Рохлинская двойка

23 августа 2019 года исполнилось 100 лет со дня рождения выдающегося математика Владимира Абрамовича Рохлина. Одной из вершин его творчества является теорема, утверждающая, что сигнатура любого гладкого замкнутого ориентированного четырёхмерного многообразия с чётной формой пересечений делится на 16. Все изучавшие линейную алгебру должны знать, что над полем вещественных чисел любая симметрическая билинейная форма линейной заменой координат приводится к виду

f(x,y) = x_1y_1 + ⋯ + x_py_p − x_{p+1}y_{p+1} − ⋯ − x_{p+q}y_{p+q}.

Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами инерции, а их разность — сигнатурой формы f. Таким образом, классификация вещественных симметрических билинейных форм очень проста. Однако, если рассматривать формы не над полем вещественных чисел, а над кольцом целых чисел, то получается гораздо более сложная и красивая теория, ещё очень далёкая от своего завершения.

Симметрическая билинейная форма называется унимодулярной, если определитель её матрицы равен ±1, и чётной, если на диагонали её матрицы стоят чётные числа. Бывают ли чётные унимодулярные формы? Да, например, f(x,y) = x_1 y_2 + x_2 y_1. А бывают ли чётные унимодулярные формы с ненулевой сигнатурой? Тоже да. Попробуйте построить такую форму, но не переживайте, если не получится: это сложная задача и простейший пример имеет размерность 8. Более того, оказывается, что сигнатура любой чётной унимодулярной формы делится на 8. Этот красивый алгебраический факт будет доказан в первой половине курса.

Вторая половина курса будет посвящена упомянутому выше замечательному результату В.Рохлина. Каждому ориентированному гладкому замкнутому четырёхмерному многообразию можно естественным образом сопоставить унимодулярную симметрическую билинейную форму, называемую его формой пересечений. Теорема Рохлина утверждает, что если эта форма чётна, то её сигнатура делится не только на 8, но и на 16. Это отличие в 2 раза, открытое В.А. Рохлиным, сыграло огромную роль в развитии топологии во второй половине 20-го века и известно в настоящее время под жаргонным названием «рохлинская двойка». Я не уверен, что я успею рассказать полное доказательство теоремы Рохлина, но я постараюсь проиллюстрировать основные идеи, лежащие в основе её доказательства, и объяснить, почему эта теорема так важна.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Пререквизиты
Курс рассчитан на студентов. Для понимания первой (алгебраической) части курса достаточно хорошего знания основ линейной алгебры (матрицы, определители, билинейные формы). Для второй части курса необходимо также знание теоремы о неявной функции и хотя бы интуитивное понимание того, что такое гладкое многообразие. Знакомство с определением групп гомологий не предполагается.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Феномен мягкости в дифференциальной топологии

В середине прошлого века С. Смейл обнаружил, что сферу в трёхмерном пространстве можно непрерывно вывернуть наизнанку. В процессе выворачивания могут появляться самопересечения, но запрещены изломы (т.е. каждый достаточно маленький кусочек сферы должен быть гладким в любой момент времени). Примерно в то же время Дж. Нэш доказал теорему об изометрическом вложении. Она позволяет, например, вложить в трёхмерное пространство тор, склеенный из прямоугольника, так что в итоге поверхность прямоугольника не будет растянута или сжата, а лишь гладко изогнута. В дальнейшем М. Громов заметил, что оба применённых здесь метода обобщаются на довольно широкий класс геометрических задач, которым присуща некая «гибкость». Разработанная Громовым техника получила название h-принцип и была впоследствии широко популяризирована. В этом курсе мы попробуем увидеть и почувствовать, как работает h-принцип, на нескольких простых примерах. В процессе мы также освоим ряд концептуальных приёмов и инструментов, часто применяющихся во многих других топологических задачах.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.75 часа)
▪️Упражнения
▪️Литература

Программа
1. Регулярные гомотопии гладких кривых на плоскости (разминка),
2. Векторные расслоения, послойные морфизмы (техническая подготовка),
3. Теорема Смейла — Хирша, выворачивание сферы (и другие примеры),
4. Мягкость отображений с заданными особенностями.

Пререквизиты
Для комфортного понимания курса от слушателей потребуется владение азами теории множеств (отображения, декартово произведение) и анализа (эпсилон-дельта формализм, интуитивное понимание непрерывности и геометрического смысла производной), а также хорошее пространственное воображение.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

​​В субботу (10 февраля) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Поверхности бесконечного типа»
Андрей Рябичев

Подавляющее большинство людей начинают знакомство с топологией с понятия поверхности. Все знают, что компактная ориентируемая поверхность без края гомеоморфна связной сумме торов. На этом простом примере удобно впервые вычислить фундаментальную группу и гомологии. Далее можно не расставаться с ним и серьёзно заняться изучением группы классов отображений, римановых структур, пространства модулей, группы Торелли, и т.д...

Но что, если отбросить требование компактности? Оказывается, при этом могут возникать довольно дикие примеры вроде сферы с несчётным числом проколов. Тем не менее некомпактные поверхности допускают относительно простую классификацию через множество концов (компонент связности проективного предела дополнений компактных подмножеств).

Про эту классификацию и разные взгляды на неё я и расскажу. Если останется время, мы также поговорим о гиперболических структурах и спектре длин геодезических. Для понимания доклада не помешает умеренное владение общей топологией и дикое геометрическое воображение.

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории (продолжение) (12.02)
— Соответствие Жиру, часть 1 (12.02)
— Деформации многообразий Калаби-Яу и теорема Богомолова-Тяна-Тодорова (12.02)
— Гипотеза Римана и диофантовы уравнения (12.02)
— Многочлены Ласку и многогранники Гельфанда-Цетлина (13.02)
— REALISTIC CROSSING DATA FOR CURVES IN THE PLANE (17.02)
— Disjoint Seifert surfaces and composition of binary quadratic forms (15.02)

Приглашаем принять участие в студенческой школе-конференции «Математическая весна – 2024», которая состоится 25-28 марта в Нижнем Новгороде!

Мини-курсы
▪️Консервативный хаос
▪️Необыкновенные приключения перекладываний отрезков в динамике, геометрии и физике
▪️Применение динамических систем к исследованию качественных и асимптотических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка
▪️Cпектральная теория дифференциальных операторов
▪️Численное исследование динамики нелинейных систем при помощи ляпуновских показателей и векторов
▪️Топология псевдоевклидовых аналогов интегрируемых систем механики
▪️Алгебро-геометрические решения уравнения Кортевега — де Фриза
▪️Вихревая динамика
▪️Порядок и хаос в динамических системах

Дедлайны
▪️Подача заявок на финансовую поддержку: до 1 марта
▪️Подача заявок на участие с докладом: до 22 марта

Пространства, о которых не принято говорить
Олег Виро

В математическом сообществе имеются твёрдые взгляды на то, какие объекты хороши, а какие неприлично уродливы. У дифференцируемых многообразий локально всё должно быть прекрасно (т.е. тривиально), а если случатся особенности, то о них ничего не скажешь, потому что и соответствующих слов-то в нашей математически корректной терминологии нет. Все математики, кроме специалистов по комбинаторике, верят, что все конечные топологические пространства либо тривиальны, либо уродливы. И так далее. Я расскажу о том, чем хороши и на что годятся эти «уродцы».

Материалы
▪️Слайды

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Окрошка из кошки

Как приготовить окрошку из кошки? Например, так. Видно, что с каждой итерацией кошка вытягивается в одном направлении и сжимается в другом. В результате получается «окрошка»: со временем доля кошки в любом маленьком квадратике стремится к одному и тому же числу — доле кошки во всём квадрате!

Если склеить противоположные стороны квадрата, получится тор (поверхность бублика). Если рассматривать отображение (x, y) → (2x+y, x+y) не на квадрате, а на торе, получится непрерывное всюду дифференцируемое отображение, которое тем не менее «размазывает» кошку по тору. Это отображение — простейший пример диффеоморфизма Аносова. Общее понятие предложил Д. В. Аносов в середине XX века. Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, который они вызывают.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.5 часа)

Программа

1. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x + y, x + y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. Эта связь позволяет свести доказательство нетривиальных свойств нашего отображения к стандартным фактам университетского курса теории вероятностей (знание этих фактов от слушателей не требуется).
2. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии, чем просто (многомерный) тор.
3. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова и обзору имеющихся результатов.

Пререквизиты
Курс доступен школьникам.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Узлы и трёхмерные многообразия

Этот курс, прежде всего, — введение в замечательные результаты Вона Джонса, Виктора Васильева и Михаила Гусарова об инвариантах узлов и зацеплений и в новые модификации этих инвариантов, включая математическое обоснование инвариантов Джонса — Виттена. Особое внимание уделяется геометрическим аспектам теории. Обсуждаются такие темы, как косы, гомеоморфизмы поверхностей, перестройки трехмерных многообразий (исчисление Кирби), строго математически строятся инварианты Джонса — Виттена на основе скейн-алгебр.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 19 часов)
▪️Упражнения, записки и задачи для экзамена

Программа
1. Трёхмерные многообразия. Диаграммы Хегора, линзы, гомеоморфизмы поверхностей и теорема Дена — Ликориша, каждое трёхмерное многообразие — граница четырёхмерного. Разложение трёхмерных многообразий в связную сумму. Несжимаемые и нормальные поверхности.
2. Узлы и зацепления. Поверхность Зейферта, арифметика узлов, торические узлы, число мостов, полиномы Александера, Конвея и Джонса.
3. Косы. Группы кос, теоремы Александера и Маркова, представление Бурау, положительные косы. Крашеные косы.
4. Перестройки трёхмерных многообразий. Исчисление Кирби. Скейн-инварианты трёхмерных многообразий.
5. Инварианты Васильева — Гусарова.

Литература
▪️В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. Москва: МЦНМО, 1997.
▪️Н. Савельев. Лекции по топологии трехмерных многообразий: введение в инвариант Кассона. Перевод с англ. И. Дынникова. М.: МЦНМО, 2004.
▪️В. В. Прасолов. Наглядная топология. Москва: МЦНМО, 2006.

Пререквизиты
Топологические пространства, многообразия, клеточные и симплициальные разбиения, фундаментальная группа и накрытия.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Теория кос

Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Материалы
▪️Видеозаписи
▪️Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос

Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.

Пререквизиты
Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке.

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Синтетический подход к лоренцевой геометрии (19.02)
— Соответствие Жиру, часть 2 (19.02)
— Топологическая интерпретация универсальных меток элементов диаграмм узлов (19.02)
— On biquandles for the groups $G^k_n$ and surface singular braid monoid (19.02)
— Топологические группы с точки зрения общей топологии: общий взгляд и не до конца решённые проблемы (20.02)
— Inducing graph invariants from the universal $\mathcal{gl}$-weight system (21.02)

В субботу (24 февраля) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Трёхрёберные минимальные идеальные триангуляции 3-многообразий с краем»
Антон Рябков

Фундаментальной проблемой маломерной топологии является проблема классификации трехмерных многообразий. Понятие сложности трехмерного многообразия, введенное С.В. Матвеевым еще в 1988 году, лежит в основе одного из подходов к частичному решению данной проблемы. Оно основано на идее представления компактного трехмерного многообразия его спайном. В определенном смысле спайн трехмерного многообразия — это двумерный подполиэдр, на который можно коллапсировать многообразие, а сложность многообразия — это минимально возможное число сингулярных вершин в таком подполиэдре.

Задача вычисления сложности многообразий является весьма трудной. К настоящему времени точные значения сложности известны только для конечного числа табулированных многообразий, нескольких бесконечных семейств многообразий с краем, замкнутых многообразий и многообразий с каспами.

На докладе речь пойдет об одном из подходов к нахождению точных значений сложности 3-многообразий с краем, который основан на применении так называемого эпсилон-инварианта. В частности будет доказан признак минимальности 3-многообразий, идеальные триангуляции которых имеют ровно три ребра.

[Векторные расслоения и] класс Эйлера

Ряд задач комбинаторной геометрии можно решить, оперируя только лишь идеей непрерывности (например, задача А). Однако для продвинутых задач в том же духе (например, задача В) одной непрерывности мало (попробуйте убедиться сами). Достаточно универсальное средство следующей ступени — класс Эйлера. Я объясню:
▪️что такое класс Эйлера — для математической культуры,
▪️как им пользоваться — для пополнения инструментария слушателей,
▪️что такое локальные комбинаторные формулы — для воспитания вкуса.

Задача А. Пусть А — плоская фигура. Покажите, что найдутся две взаимно ортогональные прямые, делящие А на четыре равные по площади части.

Задача В (теорема о бутерброде с ветчиной). Пусть А, В, С — три выпуклых тела в трехмерном евклидовом пространстве. Покажите, что существует плоскость, делящая каждое из них на две равные по объему части.

Курсы «S^1-расслоения», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Как можно и как нельзя пользоваться непрерывностью: анализ подводных камней.
2. Векторные расслоения, класс Эйлера и как им пользоваться: теорема Борсука — Улама и теорема о вписанном в кривую квадрате.
3. Расслоения со слоем «окружность», класс Черна — Эйлера.
4. Локальная комбинаторная формула Мнева — Шарыгина.
5. Функториальность класса Эйлера. Классифицирующее пространство. Локальная комбинаторная формула Игусы.

Литература
▪️J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem. Lectures on topological methods in combinatorics and geometry. Written in cooperation with Anders Bjorner and Gunter M. Ziegler. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
▪️Г. Ю. Панина, Элементарный подход к локальным комбинаторным формулам для класса Эйлера кусочно линейного сферического расслоения, Матем. сб., 214:3 (2023), 153–168.

Пререквизиты
Непрерывность, комплексные числа, конечномерные векторные пространства.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— From the three Reidemeister moves to the three Lie gauge groups – with consequences for the unification of physics (26.02)
— Соответствие Жиру, часть 3 (26.02)

Равносоставленность многогранников и гомологии групп

Классическая теорема Бойяи — Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
Позже задача о равносоставленности многогранников была включена Гильбертом в его знаменитый список проблем под номером три. Забавный факт заключается в том, что к этому моменту задача была уже решена Деном (о чём Гильберт не знал). Ден построил серию инвариантов равносоставленности; в настоящее время их обычно объединяют в один инвариант, называемый инвариантом Дена. После этого он показал, что, например, куб и правильный тетраэдр равного объёма неравносоставлены, так как их инварианты различны.
Замечательная теорема Сидле (1965) утверждает, что равенство объёмов и инвариантов Дена двух трёхмерных многогранников — не только необходимое, но и достаточное условие их равносоставленности. Доказательство этой теоремы открыло удивительную связь равносоставленности многогранников с важной областью современной алгебры — теорией гомологий групп.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 6.5 часов)

Программа
1. Теорема Больяи — Гервина о равносоставленности многоугольников.
2. Теорема Дена — Сидле о равносоставленности многогранников.
3. Гомологии групп. Группа равносоставленности. Её связь с гомологиями группы SO(3).
4. Если хватит времени, постараюсь рассказать о недавнем моём (совместно с Л. С. Игнащенко) доказательстве сильной гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что всякий изгибаемый многогранник остаётся в процессе изгибания равносоставленным с самим собой в начальный момент времени.

Пререквизиты
Пункты 1 и 2 не требуют от слушателей никаких предварительных знаний и будут полностью доступны школьникам. Для понимания пункта 3 достаточно минимального знакомства с понятием группы; знакомство с гомологиями не предполагается. Пункт 4 (если до него дойдёт дело) потребует некоторого знакомства с понятием аналитической функции комплексного переменного.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка