В субботу (9 декабря) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 7»
Андрей Рябичев

Пусть даны два многообразия M и N. Хотелось бы научиться строить отображения f: M→N, имеющее критические точки заранее заданного типа в заранее заданных подмножествах M, либо доказывать, что таких отображений не существует.
Я начну с результатов Смейла — Хирша о погружениях и Элиашберга о погружениях со складками (и расскажу интуитивные идеи их доказательств, если позволит время). Затем я напомню классификацию особенностей по Тому — Бордману и введу естественное обобщение предыдущих теорем (ещё, может, скажу пару слов про работы Андо на ту же тему, но немного в другом направлении).
К сожалению, пока это обобщение существует только в случае dim M = dim N. Тем не менее, с помощью него легко оценить, например, существует ли отображение между поверхностями, имеющее заданные локусы складок и сборок, или решить аналогичную трёхмерную задачку — эти примеры я рассчитываю подробно разобрать в конце. Всё это написано в моей диссертации, причём даже на русском языке, но что делать в случае dim M ≠ dim N, к сожалению, пока непонятно, а значит, это самое интересное!

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Приближение слоений контактными структурами (по Элиашбергу–Торстону), часть 3 (4.12)
— Moduli of Fano varieties via K-stability (4.12)
— Регулярность субримановых геодезических (5.12)
— Многогранники Гельфанда-Цетлина, перестановки и пайп дримы (6.12)
— Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов и монодромия (6.12)

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Теория переходного состояния и времена жизни топологически защищённых магнитных структур (11.12)
— Квази-изометрии фундаментальных групп многомерных граф-многообразий (11.12)
— Rota-Baxter operators and Hopf algebras (11.12)
— Действия окружности на четырехмерных многообразиях (13.12)

В субботу (16 декабря) в 13:40 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 14»
Андрей Рябичев

На прошлом докладе мы обсудили, как по послойно-инъективному морфизму касательных расслоений TM → TN строить погружение многообразий M → N (теорема Смейла — Хирша), а по послойному изоморфизму T^S M → TN — погружение M → N со складками в S (теорема Элиашберга).

Но как контролировать другие особенности гладких отображений M → N, более сложные, чем складки?

В этот раз я расскажу об аналоге векторного расслоения T^S M, в терминах которого легко обобщается теорема Элиашберга. В размерности 2 для заданных локусов складок C и сборок P в M расслоение T^{CP} M строится путём простых переклеек в окрестности C и P. Мы вычислим его харклассы и докажем необходимое и достаточное условие, при котором существует отображение поверхностей с заданными складками и сборками.

В общем случае известна стратификация множества Σ(f) критических точек общего гладкого отображения f:M→N, приходящая из естественной стратификации пространства струй J(M,N). По этой стратификации гипотетически можно понять схему переклейки, позволяющую получить f*TN из TM, но я не знаю, как понять её! Мы поговорим об этом и похожих смежных вопросах.

Для понимания доклада не требуется знакомства с предыдущей частью, состоявшейся 9 декабря (хотя и не повредит), достаточно владения простыми приёмами работы с гладкими отображениями и векторными расслоениями.

Завтра, 23 декабря (суббота), в 13:40 в 201 ауд. и в Zoom ID 958-115-833 состоится продолжение доклада «Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа»

Общеинститутский математический семинар

«Дифференциальная геометрия и алгебраическая топология нильмногообразий»
В. М. Бухштабер

28 декабря в 13:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom (ID 952 9430 1096, пароль pdmi)

Доклад посвящен замечательным башням расслоений M^{n+1} —> M^n, n>0, со слоем окружность S^1=M^1. Эти расслоения определяются нильпотентными группами полиномиальных преобразований вещественной прямой и тесно связаны с функциональным уравнением переноса.

Пространства M^n являются компактными гладкими многообразиями, которые играют важную роль в теории динамических систем, в алгебраической топологии, комплексной геометрии. Многообразие M^2 — это двумерный тор, а M^3 совпадает с знаменитым многообразием Тёрстона.

Первая часть доклада посвящена дифференциальной геометрии многообразий M^n. Описывается структура касательного расслоения к M^n и дифференциальная 2-форма, которая задаёт на M^{2n} структуру симплектического многообразия, а на M^{2n+1} структуру контактного многообразия.

Подробнее.

В предыдущих сериях:
1. Актуальные исследовательские направления в маломерной топологии
2. Графы преобразований узлов. Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты
3. [продолжение]
4. Аддитивные характеристики на группах кос. Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов
5. О феномене зрительной распознаваемости некоторых свойств узлов
6. [продолжение] Введение в теорию виртуальных узлов
7. Универсальные диаграммы узлов
8. Геометрия многообразия NIL
9. [продолжение]
10. Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений
11. [продолжение]
12. Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей
13. [продолжение]
14. Зоопарк 3-многообразий и триангуляционная сложность
15. Заузленные поверхности в R^4
16. [продолжение]
17. [продолжение]
18. Конфигурационные пространства шарнирных механизмов
19. Топография базисов и представимость целых чисел квадратичными формами
20. Новые вопросы в теории Гордиевых графов
21. [продолжение]
22. Все автоморфизмы групп крашеных кос продолжаются на моноиды струнных зацеплений
23. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (1/3)
24. Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер
25. [продолжение]
26. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (2/3)
27. Триангуляции RP^2, в направлении Тёрстона
28. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (3/3)
29. Геометрическое разложение меандров
30. Мошенничество Мазура — Эйленберга
31. Инварианты узлов и кос из четырёхмерной топологии
32. Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий
33. [продолжение]
34. Новые результаты о геодезическом росте групп
35. Общая точка зрения на некоторые основные понятия современной геометрии
36. О случайных блужданиях на группах
37. Новое свойство положительных узлов
38. Поведение гордиевых графов на бесконечности
39. Теория сложности трёхмерных многообразий с точки зрения специальных спайнов
40. Гамма-модули алгебр непрерывных функций ленты Мёбиуса и цилиндра
41. Числа Гурвица и пространства модулей
42. Новая симплициальная структура на группах кос
43. Группы, действующие на корневых деревьях
44. Расслоенные узлы
45. [продолжение]
46. Симплектическая геометрия
47. Контактная геометрия
48. О теоремах типа Хопфа для f-соседей
49. Когомологии де Рама алгебр полиномиальных функций на полиэдрах
50. О группах, гиперболичных по Громову
51. Крашеная операда меандров
52. Трюки для изнаночных автоморфизмов струнных зацеплений
53. Фиксационные движения глаз: расслоение Хопфа, закон Листинга, кинематика и динамика саккадических циклов
54. По-настоящему большой граф хирургий Дена
55. Узел Конвея: инструкция по доведению до ручки
56. [продолжение]
57. Группа конкордантности узлов
58. Алгебраические петли в пространствах Буземана
59. Гомеоморфизмы поверхностей, кривые и железнодорожные пути
60. Алгебраическая модель dg-алгебры Сулливана полиномиальных форм
61. Полициклические группы и поднятие геодезических слов
62. Теорема Громова о несжимаемости
63. Об аналоге альтернативы Титса для группы гомеоморфизмов окружности
64. Краткое введение в тропическую геометрию
65. Единство алгебры и геометрии
66. [продолжение]
67. Многочлен Александера — Конвея
68. Как не надо решать проблему Бернсайда
69. О Трюке Александера
70. Как построить альтернированный узел?
71. Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа (1/3)
72. Отображения с заданными бордмановскими особенностями
73. [продолжение]
74. Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа (2/3)
75. Конфигурационные пространства, группы кос и симплициальная теория гомотопий

В субботу (30 декабря) в 13:40 в 201 ауд. и в Zoom канале ID 958-115-833 состоится семьдесят пятое, юбилейное занятие семинара — мы ждём всех желающих: состоится особенное и одновременно самое рядовое заседание:

«Конфигурационные пространства, группы кос и симплициальная теория гомотопий»
Василий Ионин

Симплициальная теория гомотопий представляет собой современный фреймворк, призванный исправить несовершенства классической теории гомотопий. Одновременно с этим она открывает новые возможности для моделирования топологических объектов, приводящие к конструкциям, поддающимся комбинаторному анализу.

Группой кос на поверхности M называется фундаментальная группа конфигурационного пространства n-ок различных точек в M. Коса называется брунновой, если все косы, получающиеся из неё удалением любой нити, тривиальны. Вложение диска в сферу индуцирует гомоморфизм Brun_n(D) -> Brun_n(S^2). Удивительнейший результат A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong и J. Wu гласит, что для n > 4 коядро этого гомоморфизма совпадает с (n-1)-й гомотопической группой сферы S^2. Таким образом, старшие гомотопические группы сферы S^2 можно описать как фактор брунновых кос на сфере по брунновым косам на диске. Доказательство этой теоремы существенным образом использует симплициальные техники.

В своем докладе на конгрессе Р. Михайлов сказал: «Последовательность гомотопических групп S^2 является одним из самых мистических объектов в математике. Тяжело спекулировать, насколько мы далеки от его понимания. Это очень странное везение, что мы можем реализовать так сложно устроенные объекты в качестве просто описываемых факторов».

На докладе мы воспроизведем доказательство этого результата, а также продемонстрируем, как можно, пользуясь схожими идеями, построить новую симплицальную структуру на коммутантах групп крашеных кос, моделирующую S^3, и прийти к неожиданным импликациям.

Студенческий семинар по маломерной топологии в цифрах

▪️75 занятий
▪️25 докладчиков
▪️1000 часов просмотренных видео на YouTube канале
▪️60 очных участников
▪️5/10/2020 года — день рождения семинара

По случаю данного юбилея у нас приготовлен для вас подарок: мы впервые публикуем новый авторский видеокурс по теории узлов и расширяем данную публикацию сборником материалов по маломерной топологии, который предоставляет возможность для развития в данной области всем желающим. Мы надеемся, что эти материалы помогут вам провести зимние каникулы приятно и плодотворно.

Геометрическая теория узлов

Мыслитель Вадим Руднев в своей книге "Странные объекты" сообщает, среди прочего, три ключевых тезиса:

— Странный объект в узком смысле это скорее пара объектов, взаимодействующих как части одной Заводной игрушки — вы смотрите на фотографию, но фотография смотрит на вас.

— Странные объекты — фрагментированные объекты, а странные факты — фрагментированные факты.

— Реальность — это ошибка. И если теория не соответствует реальности, «тем хуже для реальности».

Мы не можем утверждать, какой именно посыл пытался донести нам Вадим Руднев своим замечательным текстом, однако сложно не отметить, что маломерная топология в целом и теория узлов в частности слегка похожи на науку о странных объектах.

Наших объектов исследования, конечно, ни в каком разумном смысле не существует, однако единственный продуктивный способ взаимодействия с ними — не только представить, будто бы они есть на самом деле, но и нескончаемо эксплуатировать свои предчувствия об их воображаемой реальности. Процесс этой инициации всегда сопровождается обнаружением неприличного числа очевидных фактов, реальный статус которых совершенно непредсказуем, и такого же числа совершенно неочевидных фактов, для которых непредсказуемым оказывается уже само их наличие.

Это первая часть предполагаемого курса по геометрической теории узлов, в процессе которого мы попробуем посмотреть на то, чего не только быть не может, но и, в общем-то, не должно.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 17 часов)

Программа
1. Обзор на маломерную топологию.
2. Тонкости определений. Теорема Александера о замыкании.
3. Введение в теорию локальных преобразований.
4. Алгоритм Зейферта.
5. Калькулус вложенных поверхностей. Аддитивность рода.
6. Трюк Александера. Мошенничество Мазура — Эйленберга.
7. Пять классов симметрий. Теорема Райдемастера. Комбинаторный коэффициент зацепления.
8. Матрица Зейферта.
9. Дополнение узла. Копредставление Виртингера. Гомологический коэффициент зацепления. Лемма Кайла Миллера.
10. Критерий S-эквивалентности поверхностей Зейферта.
11. Детерминант. Сигнатура. Критерий Эндрю Путмана о представимости гомологического класса простой замкнутой кривой.

Литература
▪️P. Cromwell. Knots and links. Cambridge university press, 2004.
▪️D. Rolfsen. Knots and links. Vol. 346. American Mathematical Soc., 2003.
▪️В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. Москва: МЦНМО, 1997.
▪️Bar-Natan, Dror, Jason Fulman, Louis H. Kauffman. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tube-equivalent. Journal of Knot Theory and its Ramifications 7 (1998): 873-880.
▪️A. Putman, Realizing homology classes by simple closed curves.

Пререквизиты
Знакомство с началами теории топологических многообразий.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрическая теория групп

Многие впечатляюще красивые математические теории возникают из неожиданных сочетаний известных понятий. К классу таких теорий относится геометрическая теория групп. Находясь на стыке алгебры, геометрии и топологии, она отталкивается от идеи рассмотрения счетной группы как метрического пространства, — пространства с однородной метрикой, что открывает пути из алгебры и комбинаторной теории групп в гиперболическую геометрию, топологию многообразий, теорию графов, теорию динамических систем и т.д. Исследуя геометрию каждой конкретной группы, мы вовлекаем, применяем и тем самым осваиваем «вживую» множество математических дисциплин одновременно, изучая не «слои» математики (алгебру, геометрию, топологию), а — пронизывая эти слои — всю математику одновременно.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 22 часа)
▪️Конспект
▪️Литература

Программа
1. Графы Кэли и карта мира групп
2. Квазиизометрии
3. Гиперболические пространства и группы: примеры и конструкции
4. Лемма Шварца — Милнора
5. Гиперболические границы и пространства концов
6. Орифункции

Пререквизиты
Предполагается владение стандартным курсом высшей алгебры.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

