Смешивая поверхности, алгебру и геометрию

Японцы говорят, что у каждого есть 3 лица. Первое лицо мы показываем миру. Второе — близким друзьям и семье. Третье мы не показываем никому. Оно и есть истинное отражение того, кто мы есть.

Доклад посвящен обсуждению трёх лиц псевдоаносовских отображений поверхностей.

Рассказ начинается с геометрии поверхностей, понимаемой с точки зрения простых замкнутых кривых на них. Начиная с этой скромной на первый взгляд темы, мы откроем удивительные и широкие связи между многочисленными областями математики, включая алгебраическую геометрию, теорию Тейхмюллера, пространства модулей, динамику, однородные пространства, симплектическую геометрию и бильярды. Целью рассказа является объяснение некоторых недавних результатов, посвященных теории Нильсена — Тёрстона. Мы проложим мостик от псевдоаносовских отображений к теории чисел, теории 3-многообразий, комплексному анализу и перемешиванию жидкостей.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1 час) и конспект с временными отметками
▪️Анимации
▪️Игра про скручивания Дена

Программа
1. Сколько существует простых замкнутых кривых длины не более L на данной поверхности с римановой метрикой?
2. Тянутели тянучек и вытягивание ириски: золотое сечение
3. Лицо первое: группы классов отображений
4. Лицо второе: заблуждение Тёрстона и геометризация трёхмерных многообразий
5. Лицо третье: петли в пространствах модулей
6. Охота за малыми коэффициентами растяжения: задача Лемера, пример Пеннера и вопрос Лонга

Литература
▪️D. Margalit. Mixing Surfaces, Algebra, and Geometry. Notices of the American Mathematical Society (2023).

Пререквизиты
Знакомство с топологией и геометрией поверхностей, линейной алгеброй, теорией групп. Наличие представления о трёхмерных многообразиях, фундаментальной группе и накрытиях, геометрии Лобачевского, различных дополнительных структурах на поверхностях (комплексной, гиперболической).

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (4 мая) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Жадная нормальная форма — это нормальная форма Грёбнера—Ширшова»
Виктор Лопаткин

В теории групп кос был удивительный случай, когда один школьный учитель из Шотландии (Гарсайд) предложил очень красивую идею о копредставлении групп кос. Позже эта идея была продолжена в работах Адяна и Тёрстона. В результате было показано, что группа кос является автоматной и, более того, была предъявлена нормальная форма (базис группового кольца), которая называется жадной нормальной формой (greedy normal form). Далее эту идею уже продолжил развивать Дэорнуа с коллегами, и в результате получалась теория Гарсайда, которая распространилась на малые категории, заданные копредставлением.

С другой стороны, в комбинаторной алгебре существует очень мощный и в то же время простой способ получения нормальных форм для переписывающих систем — теория базисов Грёбнера — Ширшова. Вообще говоря, эта техника есть прямое обобщение деления полиномов от одной переменных на случай некоммутативных (и даже лиевых) полиномов от нескольких переменных (а также и на ряды). Так называемая бриллиантовая лемма (the Composition-Diamond lemma) и позволяет, в частности, получать нормальные формы у алгебраических систем, которые заданы образующими и соотношениями (ассоциативность, как оказалось, можно заменить на более слабое свойство, например, на лиевость).

В этом докладе я расскажу, как Леонид Аркадьевич Бокуть легко и просто получил жадную форму как следствие того факта, что с помощью автомата Тёрстона находится базис Грёбнера — Ширшова для группового кольца группы кос. Если останется время, я расскажу о своём результате, который есть обобщение подхода Бокутя, и также то, что мы можем получить теорию Гарсайда, развитую Дэорнуа и коллегами, как простое следствие из теории базисов Грёбнера — Ширшова.

Проективные плоскости с разных сторон

Курс будет состоять из четырех сюжетов, объединенных общим объектом исследования, в качестве которого выступят проективные плоскости, но довольно разных по подходам и методам.

Первый сюжет будет касаться абстрактной теории проективных плоскостей. Обычная проективная плоскость, получаемая добавлением бесконечно удаленных точек к привычной нам евклидовой плоскости, обладает следующими двумя свойствами:
(1) любые две различные точки лежат на единственной прямой;
(2) любые две различные прямые пересекаются в единственной точке.
Можно взять эти два свойства в качестве определения и называть проективной плоскостью любое множество (элементы которого называются точками) с набором выделенных подмножеств (называемых прямыми), если выполнены условия (1) и (2). (Обычно еще добавляют условие, что найдутся четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.) Важнейшим классом проективных плоскостей являются проективные плоскости KP^2 над полем или телом K. Мы увидим, что на таких плоскостях всегда имеет место теорема Дезарга, а коммутативность K отвечает выполнению теоремы Паппа. Кроме того, мы обсудим примеры недезарговых конечных проективных плоскостей. Эта тематика тесно связана с теорией конечных полей.

Второй сюжет относится к топологии проективных плоскостей RP^2, CP^2 и HP^2 над полями вещественных R и комплексных C чисел и телом кватернионов H. На этих трех примерах мы обсудим основные понятия теории Морса, а также поговорим об инварианте Хопфа непрерывных отображений сфер S^{4n-1} → S^{2n} и о знаменитой теореме Адамса об отображениях с инвариантом Хопфа, равным одному. Также мы построим замечательные вложения RP^2 → S^4, CP^2 → S^7 и HP^2 → S^13 и обсудим их свойства. (А есть еще вложение OP^2 → S^25, где O — алгебра октав!)

В третьем сюжете мы перейдем от топологии к геометрии: научимся вводить на проективных плоскостях RP^2, CP^2 и HP^2 метрики, называемые метриками Фубини — Штуди, изучим их группы изометрий и докажем, что они имеют положительную секционную кривизну. Неформально говоря, это означает, что выпущенные из одной точки геодезические на них расходятся медленнее, чем на евклидовой плоскости. Свойство положительной секционной кривизны замечательно тем, что оно крайне редкое: примеров многообразий, на которых люди умеют вводить такие метрики, очень мало.
Если хватит времени, я постараюсь рассказать еще о трех примерах таких многообразий — многообразиях Уоллаха W^6, W^12 и W^24, тесно связанных с упоминавшимися выше вложениями проективных плоскостей в сферы.

Наконец, последний сюжет будет посвящен неассоциативной алгебре октав O и конструкции соответствующей проективной плоскости OP^2. Мы увидим, что эта проективная плокость недезаргова, что связывает этот сюжет с первым.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Литература
▪️Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.

Пререквизиты
Я буду рассчитывать на знакомство слушателей с началами линейной алгебры (операторы, матрицы, собственные векторы), комплексными числами и основными свойствами полей. Знакомство с теорией конечных полей, топологией и дифференциальной геометрией предполагаться не будет.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Ежегодная программа ММИ им. Леонарда Эйлера

«Летний Математический Лекторий»

1 июня — 31 августа
14 линия В.О., 29, Санкт-Петербург

Летний Математический Лекторий — это открытая площадка, позволяющая каждому математику прочесть свой собственный курс, содержание которого остаётся на усмотрение автора. Курс должен удовлетворять единственному требованию — способствовать развитию и совершенствованию самого лектора. К участию в качестве лекторов приглашаются все желающие, начиная от студентов первого курса. Курсы от опытных математиков и профессиональных лекторов, безусловно, также приветствуются!

Список анонсированных мероприятий и регистрация участников доступны на сайте Лектория

Вся информационная поддержка Лектория (объявления, материалы курсов и математические обсуждения) организуется на базе Telegram-форума

Большая часть мероприятий будет проходить очно, но отдельные занятия могут состояться онлайн. Все курсы будут транслироваться и записываться, а записи будут публиковаться на YouTube-канале Лектория

Проективная двойственность

Если назвать точки на плоскости «прямыми», прямые на плоскости «точками», а «прямой», проходящей через две «точки», назвать точку пересечения соответствующих прямых, то (при правильном понимании) полученная «плоскость» будет обладать всеми свойствами обычной плоскости. Этот эффект известен в математике под названием проективной двойственности.

Проективная двойственность небезынтересна уже при работе исключительно с точками и прямыми на плоскости и вдвойне интересна при работе с «искривленными» геометрическими фигурами: кривыми, поверхностями и многообразиями более высокой размерности.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Напоминание о проективных пространствах. Двойственность между точками и прямыми (или между точками и гиперплоскостями).
2. Двойственность для плоских кривых. Степень двойственной кривой: как ее искать, какие неожиданности при этом возникают и как с ними бороться.
3. Контактные структуры, лежандровы подмногообразия и двойственность в произвольной размерности.
4. Флаги Френе и оскулирующая двойственность для неплоских кривых.
5. Развертывающиеся многообразия.

Пререквизиты
Для понимания достаточно уметь дифференцировать функции одного переменного (ближе к концу и нескольких) и не бояться умножения матриц.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (11 мая) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Триангуляции, гладкие структуры и трюк Кирби для поверхностей»
Андрей Рябичев

Известно, что на топологических многообразиях размерности d<4 существует гладкая структура, причём единственная с точностью до изотопии. Случай d=1 каждый может продумать как упражнение, я же планирую рассказать про менее тривиальный случай d=2. А именно, мы посмотрим на доказательство из известной заметки Хатчера arXiv:1312.3518, разберём все подробности и обсудим возникающие смежные вопросы. Будут функции Морса, будут изотопии и немного комбинаторики. И самое главное, нам предстоит ответить на будоражащий вопрос: почему трюк с тором? разве нельзя проще? Если хватит времени, мы поговорим про более высокие размерности (или не поговорим).

В субботу (18 мая) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Группы Томпсона в алгебре, геометрии и топологии»
Артём Семидетнов

Группы Томпсона были введены Ричардом Томпсоном в 1965 году как потенциальный контрпример к гипотезе фон Неймана об аменабельности. Эти группы имеют множество различных воплощений, а также обобщений, продолжающих существующие конструкции. Доклад посвящен в первую очередь различным представлениям групп Томпсона: их можно задавать как группы автоморфизмов группоидов, удовлетворяющих определенному универсальному соотношению, как подгруппы в группах классов отображений, как фундаментальные группы обобщенных конфигурационных пространств.

Никаких специальных пререквизитов, за исключением базового курса алгебры и топологии, для понимания не требуется

📣 Мероприятия этой недели

▪️Геометрия звездчатых многогранников (20.05)
▪️Дендриты в терминах геодезических ламинаций (20.05)
▪️Why the Vertex Polynomial counts Tait colorings of a plane trivalent graph when evaluated at two (20.05)
▪️Partial-dual polynomial as a framed weight system (22.05)
▪️New algebraic invariants of Legendrian links (24.05)
▪️How Should We Interpret Space Dimenion? (25.05)

На открытке: карта геометрической теории групп

Поверхности и конфигурационные пространства шарнирных механизмов

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства являются поверхностями, и постараемся понять — какими именно. Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 2 часа)
▪️Упражнения

Литература
▪️M. Farber, Invitation to Topological Robotics. Zurich Lectures in Advanced Mathematics 10 (2008).
▪️М. Д. Ковалёв. О геометрическом определении шарнирного механизма, теореме Кемпе и перезрелой математике. Сиб. журн. индустр. матем., 25:3 (2022), 41–54.

Пререквизиты
Лекции доступны всем студентам, а также школьникам, кроме тех, кто 1) настолько испорчен изучением математики, что не понимает простые наглядные понятия, которым не было дано формальное определение, и 2) при этом не знает, что такое топологическое пространство.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Теория Нильсена — Тёрстона

Мини-курс служит введением в теорию Нильсена-Терстона — основу для понимания автогомеоморфизмов поверхностей, рассматриваемых с точностью до изотопии. Такие классы автогомеоморфизмов образуют группу, называющуюся группой классов отображений. (Если поверхность является диском с n проколами, то эта группа совпадает с группой кос из n нитей). Теория Нильсена-Терстона относит каждый класс отображений к одному из трех типов — периодические, приводимые и псевдо-аносовские, — что аналогично эллиптическим, параболическим и гиперболическим элементам группы SL(2,Z). По сути, эта трихотомия сводит понимание поведения класса отображений к пониманию псевдо-аносовского случая. Теория также связывает с псевдо-аносовским классом отображений инвариантную структуру на поверхности, которая может быть представлена метрически — разложением поверхности на прямоугольники, динамически — парой измеримых слоений или комбинаторно — железнодорожным путём (трейн трэком). Мы проиллюстрируем эти идеи, сделав акцент на вычислениях и примерах.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3 часа)

Литература
▪️B.Farb, D.Margalit. A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
▪️A.Fathi, F.Laudenbach, V.Poenaru. Thurston’s work on surfaces. Mathematical Notes. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.

Пререквизиты
Знакомство с линейной алгеброй и группами классов отображений поверхностей

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (1 июня) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теория поля и топология»
Никита Голубь

Доклад представляет собой обсуждение математических аспектов фундаментальной физики, сосредоточенных вокруг теории поля. В ходе презентации будут рассмотрены основные концепции, связанные с теорией Эйлера-Лагранжа, дифференциальной топологией и теорией гомотопических типов.

Слушатели узнают о таких важных понятиях, как фермионные и бозонные поля, а также получат краткий обзор Стандартной модели. Особое внимание будет уделено аномалиям и их связи с дифференциальной топологией.

Доклад также охватит взаимосвязь теории Черна-Саймонса с теорией узлов, которая использует процедуру геометрического квантования

Когомологии пространства узлов и их комбинаторные формулы

Теория инвариантов узлов является лишь частью более естественной задачи вычисления кольца когомологий пространства узлов в R^n, n≥3. Любой такой класс когомологий (например, инвариант) можно задать индексом пересечения с подходящим классом относительных гомологий в пространстве узлов. Комбинаторной формулой для него называют простой полуалгебраический цикл, реализующий этот класс гомологий. Наиболее известный пример комбинаторных формул для инвариантов — это диаграммы Поляка — Виро.
В докладе будет рассказано о вычислении старших классов когомологий и описан эффективный (то есть не требующий моделирования непрерывных процессов, деформаций пространственных объектов, ray-tracing и пр.) комбинаторный алгоритм для нахождения комбинаторных формул (в том числе и для инвариантов). Этот алгоритм основан на аналогии теории узлов с комбинаторной теорией наборов аффинных плоскостей и часто является простейшим или единственным доказательством существования класса когомологий.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (8 июня) в 17:10 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev) состоится первое заседание Общематематического коллоквиума Лектория:

«Вокруг закона взаимности Вейля»
Матвей Магин

Предположим, что у вас есть два унитарных многочлена f и g (над комплексными числами) с различными корнями кратности один. Давайте посчитаем произведение значений f в корнях g и произведение значений g в корнях f. Что получится?

Несложно видеть, что эти выражения будут отличаться лишь знаком.

Оказывается, что приведённое выше наблюдение обобщается до весьма красивого утверждения про мероморфные функции на римановых поверхностях, а соответствующая теорема и есть «закон взаимности Вейля». Не так давно, занимаясь тропическими аналогами этого утверждения, мы с Никитой Сергеевичем Калининым получили альтернативное (и более простое, чем классическое) доказательство, которое затрагивает топологию поверхностей и опирается на идеи из тропической геометрии. Доклад будет посвящен его изложению.

На примере этого утверждения я проиллюстрирую, как тропическая геометрия может помогать алгебраической геометрии (предварительно пояснив базовые идеи и концепты тропической геометрии).

Никаких пререквизитов не предполагается! Доклад будет построен так, чтоб он был доступен младшекурсникам.

Просим по возможности заполнить короткую форму регистрации.

Приглашаем всех, интересующихся топологией и геометрией, принять участие в работе соответствующих секций IV конференции математических центров, которая пройдет с 6 по 11 августа 2024 в Санкт-Петербурге.

Организаторы секции «Топология»:
А. А. Гайфуллин,
А. В. Малютин,
Т. Е. Панов,
Ф. Ю. Попеленский.

Организаторы секции «Геометрия»:
А. О. Иванов,
С. В. Иванов,
Д. В. Миллионщиков.

Дедлайн регистрации: 15 июня.

Гильбертов куб и маломерная топология

Гильбертов куб (или гильбертов кирпич) — это произведение счетного числа отрезков, неделенное тихоновской топологией. Хотя это бесконечномерный объект, он оказывается полезен для доказательства утверждений о конечных симплициальных комплексах. А именно, в начале 1970-х годов Т.Чепмэн доказал с его помощью топологическую инвариатность кручения Уайтхеда, частный случай которого — кручение Райдемайстера — активно используется по сей день в маломерной топологии. В курсе будут изложены классические результаты о гильбертовом кубе, включая доказательство упомянутого выше результата Чепмэна, и рассказано о том, какие следствия они имеют для топологии малых размерностей.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 28 часов)

Программа
1. Компактность и топологическая транзитивность гильбертова куба, сжимающий критерий Бинга, стабильность открытых подпространств гильбертова куба
2. Простая гомотопическая эквивалентность, кручение Райдемайстера
3. Абсолютные окрестностные ретракты, Z-подмножества, Q-многообразия, теорема суммы
4. Теорема Чепмэна, стягиваемые Q-многообразия, теорема о расщеплении, выпрямление ручек
5. Многочлен Александера, теорема Фокса — Милнора

Литература
▪️Т. Чепмэн. Лекции о Q-многообразиях. Перевод с английского В.В. Федорчука и В.В. Филиппова. — М.: Мир, 1981. — 160 с. — (Математика. Новое в зарубежной науке).

Пререквизиты
Курс предполагает знакомство слушателей с элементами алгебраической и гомотопической топологии: понятиями клеточного пространства, многообразия, гомологий.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка