-расслоения как препятствие к существованию сечения
4. Слоения. Кодирование слоёных S^1-расслоений гомоморфизмами из фундаментальной группы базы в группу гомеоморфизмов окружности
5. Числа вращения и переноса Пуанкаре гомеоморфизмов окружности, связь с числом Эйлера слоёного S^1-расслоения

Литература
▪️K. Mann. Rigidity and flexibility of group actions on the circle, arXiv:1510.00728
▪️L. W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics, 2017
▪️E. Ghys. Groups acting on the circle. Enseign. Math. (2) 47 (2001), no. 3-4, 329-407
▪️D. Calegari. SCL. Mathematical Society of Japan Memoirs, 2009
▪️D. Sullivan. A generalization of Milnor's inequality concerning affine foliations and affine manifolds. Commentarii Mathematici Helvetici 51, 183–189, 1976

Пререквизиты
Для курса надо знать, что такое действие группы, понимать, как устроено универсальное накрывающее пространство и фундаментальная группа сферы с ручками, иметь хорошее представление о степени отображения из окружности в окружность.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (9.09)
▪️Пучки и их когомологии (10.09)
▪️Алгебраическая геометрия I (12.09)
▪️Введение в гомотопическую алгебру (12.09)
▪️Нестабильная теория гомотопий (13.09)
▪️Стабильная теория гомотопий (13.09)
▪️Алгебра и теория гомотопий (14.09)

▪️Классификация лежандровых узлов некоторых топологических типов (9.09)
▪️Примеры гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий в грассманиане Gr(2, n) (9.09)
▪️Polyhedra inscribed in a quadric (09.09)
▪️Асимптотические метрические инварианты и фундаментальные группы многомерных граф-многообразий (11.09)

На открытке: гомологии Хованова и полином Джонса узла трилистника

Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы S^n в X. Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X.

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу π_{n+k}(S^n) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_{n+k}(S^n) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гомотопические группы топологического пространства
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения
3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер
4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения
5. Гомотопическая классификация отображений (n+1)-мерной сферы в n-мерную сферу

Литература
▪️Л. С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.

Пререквизиты
Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (16.09)
▪️Пучки и их когомологии (17.09)
▪️Алгебраическая геометрия I (19.09)
▪️Введение в гомотопическую алгебру (19.09)
▪️Нестабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Стабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (21.09)
▪️Алгебра и теория гомотопий (21.09)

▪️Классификация лежандровых узлов некоторых топологических типов – 2 (16.09)
▪️О геометрии полинома Александера (16.09)
▪️Топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве (16.09)
▪️Lie Superalgebra generalizations of the Jaeger-Kauffman-Saleur Invariant (16.09)
▪️Ренормализация в однородной динамике (20.09)
▪️Lipschitz-Sarkar stable homotopy type for planar trivalent graph with perfect matchings (21.09)

На открытке: абелианизация фундаментальной группы букета окружностей на уровне графов Кэли

В субботу (21 сентября) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Дена—Нильсена»
Андрей Рябичев

Пусть S — замкнутая поверхность, а φ — любой автоморфизм фундаментальной группы S. Легко построить отображение f : S→S, реализующее φ. Согласно теореме Уайтхеда, такое f является гомотопической эквивалентностью. Теорема же Дена—Нильсена утверждает, что f гомотопно гомеоморфизму.

Мы обсудим доказательство этой теоремы, а также некоторые смежные факты — такие, как теорема Эдмондса о факторизации (которая утверждает, что любое отображение поверхностей либо стягивается на 1-остов, либо гомотопно композиции стягивания нескольких ручек и разветвлённого накрытия), а также, если хватит времени, сюжеты, связанные с понятием геометрической степени.

Интересно, что аналог теоремы Дена—Нильсена для поверхностей более чем с двумя проколами/компонентами края неверен, и об этом мы также поговорим (если успеем).

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (07.10)
▪️Пучки и их когомологии (08.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (10.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (10.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Стабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (12.10)

▪️Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея (07.10)
▪️О нелокальных осцилляциях в трехмерных моделях кольцевых генных сетей (07.10)
▪️On universal parity on free two-dimensional knots (07.10)
▪️Порядки гомотопических инвариантов отображений в пространства Эйленберга — Маклейна (09.10)
▪️Проблема Арнольда о гельдеровом отображении квадрата на куб (09.10)

На открытке: стандартная контактная структура на R^3

Завтра, в субботу (12 октября) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Продолжение самоизотопий: косы на поверхностях»
Илья Алексеев

Как известно, любой танец точек на поверхности (т. е. петля в конфигурационном пространстве n различных точек) продолжается до объемлющей изотопии этой поверхности. Доклад посвящен вопросу о том, в каком случае такую объемлющую изотопию можно выбрать самоизотопией тождественного автогомеоморфизма. Мы покажем, что подгруппа в группе крашеных кос компактной ориентируемой поверхности, состоящая из танцев, продолжающихся до такой самоизотопии, совпадает с центром этой группы кос. Для этого мы обратимся к таким понятиям, как группа классов отображений, скручивание Дена, геометрический индекс пересечения и трюк Александера. Если останется время, мы обсудим открытый вопрос о продолжении самоизотопий одномерных подмногообразий до самоизотопий трёхмерных многообразий.