[Гомологии, когомологии и] гармонические цепи

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Симплициальные и клеточные (ко)гомологии в маленьких размерностях. Разнообразные примеры и упражнения.
2. Гармонические цепи, дискретный оператор Лапласа. Основная теорема: в каждом (ко)гомологическом классе есть единственный гармонический представитель.
3. Приложения: прогулки пьяницы, мыльные плёнки, каноническое обращение граничного оператора.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Предполагается, что слушатели умеют работать с векторными пространствами, линейными операторами, матрицами, скалярным произведением. Знание дискретного лапласиана для графов не требуется.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

Одной из ключевых проблем, определивших развитие топологии и геометрии в 20-м веке, стала знаменитая гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно стандартной трехмерной сфере. О трехмерном многообразии можно думать как об объекте, который локально (в окрестности каждой точки) устроен как наше обычное трехмерное пространство. Ключевым в формулировке гипотезы является слово «односвязное», означающее, что в рассматриваемом многообразии всякая замкнутая кривая (петля) может быть непрерывно стянута в точку или, что эквивалентно, заклеена топологическим диском.

Гипотеза Пуанкаре была доказана в серии замечательных работ Г. Я. Перельмана 2002—2003 годов. Однако содержание курса будет связано не с доказательством этой гипотезы, а с ее возникновением. Изначально (в 1900 году) Анри Пуанкаре сформулировал свою гипотезу неправильно. Вместо условия односвязности он потребовал выполнения лишь более слабого условия, а именно, того, что каждая замкнутая кривая в многообразии должна заклеиваться ориентированной двумерной поверхностью (не обязательно диском!). В 1904 году Пуанкаре сам нашел контрпример к изначальной версии своей гипотезы и уточнил ее формулировку. Этот контрпример — трехмерное многообразие, называемое с тех пор гомологической сферой Пуанкаре, — будет главным объектом первой половины курса. Я расскажу о различных конструкциях сферы Пуанкаре, связанных с группой симметрии правильного икосаэдра, кватернионами, перестройками вдоль узлов и зацеплений, диаграммой Дынкина E8.

Вторая половина курса будет посвящена 4- и 5-мерным гомологическим сферам и их связям с теорией групп и теоремами об алгоритмической неразрешимости в топологии. Я расскажу о:
▪️принадлежащей М. Керверу характеризации фундаментальных групп 5-мерных гомологических сфер,
▪️теореме А. А. Маркова (младшего) об алгоритмической неразрешимости проблемы гомеоморфности для четырехмерных многообразий,
▪️теореме С. П. Новикова об алгоритмической нераспознаваемости пятимерной сферы,
а также об их более современных следствиях и открытых проблемах в этой области.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа

1. Необходимые сведения: фундаментальная группа и первая группа гомологий, задание групп образующими и соотношениями, вычисления для клеточных пространств
2. Дефект фундаментальных групп замкнутых 3-многообразий неотрицателен, а для гомологических сфер — нулевой
3. Задание группы A_5 вращений додекаэдра образующими и соотношениями
4. Любое центральное расширение совершенной группы нулевого дефекта тривиально
5. Центральное расширение C_2 —> S^3 —> SO(3) как двулистное накрытие, сфера Пуанкаре как фактор трёхмерной сферы по действию бинарной группы икосаэдра, 120-ячеечник
6. Генерация гомологических сфер:
▪️перестройки по узлам (хирургии Дена), сфера Пуанкаре как [-1]-перестройка по трилистнику и как [-2]-перестройка по зацеплению E_8
▪️сферы Брискорна: пересечения единичной 5-мерной сферы с комплексными гиперповерхностями x^p + y^q + z^r = 0 в C^3
7. Группы гомологических кобордизмов, гомологические сферы в старших размерностях
8. Вторая группа гомологий и формула Хопфа, суперсовершенность
9. Алгоритмическая нераспознаваемость n-сфер при n>=5 и связной суммы 16#(S^2xS^2)
10. Реализация конечно-определённых групп фундаментальными группами 4-многообразий

Пререквизиты
Уверенное знакомство с основами теории групп (смежные классы, нормальные подгруппы, теорема о гомоморфизме, классы сопряженности, группы перестановок). Знакомство с теорией гомологий НЕ предполагается. Полезно (но не обязательно) знакомство с понятием фундаментальной группы и (на интуитивном уровне) с понятием многообразия.

Литература
▪️Н. Савельев. Лекции по топологии трехмерных многообразий: введение в инвариант Кассона. Перевод с англ. И. Дынникова. М.: МЦНМО, 2004.
▪️O. Şavk. A survey of the homology cobordism group. Bulletin of the American Math. Society. 2023.

Соседи
▪️(2,3,5) = (5,2,3)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка