Студенческий семинар по маломерной топологии

«О Трюке Александера»
Д. Аксенова

11 ноября в 13:40
14 линия В.О., 29, ауд. 201
Zoom (ID 958-115-833, пароль стандартный)
YouTube-канал

Одной из базовых конструкций топологии является Трюк Александра (1923), который утверждает, что каждый гомеоморфизм n-мерного шара, тождественный на граничной сфере, связан с тождественным гомеоморфизмом изотопией, неподвижной на этой сфере.

Мы поговорим о фундаментальных теоремах маломерной топологии, в доказательстве которых Трюк Александера выступает важным инструментом. Обсудим его новые обобщения, доказательство одного из которых рассмотрим подробно, а также разберем примеры применения этого варианта Трюка.

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Упорядоченные группы и тугие слоения на трехмерных многообразиях, часть 4 (13.11)
— Distance formula for a point inside a triangle (formula for a diagonal of any quadrilateral) (13.11)
— Траекторные инварианты биллиардов и систем с некомпактными слоями (13.11)
— Отображения с заданными бордмановскими особенностями (14.11)
— О точности дифференциальных 1-форм на множестве вырождения (15.11)
— О группах, порожденных инволюциями двустрочечных таблиц Юнга (15.11)

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Reidemeister torsion of link complements in 3-torus (20.11)
— Приближение слоений контактными структурами (по Элиашбергу–Торстону), часть 1 (20.11)
— Локальность характеризации эллипсоидов по Какутани (20.11)

В субботу (25 ноября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Как построить альтернированный узел?»
Артём Алёшин

Доклад посвящен развитию недавних результатов И. С. Алексеева, А. В. Малютина и А. М. Вершика о генерации семейства попарно различных альтернированных узлов. Мы покажем, как из любой диаграммы сделать альтернированную, поговорим о гипотезах Тейта, позволяющих понять, какие альтернированные диаграммы имеют минимальное количество перекрестков, и обсудим, как с помощью флайпов можно различать узлы, представленные такими диаграммами.

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Приближение слоений контактными структурами (по Элиашбергу–Торстону), часть 2 (27.11)
— Теоремы двойственности для высших когомологических операций с приложением к проблемe реализации циклов (27.11)
— Intricacies about the binary icosahedral group (27.11)
— Всякий ли узел изотопен тривиальному? (28.11)
— О количестве соседей в разбиениях плоскости (29.11)

В субботу (2 декабря) в 13:40 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа»
Илья Алексеев

Доклад посвящен доказательству теорем Пуанкаре — Гуревича и Хопфа, связывающих первую и вторую группы (сингулярных) гомологий топологического пространства с его фундаментальной группой. Кроме всего прочего, мы покажем, что коммутант фундаментальной группы совпадает с множеством гомотопических классов петель, ограничивающих некоторую (сингулярную) компактную ориентируемую поверхность, и что двумерные циклы в топологическом пространстве соответствуют коммутаторным тождествам в его фундаментальной группе. Доклад основан на заметке A. Putman, «Hopf’s theorem via geometry».

В субботу (9 декабря) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 7»
Андрей Рябичев

Пусть даны два многообразия M и N. Хотелось бы научиться строить отображения f: M→N, имеющее критические точки заранее заданного типа в заранее заданных подмножествах M, либо доказывать, что таких отображений не существует.
Я начну с результатов Смейла — Хирша о погружениях и Элиашберга о погружениях со складками (и расскажу интуитивные идеи их доказательств, если позволит время). Затем я напомню классификацию особенностей по Тому — Бордману и введу естественное обобщение предыдущих теорем (ещё, может, скажу пару слов про работы Андо на ту же тему, но немного в другом направлении).
К сожалению, пока это обобщение существует только в случае dim M = dim N. Тем не менее, с помощью него легко оценить, например, существует ли отображение между поверхностями, имеющее заданные локусы складок и сборок, или решить аналогичную трёхмерную задачку — эти примеры я рассчитываю подробно разобрать в конце. Всё это написано в моей диссертации, причём даже на русском языке, но что делать в случае dim M ≠ dim N, к сожалению, пока непонятно, а значит, это самое интересное!

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Приближение слоений контактными структурами (по Элиашбергу–Торстону), часть 3 (4.12)
— Moduli of Fano varieties via K-stability (4.12)
— Регулярность субримановых геодезических (5.12)
— Многогранники Гельфанда-Цетлина, перестановки и пайп дримы (6.12)
— Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов и монодромия (6.12)

📣 Предлагается обратить внимание на доклады этой недели:

— Теория переходного состояния и времена жизни топологически защищённых магнитных структур (11.12)
— Квази-изометрии фундаментальных групп многомерных граф-многообразий (11.12)
— Rota-Baxter operators and Hopf algebras (11.12)
— Действия окружности на четырехмерных многообразиях (13.12)

В субботу (16 декабря) в 13:40 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 958-115-833 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Отображения с заданными бордмановскими особенностями — 14»
Андрей Рябичев

На прошлом докладе мы обсудили, как по послойно-инъективному морфизму касательных расслоений TM → TN строить погружение многообразий M → N (теорема Смейла — Хирша), а по послойному изоморфизму T^S M → TN — погружение M → N со складками в S (теорема Элиашберга).

Но как контролировать другие особенности гладких отображений M → N, более сложные, чем складки?

В этот раз я расскажу об аналоге векторного расслоения T^S M, в терминах которого легко обобщается теорема Элиашберга. В размерности 2 для заданных локусов складок C и сборок P в M расслоение T^{CP} M строится путём простых переклеек в окрестности C и P. Мы вычислим его харклассы и докажем необходимое и достаточное условие, при котором существует отображение поверхностей с заданными складками и сборками.

В общем случае известна стратификация множества Σ(f) критических точек общего гладкого отображения f:M→N, приходящая из естественной стратификации пространства струй J(M,N). По этой стратификации гипотетически можно понять схему переклейки, позволяющую получить f*TN из TM, но я не знаю, как понять её! Мы поговорим об этом и похожих смежных вопросах.

Для понимания доклада не требуется знакомства с предыдущей частью, состоявшейся 9 декабря (хотя и не повредит), достаточно владения простыми приёмами работы с гладкими отображениями и векторными расслоениями.

Завтра, 23 декабря (суббота), в 13:40 в 201 ауд. и в Zoom ID 958-115-833 состоится продолжение доклада «Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа»

Общеинститутский математический семинар

«Дифференциальная геометрия и алгебраическая топология нильмногообразий»
В. М. Бухштабер

28 декабря в 13:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom (ID 952 9430 1096, пароль pdmi)

Доклад посвящен замечательным башням расслоений M^{n+1} —> M^n, n>0, со слоем окружность S^1=M^1. Эти расслоения определяются нильпотентными группами полиномиальных преобразований вещественной прямой и тесно связаны с функциональным уравнением переноса.

Пространства M^n являются компактными гладкими многообразиями, которые играют важную роль в теории динамических систем, в алгебраической топологии, комплексной геометрии. Многообразие M^2 — это двумерный тор, а M^3 совпадает с знаменитым многообразием Тёрстона.

Первая часть доклада посвящена дифференциальной геометрии многообразий M^n. Описывается структура касательного расслоения к M^n и дифференциальная 2-форма, которая задаёт на M^{2n} структуру симплектического многообразия, а на M^{2n+1} структуру контактного многообразия.

Подробнее.

В предыдущих сериях:
1. Актуальные исследовательские направления в маломерной топологии
2. Графы преобразований узлов. Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты
3. [продолжение]
4. Аддитивные характеристики на группах кос. Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов
5. О феномене зрительной распознаваемости некоторых свойств узлов
6. [продолжение] Введение в теорию виртуальных узлов
7. Универсальные диаграммы узлов
8. Геометрия многообразия NIL
9. [продолжение]
10. Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений
11. [продолжение]
12. Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей
13. [продолжение]
14. Зоопарк 3-многообразий и триангуляционная сложность
15. Заузленные поверхности в R^4
16. [продолжение]
17. [продолжение]
18. Конфигурационные пространства шарнирных механизмов
19. Топография базисов и представимость целых чисел квадратичными формами
20. Новые вопросы в теории Гордиевых графов
21. [продолжение]
22. Все автоморфизмы групп крашеных кос продолжаются на моноиды струнных зацеплений
23. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (1/3)
24. Автоморфизмы групп крашеных кос и гомотопические группы сфер
25. [продолжение]
26. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (2/3)
27. Триангуляции RP^2, в направлении Тёрстона
28. Разложение Коджимы гиперболических многообразий (3/3)
29. Геометрическое разложение меандров
30. Мошенничество Мазура — Эйленберга
31. Инварианты узлов и кос из четырёхмерной топологии
32. Эквивариантные пучки, действия групп и гомологические характеристики многообразий
33. [продолжение]
34. Новые результаты о геодезическом росте групп
35. Общая точка зрения на некоторые основные понятия современной геометрии
36. О случайных блужданиях на группах
37. Новое свойство положительных узлов
38. Поведение гордиевых графов на бесконечности
39. Теория сложности трёхмерных многообразий с точки зрения специальных спайнов
40. Гамма-модули алгебр непрерывных функций ленты Мёбиуса и цилиндра
41. Числа Гурвица и пространства модулей
42. Новая симплициальная структура на группах кос
43. Группы, действующие на корневых деревьях
44. Расслоенные узлы
45. [продолжение]
46. Симплектическая геометрия
47. Контактная геометрия
48. О теоремах типа Хопфа для f-соседей
49. Когомологии де Рама алгебр полиномиальных функций на полиэдрах
50. О группах, гиперболичных по Громову
51. Крашеная операда меандров
52. Трюки для изнаночных автоморфизмов струнных зацеплений
53. Фиксационные движения глаз: расслоение Хопфа, закон Листинга, кинематика и динамика саккадических циклов
54. По-настоящему большой граф хирургий Дена
55. Узел Конвея: инструкция по доведению до ручки
56. [продолжение]
57. Группа конкордантности узлов
58. Алгебраические петли в пространствах Буземана
59. Гомеоморфизмы поверхностей, кривые и железнодорожные пути
60. Алгебраическая модель dg-алгебры Сулливана полиномиальных форм
61. Полициклические группы и поднятие геодезических слов
62. Теорема Громова о несжимаемости
63. Об аналоге альтернативы Титса для группы гомеоморфизмов окружности
64. Краткое введение в тропическую геометрию
65. Единство алгебры и геометрии
66. [продолжение]
67. Многочлен Александера — Конвея
68. Как не надо решать проблему Бернсайда
69. О Трюке Александера
70. Как построить альтернированный узел?
71. Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа (1/3)
72. Отображения с заданными бордмановскими особенностями
73. [продолжение]
74. Формулы Пуанкаре — Гуревича и Хопфа (2/3)
75. Конфигурационные пространства, группы кос и симплициальная теория гомотопий