Теория кос

Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Материалы
▪️Видеозаписи
▪️Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос

Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.

Пререквизиты
Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке.

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Синтетический подход к лоренцевой геометрии (19.02)
— Соответствие Жиру, часть 2 (19.02)
— Топологическая интерпретация универсальных меток элементов диаграмм узлов (19.02)
— On biquandles for the groups $G^k_n$ and surface singular braid monoid (19.02)
— Топологические группы с точки зрения общей топологии: общий взгляд и не до конца решённые проблемы (20.02)
— Inducing graph invariants from the universal $\mathcal{gl}$-weight system (21.02)

В субботу (24 февраля) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Трёхрёберные минимальные идеальные триангуляции 3-многообразий с краем»
Антон Рябков

Фундаментальной проблемой маломерной топологии является проблема классификации трехмерных многообразий. Понятие сложности трехмерного многообразия, введенное С.В. Матвеевым еще в 1988 году, лежит в основе одного из подходов к частичному решению данной проблемы. Оно основано на идее представления компактного трехмерного многообразия его спайном. В определенном смысле спайн трехмерного многообразия — это двумерный подполиэдр, на который можно коллапсировать многообразие, а сложность многообразия — это минимально возможное число сингулярных вершин в таком подполиэдре.

Задача вычисления сложности многообразий является весьма трудной. К настоящему времени точные значения сложности известны только для конечного числа табулированных многообразий, нескольких бесконечных семейств многообразий с краем, замкнутых многообразий и многообразий с каспами.

На докладе речь пойдет об одном из подходов к нахождению точных значений сложности 3-многообразий с краем, который основан на применении так называемого эпсилон-инварианта. В частности будет доказан признак минимальности 3-многообразий, идеальные триангуляции которых имеют ровно три ребра.

[Векторные расслоения и] класс Эйлера

Ряд задач комбинаторной геометрии можно решить, оперируя только лишь идеей непрерывности (например, задача А). Однако для продвинутых задач в том же духе (например, задача В) одной непрерывности мало (попробуйте убедиться сами). Достаточно универсальное средство следующей ступени — класс Эйлера. Я объясню:
▪️что такое класс Эйлера — для математической культуры,
▪️как им пользоваться — для пополнения инструментария слушателей,
▪️что такое локальные комбинаторные формулы — для воспитания вкуса.

Задача А. Пусть А — плоская фигура. Покажите, что найдутся две взаимно ортогональные прямые, делящие А на четыре равные по площади части.

Задача В (теорема о бутерброде с ветчиной). Пусть А, В, С — три выпуклых тела в трехмерном евклидовом пространстве. Покажите, что существует плоскость, делящая каждое из них на две равные по объему части.

Курсы «S^1-расслоения», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Как можно и как нельзя пользоваться непрерывностью: анализ подводных камней.
2. Векторные расслоения, класс Эйлера и как им пользоваться: теорема Борсука — Улама и теорема о вписанном в кривую квадрате.
3. Расслоения со слоем «окружность», класс Черна — Эйлера.
4. Локальная комбинаторная формула Мнева — Шарыгина.
5. Функториальность класса Эйлера. Классифицирующее пространство. Локальная комбинаторная формула Игусы.

Литература
▪️J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem. Lectures on topological methods in combinatorics and geometry. Written in cooperation with Anders Bjorner and Gunter M. Ziegler. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
▪️Г. Ю. Панина, Элементарный подход к локальным комбинаторным формулам для класса Эйлера кусочно линейного сферического расслоения, Матем. сб., 214:3 (2023), 153–168.

Пререквизиты
Непрерывность, комплексные числа, конечномерные векторные пространства.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— From the three Reidemeister moves to the three Lie gauge groups – with consequences for the unification of physics (26.02)
— Соответствие Жиру, часть 3 (26.02)

Равносоставленность многогранников и гомологии групп

Классическая теорема Бойяи — Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
Позже задача о равносоставленности многогранников была включена Гильбертом в его знаменитый список проблем под номером три. Забавный факт заключается в том, что к этому моменту задача была уже решена Деном (о чём Гильберт не знал). Ден построил серию инвариантов равносоставленности; в настоящее время их обычно объединяют в один инвариант, называемый инвариантом Дена. После этого он показал, что, например, куб и правильный тетраэдр равного объёма неравносоставлены, так как их инварианты различны.
Замечательная теорема Сидле (1965) утверждает, что равенство объёмов и инвариантов Дена двух трёхмерных многогранников — не только необходимое, но и достаточное условие их равносоставленности. Доказательство этой теоремы открыло удивительную связь равносоставленности многогранников с важной областью современной алгебры — теорией гомологий групп.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 6.5 часов)

Программа
1. Теорема Больяи — Гервина о равносоставленности многоугольников.
2. Теорема Дена — Сидле о равносоставленности многогранников.
3. Гомологии групп. Группа равносоставленности. Её связь с гомологиями группы SO(3).
4. Если хватит времени, постараюсь рассказать о недавнем моём (совместно с Л. С. Игнащенко) доказательстве сильной гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что всякий изгибаемый многогранник остаётся в процессе изгибания равносоставленным с самим собой в начальный момент времени.

Пререквизиты
Пункты 1 и 2 не требуют от слушателей никаких предварительных знаний и будут полностью доступны школьникам. Для понимания пункта 3 достаточно минимального знакомства с понятием группы; знакомство с гомологиями не предполагается. Пункт 4 (если до него дойдёт дело) потребует некоторого знакомства с понятием аналитической функции комплексного переменного.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (04.03)
▪️Кружок по геометрии и топологии (09.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (09.03)

▪️Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории, часть 3 (04.03)
▪️Соответствие Жиру, часть 4 (04.03)
▪️Ellipsoidal Billiards, Combinatorics, and Polynomial Pell’s Equations (04.03)
▪️Universal construction, foams and link homology (04.03)
▪️Топологические группы с точки зрения общей топологии: общий взгляд и не до конца решённые проблемы, часть 2 (05.03)

На открытке: разбиение трёхмерной сферы на 120 додекаэдров

В субботу (9 марта) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Групповое пополнение моноидов»
Кирилл Сулливан

Я расскажу про теорему Баррата — Кана — Придди — .... Чтобы заинтересоваться ей, можно прочитать статью на Википедии. Чтобы постичь саму ее суть, нужно изучить книжку «Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах» Бордмана — Фогта. Мой доклад будет о петлях и распетливании (отсюда групповое пополнение), о нескольких вещах, касающихся операд, а также о доказательстве теоремы Баррата — Кана — Придди через конструкции, связанные с конфигурационными пространствами.

Топология трёхмерных многообразий

В этом курсе мы увидим, какие бывают трёхмерные многообразия и какими операциями их можно получать друг из друга. Их классификация отнюдь не проста, в отличие от классификации поверхностей. Тем не менее, трёхмерные многообразия обладают рядом приятных свойств, о которых мы поговорим.
Также мы рассмотрим и другие классические объекты маломерной топологии — узлы (и их инварианты), поверхности (и их группы классов отображений) и четырёхмерные многообразия (и их разложения на ручки), — которые естественно появятся в нашем контексте.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 18.5 часов)
▪️Упражнения
▪️Литература

Программа
1. Триангуляции, разбиения Хегора, линзовые пространства, гомологические сферы, разложение на простые слагаемые, несжимаемые поверхности
2. Поверхности, группы классов отображений, теорема Дена — Ликориша
3. Перестройки по зацеплениям, исчисление Кирби, локальные движения для исчисления Кирби
4. Фундаментальная группа и классы Штифеля-Уитни трёхмерных многообразий
5. Двумерные циклы, лемма Дена о диске
6. Характеристические классы, хирургия векторных расслоений
7. Отображения трёхмерных многообразий с заданными бордмановскими особенностями

Пререквизиты
Курс рассчитан на студентов 2–4 курса. Для понимания курса нужно знать базовые вещи про гомотопические группы, гомологии и гладкие многообразия, также желательно быть немного знакомым с теорией Морса и теорией узлов.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Поверхности в 3-многообразиях и норма Тёрстона

Поверхности, с их сильно ограниченной топологией и геометрией, представляют собой удивительно эффективное средство для изучения богатого мира трехмерных многообразий. Мы приводим лёгкое введение в норму Терстона на второй группе гомологии 3-многообразий, которая измеряет топологическую сложность "простейшей" поверхности, представляющей данный гомологический класс. Эта мера оказывается весьма полезным инструментом для изучения многообразия; например, мы объясним, как некоторые из крупнейших результатов в современной топологии трехмерных многообразий могут быть поняты как ответы на основные вопросы о норме Терстона.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (11.03)
▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (12.03)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (12.03)
▪️Теория узлов (15.03)
▪️Кружок по геометрии и топологии (16.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (16.03)

▪️Гомологии Хегора–Флоера, тугие слоения и контактные структуры, часть 1 (11.03)
▪️Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории, часть 4 + подключение к дистанционному вечеру памяти А. В. Чернавского (11.03)
▪️Вычисление l_1-размерности через расстояние Громова-Хаусдорфа (11.03)
▪️О жёсткости комплексных родов Хирцебруха на SU-многообразиях (12.03)
▪️Эффекты квантования и случайные блуждания в группе гомеоморфизмов окружности (15.03)

На открытке: разложение Гельмгольца — Ходжа

В субботу (16 марта) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Керекьярто о периодических гомеоморфизмах диска и сферы»
Илья Алексеев

Доклад посвящен доказательству теоремы Керекьярто о том, что любой имеющий конечный порядок автогомеоморфизм диска или сферы сопряжен изометрии. Данный результат связан с теорией кос, является ключевым компонентом классификации периодических элементов в группах классов отображений поверхностей и открывает пути в теорию действий конечных групп на многообразиях и теорию орбифолдов. Изложение следует статье [A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjarto on periodic homeomorphisms of the disc and the sphere, 1994].

Видеозапись: YouTube, Telegram
Слайды/конспект: Notion

Двумерные слоения на трехмерных многообразиях

Слоения коразмерности один — классический объект дифференциальной топологии. В топологии трехмерных многообразий и теории узлов они играют особую роль. В курсе будут изложены основные понятия и факты теории слоений коразмерности 1 на трехмерных многообразиях.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 36 часов)

Программа
1. Основные определения и понятия: слоение, критерий Фробениуса, трансверсаль, голономия, исчезающий цикл, слоение Риба.
2. Вопросы гладкости: теорема Хэфлигера о несуществовании аналитического слоения коразмерности 1 на сфере, примеры слоений класса C^1, не сглаживаемых до C^2.
3. Тугие слоения и прошитые многообразия: теорема Новикова о замкнутом слое, теорема Габая о существовании тугих слоений.
4. Слоения и контактные структуры: тесные контактные структуры, теорема Элиашберга — Тёрстона о приближении тугого слоения тесной контактной структурой.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Связи между группами кос, теорией гомотопий и маломерной топологией

Простейший гомоморфизм из свободной группы в группу крашеных кос дает интересные связи между группами кос, теорией гомотопии и маломерной топологией. Данный гомоморфизм индуцирует гомоморфизм на уровне алгебр Ли, образованных нижними центральными рядами этих групп. Далее, он индуцирует морфизм симплициальных групп. Мы покажем, что все эти отображения инъективны, и обсудим брунновы косы. Аналогичные гомоморфизмы алгебр Ли, индуцированные на факторах mod-p нижнего центрального ряда, также являются инъективными. Используя эти факты, оказывается, что гомотопические группы вышеуказанной симплициальной группы (гомотопические группы двумерной сферы) изоморфны естественным подфакторам группы крашеных косы. Кроме того, mod-p аналоги дают связь между классической нестабильной спектральной последовательностью Адамса и mod-p аналогами инвариантов Васильева — Гусарова крашеных кос.

Материалы
▪️Видеозапись

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка