Поверхности и конфигурационные пространства шарнирных механизмов

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства являются поверхностями, и постараемся понять — какими именно. Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 2 часа)
▪️Упражнения

Литература
▪️M. Farber, Invitation to Topological Robotics. Zurich Lectures in Advanced Mathematics 10 (2008).
▪️М. Д. Ковалёв. О геометрическом определении шарнирного механизма, теореме Кемпе и перезрелой математике. Сиб. журн. индустр. матем., 25:3 (2022), 41–54.

Пререквизиты
Лекции доступны всем студентам, а также школьникам, кроме тех, кто 1) настолько испорчен изучением математики, что не понимает простые наглядные понятия, которым не было дано формальное определение, и 2) при этом не знает, что такое топологическое пространство.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Теория Нильсена — Тёрстона

Мини-курс служит введением в теорию Нильсена-Терстона — основу для понимания автогомеоморфизмов поверхностей, рассматриваемых с точностью до изотопии. Такие классы автогомеоморфизмов образуют группу, называющуюся группой классов отображений. (Если поверхность является диском с n проколами, то эта группа совпадает с группой кос из n нитей). Теория Нильсена-Терстона относит каждый класс отображений к одному из трех типов — периодические, приводимые и псевдо-аносовские, — что аналогично эллиптическим, параболическим и гиперболическим элементам группы SL(2,Z). По сути, эта трихотомия сводит понимание поведения класса отображений к пониманию псевдо-аносовского случая. Теория также связывает с псевдо-аносовским классом отображений инвариантную структуру на поверхности, которая может быть представлена метрически — разложением поверхности на прямоугольники, динамически — парой измеримых слоений или комбинаторно — железнодорожным путём (трейн трэком). Мы проиллюстрируем эти идеи, сделав акцент на вычислениях и примерах.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3 часа)

Литература
▪️B.Farb, D.Margalit. A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
▪️A.Fathi, F.Laudenbach, V.Poenaru. Thurston’s work on surfaces. Mathematical Notes. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.

Пререквизиты
Знакомство с линейной алгеброй и группами классов отображений поверхностей

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (1 июня) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теория поля и топология»
Никита Голубь

Доклад представляет собой обсуждение математических аспектов фундаментальной физики, сосредоточенных вокруг теории поля. В ходе презентации будут рассмотрены основные концепции, связанные с теорией Эйлера-Лагранжа, дифференциальной топологией и теорией гомотопических типов.

Слушатели узнают о таких важных понятиях, как фермионные и бозонные поля, а также получат краткий обзор Стандартной модели. Особое внимание будет уделено аномалиям и их связи с дифференциальной топологией.

Доклад также охватит взаимосвязь теории Черна-Саймонса с теорией узлов, которая использует процедуру геометрического квантования

Когомологии пространства узлов и их комбинаторные формулы

Теория инвариантов узлов является лишь частью более естественной задачи вычисления кольца когомологий пространства узлов в R^n, n≥3. Любой такой класс когомологий (например, инвариант) можно задать индексом пересечения с подходящим классом относительных гомологий в пространстве узлов. Комбинаторной формулой для него называют простой полуалгебраический цикл, реализующий этот класс гомологий. Наиболее известный пример комбинаторных формул для инвариантов — это диаграммы Поляка — Виро.
В докладе будет рассказано о вычислении старших классов когомологий и описан эффективный (то есть не требующий моделирования непрерывных процессов, деформаций пространственных объектов, ray-tracing и пр.) комбинаторный алгоритм для нахождения комбинаторных формул (в том числе и для инвариантов). Этот алгоритм основан на аналогии теории узлов с комбинаторной теорией наборов аффинных плоскостей и часто является простейшим или единственным доказательством существования класса когомологий.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (8 июня) в 17:10 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev) состоится первое заседание Общематематического коллоквиума Лектория:

«Вокруг закона взаимности Вейля»
Матвей Магин

Предположим, что у вас есть два унитарных многочлена f и g (над комплексными числами) с различными корнями кратности один. Давайте посчитаем произведение значений f в корнях g и произведение значений g в корнях f. Что получится?

Несложно видеть, что эти выражения будут отличаться лишь знаком.

Оказывается, что приведённое выше наблюдение обобщается до весьма красивого утверждения про мероморфные функции на римановых поверхностях, а соответствующая теорема и есть «закон взаимности Вейля». Не так давно, занимаясь тропическими аналогами этого утверждения, мы с Никитой Сергеевичем Калининым получили альтернативное (и более простое, чем классическое) доказательство, которое затрагивает топологию поверхностей и опирается на идеи из тропической геометрии. Доклад будет посвящен его изложению.

На примере этого утверждения я проиллюстрирую, как тропическая геометрия может помогать алгебраической геометрии (предварительно пояснив базовые идеи и концепты тропической геометрии).

Никаких пререквизитов не предполагается! Доклад будет построен так, чтоб он был доступен младшекурсникам.

Просим по возможности заполнить короткую форму регистрации.

Приглашаем всех, интересующихся топологией и геометрией, принять участие в работе соответствующих секций IV конференции математических центров, которая пройдет с 6 по 11 августа 2024 в Санкт-Петербурге.

Организаторы секции «Топология»:
А. А. Гайфуллин,
А. В. Малютин,
Т. Е. Панов,
Ф. Ю. Попеленский.

Организаторы секции «Геометрия»:
А. О. Иванов,
С. В. Иванов,
Д. В. Миллионщиков.

Дедлайн регистрации: 15 июня.

Гильбертов куб и маломерная топология

Гильбертов куб (или гильбертов кирпич) — это произведение счетного числа отрезков, неделенное тихоновской топологией. Хотя это бесконечномерный объект, он оказывается полезен для доказательства утверждений о конечных симплициальных комплексах. А именно, в начале 1970-х годов Т.Чепмэн доказал с его помощью топологическую инвариатность кручения Уайтхеда, частный случай которого — кручение Райдемайстера — активно используется по сей день в маломерной топологии. В курсе будут изложены классические результаты о гильбертовом кубе, включая доказательство упомянутого выше результата Чепмэна, и рассказано о том, какие следствия они имеют для топологии малых размерностей.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 28 часов)

Программа
1. Компактность и топологическая транзитивность гильбертова куба, сжимающий критерий Бинга, стабильность открытых подпространств гильбертова куба
2. Простая гомотопическая эквивалентность, кручение Райдемайстера
3. Абсолютные окрестностные ретракты, Z-подмножества, Q-многообразия, теорема суммы
4. Теорема Чепмэна, стягиваемые Q-многообразия, теорема о расщеплении, выпрямление ручек
5. Многочлен Александера, теорема Фокса — Милнора

Литература
▪️Т. Чепмэн. Лекции о Q-многообразиях. Перевод с английского В.В. Федорчука и В.В. Филиппова. — М.: Мир, 1981. — 160 с. — (Математика. Новое в зарубежной науке).

Пререквизиты
Курс предполагает знакомство слушателей с элементами алгебраической и гомотопической топологии: понятиями клеточного пространства, многообразия, гомологий.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

С 6-го по 11-ое августа 2024 в Санкт-Петербурге пройдет крупнейшее отечественное математическое мероприятие —
IV Конференция математических центров России, посвященная 300-летию СПбГУ и РАН. Проведение мероприятия такого масштаба требует помощи волонтеров.

Мы, Оргкомитет конференции, приглашаем вас присоединиться к команде волонтеров и внести свой вклад в организацию этого мероприятия!

Стать волонтером — значит получить уникальный опыт работы в команде, пообщаться с ведущими математиками современности, освоить навыки технического сопровождения, например, видеосъемки докладов, и просто узнать, как математическая конференция устроена изнутри.

Каждый волонтер получит сертификат волонтерского движения СПбГУ. Для обеспечения комфортной работы волонтерам будет предложено горячее питание.

Заполните форму регистрации, чтобы стать частью команды волонтёров. Основной крайний срок регистрации волонтеров — 30 июня, однако заявки, поданные после него, также приветствуются!

Вопросы присылайте в tg-бот. Ждем встречи!

Завтра (18 июня) состоится второй день работы конференции Advances in Homotopy Theory VI, в рамках которой с докладами выступят организаторы семинара и их друзья!

Все доклады пройдут онлайн, вход свободный!
Zoom (пароль: BIMSA)

«Loop homology of moment-angle complexes in the flag case»
Фёдор Вылегжанин, 15:00 MSK

«Mixing braids, automorphisms, simplicial methods, and homotopy groups of spheres»
Илья Алексеев & Василий Ионин, 16:00 MSK

Характеристические классы

Характеристические классы — один из ключевых объектов алгебраической топологии. Теория характеристических классов зародилась в работах Штифеля, Уитни, Понтрягина, Чженя и других математиков в 30-х — 40-х годах 20-го века. С тех пор она активно развивается и уже давно стала необходимым инструментом в большинстве разделов современной топологии. Подходы к построению характеристических классов очень разнообразны. В докладе будет сделана попытка дать обзор некоторых конструкций характеристических классов и обсудить связи между ними. Планируется рассказать о некоторых классических приложениях характеристических классов, таких как результат об отсутствии алгебр с делениями в размерностях, не являющихся степенями двойки, и результат Милнора о нетривиальных гладких структурах на 7-мерной сфере. Также планируется кратко обсудить результаты о гомотопической, топологической и комбинаторной инвариантности (или неинвариантности) тех или иных характеристических классов. В основном речь будет идти о классических классах Штифеля — Уитни, Эйлера, Понтрягина и Чженя, хотя скорее всего будут упомянуты и более современные объекты, в частности, характеристические классы Мамфорда — Миллера — Мориты расслоений со слоем поверхность.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1.5 часа)

Программа
1. Краткий обзор гомологий и когомологий
2. От теоремы Пуанкаре — Хопфа к классу Эйлера
3. От наборов сечений к классам Штифеля — Уитни и Понтрягина
4. Комбинаторные формулы для характеристических классов

Пререквизиты
Доклад будет в первую очередь рассчитан на математиков-нетопологов, поэтому все необходимые определения будут даны в процессе доклада.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Косы: хитросплетение математики

Теория кос является одним из интереснейших разделов топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Так, современные исследования кос затрагивают различные аспекты комбинаторики, теории групп, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию узлов, комбинаторику многогранников, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, описать произвольный узел, симметрию платонова тела или отображение между многомерными сферами. В настоящем курсе мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Курс «Теория кос» является идеологическим продолжением данного вводного мини-курса.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения, конспект и список литературы

Программа
1. Структуры на косах и нормальные формы. Мы обсудим алгебраические свойства кос и докажем существование уникальных геометрических представлений: причесанной и жадной формы кос.
2. Действия групп кос и инварианты. Мы посмотрим на косы с точки зрения преобразований объектов самой разной природы.
3. Трихотомия Нильсена — Тёрстона. Мы попробуем выяснить, какие косы задают наиболее эффективные способы перемешивания растворов, проложим мостик к теории узлов и выясним, при чем здесь геометризационная теорема Тёрстона.
4. Косы на поверхностях и комплекс Мура брунновых кос. Мы узнаем, как связаны косы и гомотопические группы сфер.

Пререквизиты
Для понимания первых трёх тем не предполагается знаний сверх школьной программы, представления о непрерывности и пространственного мышления. Возможно, в конце для полного понимания потребуются более продвинутые знания.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Введение в симплициальные множества

Мини-курс представляет собой расширенный пререквизит к будущему курсу симплициальной теории гомотопий.

В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков.
О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам:

1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано);
2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты);
3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория).

В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 8 часов)
▪️Слайды и упражнения

Программа
1. Комбинаторные модели и предпучки.
2. Нерв и комплекс Виеториса.
3. Йога Йонеды и пространства отображений.
4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус.
5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации.
6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение.
7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров.
8. Гомотопические группы сфер и раскраски.

Литература
▪️E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», (2011)
▪️G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets»‎, (2023)
▪️Dmitri Pavlov, «Topology»‎, (2019)
▪️Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups»‎, (2010)

Пререквизиты
Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).

На этой неделе в Санкт-Петербурге проходит IV Конференция математических центров России. Поприветствуем доклады секций «Топология» и «Геометрия»!

6 августа (вторник)

▪️Проблема Арнольда о гельдеровом отображении квадрата на куб (Щепин Е. В.)
▪️Синтаксическая алгебра и связь с топологией (Голубь Н. И.)
▪️Полином Ямады K4-кривых и полином Джонса ассоциированных зацеплений (Ошмарина О. А.)

▪️Многомерные биллиардные книжки и их топологические свойства (Кибкало В. А.)
▪️Атлас бифуркационных диаграмм системы трёх вихрей со связью (Пальшин Г. П.)

7 августа (среда)

▪️Проблема Кервера в стабильной теории гомотопий и ее обобщение (Ахметьев П. М.)
▪️Действия торов и кватернионных торов на произведениях сфер (Гугнин Д. В.)

▪️Интегрируемые двумерные геодезические потоки в магнитном поле (Агапов С. В.)
▪️О гамильтоновости в задаче о движении твёрдого тела в потоке частиц (Верёвкин Г. А.)

8 августа (четверг)

▪️Сильное сходство отображений (Подкорытов С. С.)
▪️Степень обобщенной полухарактеристики (Лаврухин В. А.)
▪️Порядки гомотопических инвариантов отображений в пространства Эйленберга—Маклейна (Фомин С. В.)
▪️Пополнения Боусфилда—Кана подстягиваемых копредставлений и ациклические разложения Дрора (Михович А. М.)
▪️Производная дифференциальная геометрия (Айвазьян А. В.)

▪️О статических многообразиях с краем (Медведев В. О.)
▪️Тропический закон взаимности Вейля (Магин М. И.)
▪️Разложение Коджимы одного класса гиперболических 3-многообразий с вполне геодезическим краем (Нигомедьянов Д. Д.)
▪️О невырожденности полурассеивающих бильярдов в нормированных пространствах (Баринов Р. В.)

9 августа (пятница)

▪️Евклидов объем конического многообразия над гиперболическим узлом является алгебраическим числом (Абросимов Н. В.)
▪️Оценки объёмов гиперболических зацеплений через число скручиваний в диаграмме (Егоров А. А.)
▪️Циклическая упорядочиваемость и группы виртуальных узлов (Иванов М. Э.)

▪️Мультиобходы и многогранники бинарных деревьев (Щербаков О. С.)
▪️Роль полярного преобразования в построении двойственных многогранников к выпуклым и звездчатым многогранникам (Антипова Л. А.)

10 августа (суббота)

▪️Инварианты заузленных тел с ручками (Бардаков В. Г.)
▪️Продолжения представлений группы кос на моноид сингулярных кос (Козловская Т. А.)
▪️Коэффициенты дробных скручиваний Дена кос на поверхностях (Алексеев И. С.)
▪️Конфигурационные пространства, косы и гомотопические группы (Ионин В. А.)