Доклад посвящён вопросу существования групп промежуточного геодезического роста. Функцией геодезического роста группы с фиксированным порождающим множеством называется сопоставление натуральному числу n количества начинающихся в нейтральном элементе геодезических кривых длины n в соответствующем графе Кэли. Данное определение аналогично определению функции роста, которая вычисляет количество элементов группы, находящихся в графе Кэли на расстоянии n от нейтрального элемента.
В 1984 году Ростислав Григорчук построил примеры групп, рост которых быстрее любого полинома, но медленнее экспоненты, — групп промежуточного роста. При всем этом до сих пор неизвестно, существуют ли группы, имеющие промежуточный геодезический рост, так как условия на геодезический рост оказываются куда сильнее условий на рост группы. Так, например, полиномиальность геодезического роста говорит о том, что группа — виртуально нильпотентная, а её абелианизация — виртуально циклическая.
Доклад представляет собой обзор самых свежих результатов, касающихся вопросов о геодезическом росте. Также будет представлен пример группы, геодезический рост которой может оказаться промежуточным.

Напоминаем о сегодняшнем занятии. Начало в 13:40.

Ближайшее занятие семинара пройдёт в понедельник (4 апреля) в 13:40 в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 910-9727-9226 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Общая точка зрения на некоторые основные понятия современной геометрии»
Аршак Айвазьян

В докладе я дам обзор следующих понятий и связей между ними: главные G-расслоения, G-структуры, классифицирующие пространства, теории характеристических классов, обобщенные теории когомологий, спектры, бесконечнократные пространства петель, операды. Опишу классические примеры категорий G-структур (изучение которых фактически составляет основные разделы современной геометрии), обобщенных теорий когомологий и теорий характеристических классов (которые до открытия классиками общей точки зрения были известны под совершенно разными именами). Кроме того я поделюсь естественной общей точкой зрения на G-структуры и обобщенные теорий когомологий (последнее обобщение включает также ковариантные инварианты такие как гомотопические группы).
Пререквезиты: азы дифференциальной и алгебраической топологии; язык теории категорий (для понимания некоторых замечаний также необходимо быть знакомым с понятием локально-окольцованного пространства)

Напоминаем о сегодняшнем занятии. Начало в 13:40.

Ближайшее занятие семинара пройдёт в понедельник (11 апреля) в 13:40 в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 910-9727-9226 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«О случайных блужданиях на группах»
Артём Семидетнов

В докладе будет представлено введение в теорию случайных блужданий на группах без погружения в технические детали. Будет сделан акцент на граничном подходе — анализе случайных блужданий на основе их поведения на бесконечности. Предполагается знакомство с базовыми понятиями теории меры.

Напоминаем о сегодняшнем занятии. Начало в 13:40.

Ближайшее занятие семинара пройдёт в понедельник (18 апреля) в 13:40 в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 910-9727-9226 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Новое свойство положительных узлов»
Илья Алексеев

Зачастую геометрические свойства узлов и зацеплений находятся в прямом соответствии с алгебраическими свойствами их полиномиальных инвариантов (например, многочленов Александера, Конвея и других). Доклад посвящен описанию наглядного геометрического свойства, отвечающего максимальности (с точки зрения оценки Мортона — Фрэнкса — Уильямса) ширины многочлена HOMFLY-PT зацепления, представленного положительной диаграммой. Если позволит время, мы обсудим возникающие в этом направлении открытые вопросы.

Напоминаем о сегодняшнем занятии. Начало в 13:40.

Приглашаем на математическую школу «Маломерная топология», которая пройдёт в Санкт-Петербурге с 25 по 29 апреля!

С лекциями выступят:
1. А. Д. Медных (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирский государственный университет),
2. С. А. Мелихов (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН).

Расписание приведено во вложении.

Занятия школы пройдут очно в 201 аудитории на 2 этаже факультета МКН СПбГУ (14-ая линия В.О., дом 29).

Для тех, у кого нет возможности присутствовать очно, будет организована онлайн-трансляция в Zoom (пароль: эйлерова характеристика букета двух окружностей).

Напоминаем о завтрашней математической школе!

— В 9:30 пройдёт лекция А. Д. Медных «Геометрия узлов и зацеплений».

Аннотация: Геометрия узлов и зацеплений, как наука, возникла в 70-х годах прошлого века в работах английского математика Роберта Райли и американского математика Уильяма Тёрстона. Основная идея заключалась в том, чтобы на дополнении к узлу или многокомпонентному зацеплению ввести геометрическую структуру. На удивление, наиболее подходящей геометрией здесь оказалась геометрия Лобачевского. Эта же геометрия охватывает “почти все” трехмерные многообразия. За этот результат У. Тёрстон в 1983 году получил Филдсовскую премию. Однако есть еще семь геометрий, описывающих трехмерные многообразия и, в частности, расположенные в них узлы. Цель доклада — рассказать, каким образом на узлах возникает евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии. Будут приведены точные аналитические формулы для вычисления объемов возникающих при этом конических многообразий.

— В 11:20 пройдёт лекция С. А. Мелихова «Инварианты конечного порядка и топологическая изотопия» (см. описание на странице мини-курса).

Чтобы попасть на территорию факультета, требуется иметь при себе паспорт и сообщить цель визита (на вахте).

Расписание на вторник:

— В 9:30 пройдёт лекция А. Д. Медных «Теория многогранников в пространствах постоянной кривизны».

Аннотация: Будет дан исторический обзор результатов, посвященных вычислению площадей и объемов в пространствах постоянной кривизны. Будут рассмотрены неевклидовы аналоги классических формул Герона и Брахмагупты для треугольников и четырехугольников и детально обсуждены проблемы, связанные с вычислением объемов неевклидовых тетраэдров. Будут приведены формулы для объемов тетраэдров, полученные Лобачевским, Боляйи, Костером и Милнором. Основной акцент будет сделан на результаты, полученные современными авторами — Кимом и Чо, Мураками и Яно, Ушиджимой, Деревниным и Медных. Будет показано, что наличие нетривиальных симметрий на многограннике существенно упрощает получение формул для его объема.

— В 11:20 пройдёт лекция С. А. Мелихова «Гомологии Стинрода и гомологическая поверхность Зайферта» (см. описание на странице мини-курса).

Расписание на среду:

— В 9:30 пройдёт лекция А. Д. Медных «Подсчет остовных лесов и деревьев в графах».

Аннотация: Спектр оператора Лапласа связного графа на n вершинах дается последовательностью 0=λ_1<λ_2 ≤...≤λ_n. С каждым таким графом связаны три важных геометрических характеристики — это число остовных (или порождающих) деревьев t(n), число отмеченных остовных лесов f(n) и индекс Кирхгофа Kf(n). Они выражаются соответственно формулами t(n)=(1/n)λ_2λ_3...λ_n, f(n)=(1+λ_1)(1+λ_2)...(1+λ_n) и Kf(n)=n(1/λ_2+1/λ_3+...+1/λ_n). В приложениях теории графов к кристаллографии и статистической физики наиболее интересные случаи возникают при n стремящимся к бесконечности. В докладе рассматриваются графы, допускающие действие большой циклической группы автоморфизмов с малым числом орбит. Класс таких графов достаточно широк. Он включает в себя циркулянтные графы, графы Хаара, обобщенные графы Петерсена, I-, Y-, H-графы, дискретные торы и циркулянтные расслоения. В докладе будет показано, что в указанных случаях величины t(n), f(n) и Kf(n) выражаются через полиномы Чебышева первого и второго рода T_n(n)=cos(n arccos z) и U_{n-1}(n)=sin(n arccos z)/sin(arccos z). Это позволяет найти их асимптотику и исследовать арифметические свойства.

— В 11:20 пройдёт лекция С. А. Мелихова «Не всякое зацепление изотопно гладкому» (см. описание на странице мини-курса).

Расписание на четверг:

— В 9:30 пройдёт лекция А. Д. Медных «Изоспектральность графов и римановых поверхностей».

Аннотация: Классическая работа Марка Каца (1966) "Можно ли услышать форму барабана?" инициировала изучение геометрических свойств многообразий, определяемых по их спектру. В частности, Wolpert (1979) показал, что риманова поверхность общего вида определяется по ее спектру оператора Лапласа. Несмотря на это, пары изоспектральных римановых поверхностей известны для любого рода ≥ 4. См. работы Buser (1986), Brooks and Tse (1987) и другие. Существуют также примеры изоспектральных, но неизометрических поверхностей рода два и три с переменной кривизной (Barden and Hyunsuk Kang, 2012). В то же время, изоспектральные поверхности рода один (плоские торы) изометричны (Brooks, 1988). Аналогичный̆ результат для бутылок Клейна был получен Р. Исангуловым (2000). Обзор соответствующих результатов для графов можно найти в статье E.R. van Dam and W.H. Haemers (2003).
Peter Buser (1992) поставил следующую интересную проблему: будут ли две изоспектральные римановы поверхности рода два изометричны? Данная проблема для римановых поверхностей до сих открыта. Цель доклада - дать положительное решение этой̆ проблемы для графов гомологического рода два.

— В 11:20 пройдёт лекция С. А. Мелихова «Классификация 2-компонентных зацеплений относительно дельта-гомотопии» (см. описание на странице мини-курса).

Расписание на пятницу:

— В 9:30 пройдёт лекция А. Д. Медных «Детские рисунки (карты на римановых поверхностях)».

Аннотация: Детские рисунки как предмет математических исследований появились в известной программе А. Гротендика (1984), где для их изучения были намечены подходы, охватывающие теорию Галуа, теорию фуксовых групп, групп подстановок, теорию Тейхмюллера, алгебраическую геометрию и многие другие разделы современной математики. “Детский рисунок” обычно рисуется на замкнутой римановой поверхности таким образом, что его дополнение представляет собой конечный набор топологических дисков, то есть областей, гомеоморфных кругу. Это позволяет использовать теорию униформизации римановых поверхностей как один из способов описания интересующего нас объекта. Различным рисункам на поверхности отвечают различные подгруппы унифомизирующей фуксовой группы. При этом рисунки гомеоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие подгруппы сопряжены. Это позволяет свести проблему перечисления “детских рисунков” с точностью до гомеоморфизма к проблеме перечисления классов сопряженных подгрупп заданного индекса в заданной фуксовой группе. Обе проблемы были решены автором и его коллегами. Для нахождения явных формул для числа рисунков был использован метод интегральных представлений красноярского математика Г. П. Егорычева.

— В 11:20 пройдёт лекция С. А. Мелихова «Брунновы сингулярные зацепления в 4-сфере и дельта-гомотопия 3-компонентных зацеплений» (см. описание на странице мини-курса).

Ближайшее занятие семинара пройдёт в понедельник (2 мая) в 13:40:

«Поведение гордиевых графов на бесконечности»
Алексей Миллер

Доклад посвящён решению задачи о вычислении количества концов гордиева графа преобразования "переключение перекрестка", поставленной Жан-Марком Гамбоду и Этьеном Жисом в 2005 году. Мы обсудим предпосылки к исследованию поведения графов на бесконечности, место этой задачи в теории преобразований узлов и различные вариации её постановки, после чего приведем рассуждение, позволяющее описать концы не только гордиева графа "переключения перекрестка", но и графа произвольного рационального преобразования. Кроме того, мы кратко обозрим теорию рациональных тенглов, теорию разветвленных накрывающих пространств и их гомологии, перестройки трёхмерных многообразий и различные связанные результаты о гордиевых графах. Наконец, предполагается обсудить некоторые дальнейшие гипотезы о количествах концов и других глобальных инвариантах гордиевых графов, а также презентовать открытые задачи.

Сегодняшнее занятие пройдёт в 14:30 в ПОМИ (наб. реки Фонтанки, 27) и в Zoom канале ID 910-9727-9226 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev)