Равносоставленность многогранников и гомологии групп

Классическая теорема Бойяи — Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
Позже задача о равносоставленности многогранников была включена Гильбертом в его знаменитый список проблем под номером три. Забавный факт заключается в том, что к этому моменту задача была уже решена Деном (о чём Гильберт не знал). Ден построил серию инвариантов равносоставленности; в настоящее время их обычно объединяют в один инвариант, называемый инвариантом Дена. После этого он показал, что, например, куб и правильный тетраэдр равного объёма неравносоставлены, так как их инварианты различны.
Замечательная теорема Сидле (1965) утверждает, что равенство объёмов и инвариантов Дена двух трёхмерных многогранников — не только необходимое, но и достаточное условие их равносоставленности. Доказательство этой теоремы открыло удивительную связь равносоставленности многогранников с важной областью современной алгебры — теорией гомологий групп.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 6.5 часов)

Программа
1. Теорема Больяи — Гервина о равносоставленности многоугольников.
2. Теорема Дена — Сидле о равносоставленности многогранников.
3. Гомологии групп. Группа равносоставленности. Её связь с гомологиями группы SO(3).
4. Если хватит времени, постараюсь рассказать о недавнем моём (совместно с Л. С. Игнащенко) доказательстве сильной гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что всякий изгибаемый многогранник остаётся в процессе изгибания равносоставленным с самим собой в начальный момент времени.

Пререквизиты
Пункты 1 и 2 не требуют от слушателей никаких предварительных знаний и будут полностью доступны школьникам. Для понимания пункта 3 достаточно минимального знакомства с понятием группы; знакомство с гомологиями не предполагается. Пункт 4 (если до него дойдёт дело) потребует некоторого знакомства с понятием аналитической функции комплексного переменного.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (04.03)
▪️Кружок по геометрии и топологии (09.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (09.03)

▪️Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории, часть 3 (04.03)
▪️Соответствие Жиру, часть 4 (04.03)
▪️Ellipsoidal Billiards, Combinatorics, and Polynomial Pell’s Equations (04.03)
▪️Universal construction, foams and link homology (04.03)
▪️Топологические группы с точки зрения общей топологии: общий взгляд и не до конца решённые проблемы, часть 2 (05.03)

На открытке: разбиение трёхмерной сферы на 120 додекаэдров

В субботу (9 марта) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Групповое пополнение моноидов»
Кирилл Сулливан

Я расскажу про теорему Баррата — Кана — Придди — .... Чтобы заинтересоваться ей, можно прочитать статью на Википедии. Чтобы постичь саму ее суть, нужно изучить книжку «Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах» Бордмана — Фогта. Мой доклад будет о петлях и распетливании (отсюда групповое пополнение), о нескольких вещах, касающихся операд, а также о доказательстве теоремы Баррата — Кана — Придди через конструкции, связанные с конфигурационными пространствами.

Топология трёхмерных многообразий

В этом курсе мы увидим, какие бывают трёхмерные многообразия и какими операциями их можно получать друг из друга. Их классификация отнюдь не проста, в отличие от классификации поверхностей. Тем не менее, трёхмерные многообразия обладают рядом приятных свойств, о которых мы поговорим.
Также мы рассмотрим и другие классические объекты маломерной топологии — узлы (и их инварианты), поверхности (и их группы классов отображений) и четырёхмерные многообразия (и их разложения на ручки), — которые естественно появятся в нашем контексте.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 18.5 часов)
▪️Упражнения
▪️Литература

Программа
1. Триангуляции, разбиения Хегора, линзовые пространства, гомологические сферы, разложение на простые слагаемые, несжимаемые поверхности
2. Поверхности, группы классов отображений, теорема Дена — Ликориша
3. Перестройки по зацеплениям, исчисление Кирби, локальные движения для исчисления Кирби
4. Фундаментальная группа и классы Штифеля-Уитни трёхмерных многообразий
5. Двумерные циклы, лемма Дена о диске
6. Характеристические классы, хирургия векторных расслоений
7. Отображения трёхмерных многообразий с заданными бордмановскими особенностями

Пререквизиты
Курс рассчитан на студентов 2–4 курса. Для понимания курса нужно знать базовые вещи про гомотопические группы, гомологии и гладкие многообразия, также желательно быть немного знакомым с теорией Морса и теорией узлов.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Поверхности в 3-многообразиях и норма Тёрстона

Поверхности, с их сильно ограниченной топологией и геометрией, представляют собой удивительно эффективное средство для изучения богатого мира трехмерных многообразий. Мы приводим лёгкое введение в норму Терстона на второй группе гомологии 3-многообразий, которая измеряет топологическую сложность "простейшей" поверхности, представляющей данный гомологический класс. Эта мера оказывается весьма полезным инструментом для изучения многообразия; например, мы объясним, как некоторые из крупнейших результатов в современной топологии трехмерных многообразий могут быть поняты как ответы на основные вопросы о норме Терстона.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (11.03)
▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (12.03)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (12.03)
▪️Теория узлов (15.03)
▪️Кружок по геометрии и топологии (16.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (16.03)

▪️Гомологии Хегора–Флоера, тугие слоения и контактные структуры, часть 1 (11.03)
▪️Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории, часть 4 + подключение к дистанционному вечеру памяти А. В. Чернавского (11.03)
▪️Вычисление l_1-размерности через расстояние Громова-Хаусдорфа (11.03)
▪️О жёсткости комплексных родов Хирцебруха на SU-многообразиях (12.03)
▪️Эффекты квантования и случайные блуждания в группе гомеоморфизмов окружности (15.03)

На открытке: разложение Гельмгольца — Ходжа

В субботу (16 марта) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Керекьярто о периодических гомеоморфизмах диска и сферы»
Илья Алексеев

Доклад посвящен доказательству теоремы Керекьярто о том, что любой имеющий конечный порядок автогомеоморфизм диска или сферы сопряжен изометрии. Данный результат связан с теорией кос, является ключевым компонентом классификации периодических элементов в группах классов отображений поверхностей и открывает пути в теорию действий конечных групп на многообразиях и теорию орбифолдов. Изложение следует статье [A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjarto on periodic homeomorphisms of the disc and the sphere, 1994].

Видеозапись: YouTube, Telegram
Слайды/конспект: Notion

Двумерные слоения на трехмерных многообразиях

Слоения коразмерности один — классический объект дифференциальной топологии. В топологии трехмерных многообразий и теории узлов они играют особую роль. В курсе будут изложены основные понятия и факты теории слоений коразмерности 1 на трехмерных многообразиях.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 36 часов)

Программа
1. Основные определения и понятия: слоение, критерий Фробениуса, трансверсаль, голономия, исчезающий цикл, слоение Риба.
2. Вопросы гладкости: теорема Хэфлигера о несуществовании аналитического слоения коразмерности 1 на сфере, примеры слоений класса C^1, не сглаживаемых до C^2.
3. Тугие слоения и прошитые многообразия: теорема Новикова о замкнутом слое, теорема Габая о существовании тугих слоений.
4. Слоения и контактные структуры: тесные контактные структуры, теорема Элиашберга — Тёрстона о приближении тугого слоения тесной контактной структурой.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Связи между группами кос, теорией гомотопий и маломерной топологией

Простейший гомоморфизм из свободной группы в группу крашеных кос дает интересные связи между группами кос, теорией гомотопии и маломерной топологией. Данный гомоморфизм индуцирует гомоморфизм на уровне алгебр Ли, образованных нижними центральными рядами этих групп. Далее, он индуцирует морфизм симплициальных групп. Мы покажем, что все эти отображения инъективны, и обсудим брунновы косы. Аналогичные гомоморфизмы алгебр Ли, индуцированные на факторах mod-p нижнего центрального ряда, также являются инъективными. Используя эти факты, оказывается, что гомотопические группы вышеуказанной симплициальной группы (гомотопические группы двумерной сферы) изоморфны естественным подфакторам группы крашеных косы. Кроме того, mod-p аналоги дают связь между классической нестабильной спектральной последовательностью Адамса и mod-p аналогами инвариантов Васильева — Гусарова крашеных кос.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (19.03)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (19.03)
▪️Теория узлов (22.03)
▪️Кружок по геометрии и топологии (23.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (23.03)

▪️Абсолютная градуировка гомологий Хегора–Флоера и группа гомологических кобордизмов гомологических сфер (18.03)
▪️Параметрическая теорема Ки Фана (18.03)
▪️Extending knot isotopies to two-component links with linking number 1 (18.03)
▪️Elements of a Lie algebra acting nilpotently in all its representations (18.03)
▪️Вложенная связная сумма для многомерных зацеплений (19.03)
▪️Free circle actions on highly connected (2n+1)-manifolds (20.03)
▪️Минимальные модели нильмногообразий и комплексные структуры (20.03)
▪️Local equivalence and odd refinements of the s-invariant (21.03)

На открытке: карта математических пространств

В субботу (23 марта) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Явная формула гиперболического объема двухмостовых узлов»
Юрий Белоусов

Мы обсудим недавнюю работу Жюльена Марша [J. Marche, A formula for the volume of two-bridge knots], в которой получена явная формула гиперболического объема двухмостовых узлов. Особенный интерес здесь вызывает техника: итоговый ответ получен без использования триангуляции дополнения узла.
Предполагается знакомство слушателей с базовыми определениями теории узлов.

Гиперболическая геометрия: узлы и трёхмерные многообразия

Уже более сорока лет гиперболическая геометрия используется в качестве инструмента для изучения и классификации 3-многообразий. Известно, что гиперболические 3-многообразия удовлетворяют важным результатам о жесткости, так что гиперболические структуры единственны или хорошо контролируемы. Таким образом, гиперболические инварианты, такие как объем, площади вложенных поверхностей и длины коротких геодезических, становятся топологическими инвариантами 3-многообразий. Однако многие 3-многообразия, возникающие в геометрической топологии, например, примеры из теории узлов, динамики или кусочно-линейной топологии, строятся способами, которые не отражают их геометрию очевидным образом. Если у 3-многообразия есть комбинаторное или топологическое описание, то часто бывает трудно связать это описание с гиперболической геометрией многообразия. Я расскажу о некоторых способах связи гиперболической геометрии с комбинаторикой и топологией в размерности три, а также о некоторых приложениях.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3 часа)

Программа

🔹Гиперболические узлы и альтернированные узлы
Многие результаты, полученные в 1980-х годах и позже, показывают, что альтернированные узлы имеют диаграммы, которые, по-видимому, более точно отражают их геометрические свойства, чем другие узлы. В первой части я познакомлю вас с гиперболической геометрией и узлами, а также проведу обзор некоторых классических результатов. Во второй части я опишу результаты, характерные для альтернированных узлов, и объясню некоторые инструменты, которые полезны для доказательства результатов в альтернированном случае. В последней части доклада я расскажу о новых методах расширения этих инструментов, позволяющих извлекать геометрию из гораздо больших семейств узлов, и обсужу некоторые из моих недавних совместных работ с Джошем Хоуи и Эффи Калфагианни.

🔺Вполне аугментированные зацепления и упаковки кругов
Вполне аугментированные зацепления образуют семейство гиперболических зацеплений, которые являются игровой площадкой для практических занятий гиперболической геометрией. В первой части доклада я дам определение зацеплений и покажу, как установить их гиперболическую геометрию явно. Я покажу, как такие зацепления задаются упаковками кругов на сфере, и наоборот. (Теория упаковок кругов не ограничивается только сферами.) Затем я расскажу о новой работе, связанной с построением вполне аугментированных зацеплений на поверхностях более высокого рода. В последней части доклада я приведу несколько приложений к геометрической сходимости узлов и связей — будет описана недавняя совместная работа с Урсом Фуксом и Джоном Стюартом.

🔸Узлы в трехмерных многообразиях бесконечного объема
Классически узлы изучаются в 3-сфере. Однако многие примеры узлов, возникающих в приложениях, лежат в более широких классах трехмерных многообразий. К ним относятся виртуальные узлы, лежащие внутри утолщенных поверхностей, и периодические орбиты динамических систем. Не все такие многообразия имеют конечный гиперболический объем. Однако за последние два десятилетия появились новые инструменты для гиперболической геометрии 3-многообразий бесконечного объема. В первой части доклада я проведу обзор некоторых из этих результатов. Затем я обсужу методы смешивания инструментов бесконечного объема с инструментами конечного объема, чтобы получить дополнительную геометрическую информацию об узлах в общих 3-многообразиях. Это включает 6-теорему для ручных 3-многообразий и дополнительные результаты, контролирующие изменения геометрии при заполнении (хирургии) Дена. Последняя часть доклада — совместная работа с Дэвидом Футером и Солом Шлеймером.

Литература
▪️Jessica S. Purcell. Hyperbolic Knot Theory. American Mathematical Society, 2020.
▪️David Futer, Efstratia Kalfagianni, Jessica Purcell. Guts of Surfaces and the Colored Jones Polynomial. Lecture Notes in Mathematics 2069, Springer, 2012.

Пререквизиты
Знакомство с теорией узлов, комбинаторной топологией и дифференциальной геометрией.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Видеозапись доклада: https://youtu.be/cf6WJ9lyJWg

Топологическая сложность приближенного вычисления корней многочленов

Не существует непрерывной функции комплексного переменного a, дающей решение уравнения z^2=a.

Не существует непрерывной функции двух вещественных переменнных p, q, дающей вещественное решение уравнения x^3+px+q=0.

Не существует непрерывной функции трех вещественных переменных p, q, r, дающей вещественное решение алгебраической функции из 13-й проблемы Гильберта, x^7+px^3+qx^2+rx+1=0.

Поэтому любые арифметические алгоритмы приближенного решения этих уравнений должны включать операторы условного перехода. Минимальное необходимое число таких переходов называется топологической сложностью вычислительной задачи.

Для указанных выше простейших примеров эта сложность равна 1, но как она будет вести себя для общих полиномиальных уравнений (или систем уравнений) более высокой степени? В докладе будет рассказано об оценках этой сложности, основанных на понятии рода отображения (введенного А. С. Шварцем и переоткрытого С. Смейлом в контексте теории сложности), гомологиях групп кос и теории дискриминантов.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (26.03)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (26.03)

▪️Гомологии Флоера узлов и группа конкордантности узлов (25.03)
▪️Вложения с контролируемой трубчатой окрестностью (25.03)
▪️Extending knot isotopies to two-component links with linking number one, часть 2 (25.03)
▪️Multiplication in Kauffman bracket skein algebra of a 1-hole torus (25.03)
▪️Многообразия, реализуемые как пространства орбит несвободных действий группы Z^r_2 на вещественных момент-угол многообразиях (26.03)
▪️Геометрическое разложение меандров (27.03)

На открытке: псевдо-аносовский автогомеоморфизм слоёной поверхности

Группы, действующие на окружности

Курс посвящен введению теорию действий (автогомеоморфизмами) групп на одномерных многообразиях. Его основная цель — установить фундамент, развив все интуиции, необходимые для понимания материалов классической заметки [E. Ghys. Groups acting on the circle. L’Enseignement Mathematique, 47 (2001) 329-407], и познакомиться с некоторыми центральными результатами данной области.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 24 часа)
▪️Подробная программа, упражнения и литература

Программа
1. Гомеоморфизмы прямой, отрезка и окружности. Графики, диаграммы и фазовые портреты. Инвариантные подмножества и минимальные действия. Полусопряжение и поднятие отображений.
2. Группы Томпсона и их свойства. Простота: аргументы Эпштейна и Хигмана. Теорема Брина — Скуайера.
3. Упорядочиваемые группы. Динамическая реализация. Архимедовы порядки и их свойства.
4. Псевдохарактеры и их свойства. Число переноса Пуанкаре.
5. Проблема сопряженности и равномерная совершенность в группах гомеоморфизмов.
6. Число вращения. Конструкция Данжуа. Классификация гомеоморфизмов окружности.
7. Группы, действующие на окружности, примеры. Динамическая трихотомия. Классификация действий групп на окружности.

Пререквизиты
Предполагается владение стандартными курсами топологии и высшей алгебры.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Диффеоморфизмы окружности

Группа — это математический объект, кодирующий естественные понятия симметрии и преобразований. Геометрическая теория групп — область математики, посвященная изучению (дискретных) групп путем исследования связей между их алгебраическими свойствами и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы действуют.

Геометрическая теория групп относительно нова и стала отдельной областью математики в начале 1990-х годов. Она тесно взаимодействует с маломерной топологией, гиперболической геометрией, группами Ли и однородными пространствами, алгебраической топологией, вычислительной теорией групп и дифференциальной геометрией. Существуют также существенные связи с теорией сложности, математической логикой, динамическими системами, теорией вероятностей, К-теорией и другими областями математики.

Мы выберем несколько важных направлений в геометрической теории групп и научим им вас. Мы стремимся к тому, чтобы молодые люди, изучающие такие области математики, как алгебра, геометрия, динамика или топология, имели некоторые основы, позволяющие либо понять некоторые задачи в геометрической теории групп, либо использовать её методы в своих областях. Мы сосредоточимся в основном на геометрических аспектах. (источник)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 2 часа)
▪️Упражнения

Программа
1. Альтернатива Титса для группы гомеоморфизмов окружности
2. Жесткость действий на окружности группы Aut(\pi_1(S_g)) автоморфизмов фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности

Пререквизиты
Знакомство с азами динамики и геометрической теории групп.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка