Канал для организационных сообщений «Студенческого семинара по маломерной топологии».‎

Организаторы семинара стремятся объединить людей, интересующихся теми или иными аспектами маломерной топологии. Одной из основных целей семинара является проведение обсуждений захватывающих участников исследовательских направлений, за которыми следуют полеты фантазий, приводящие как к генерации конкретных задач, так и к их решениям. В понимании организаторов семинара, маломерная топология включает в себя такие аспекты теории поверхностей, теории трёхмерных многообразий и теории узлов, как: меры сложности, геометрические и комбинаторные структуры, тёрстоновская классификация, полиномиальные инварианты и инварианты конечного порядка, хирургии, разветвлённые накрытия, конфигурационные пространства, группы классов отображений и другие. Хотелось бы организовать не столько обзорный семинар, сколько занятия, на которых все желающие, которым интересны исследовательские направления, касающиеся предлагаемых выше тем, могли бы ознакомиться с контекстом и присоединиться к актуальным исследованиям.

Видеозаписи заседаний:
https://www.youtube.com/channel/UCCm4sLiS3LKI4jwSHCeo4vA/videos.
Google группа семинара:
https://groups.google.com/g/ldt_eimi.
Стенограмма заседаний:
https://drive.google.com/file/d/1yLGRE_bwgA509E4PwJn9kyT-YH1kOCOt/view?usp=sharing.
Сборник исследовательских направлений семинара:
https://bit.ly/LDT_EIMI_Research_Projects.

Первое занятие пройдёт в понедельник, 5 октября, с 17:10 по 18:40, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Будут обсуждаться исследовательские задачи, предложенные участниками семинара.

https://youtu.be/1-jbAp7c2Uk

Второе занятие пройдёт в субботу, 10 октября, с 15:25 по 16:55, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Миллер
Графы преобразований узлов
Будут описаны основы теории Гордиевых графов преобразований узлов. Особое внимание будет уделено локальным преобразованиям. В качестве демонстрации будет показано, как инвариантность количества правильных раскрасок диаграмм в три цвета применима для доказательства несвязности тех или иных Гордиевых графов.

Александр Захаров
Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты
Будет описана связь между теорией узлов и интегральной геометрией. Отправной точкой рассказа является Теорема Фари-Милнора. Будет рассмотрено несколько инвариантов узлов, определяемых в терминах интегрирования разных величин по кривым-представителям данного узла. Один из таких инвариантов («число мостов») был введён Милнором под названием «crookedness»‎. Другой пример известен под именем «‎индекс косы»‎. Оба инварианта допускают эквивалентные определения в элементарных комбинаторных терминах. В докладе будет описана серия новых инвариантов, обобщающих первый и второй. Одной из основных задач исследования является доказательство или опровержение аддитивности (относительно связного суммирования узлов) инвариантов из этой серии. Аддитивность числа мостов и индекса косы хорошо известна. Ожидается, что с помощью нового взгляда на эти инварианты удастся получить элементарное доказательство аддитивности индекса косы.

https://youtu.be/KoUrOHCQNJU

Третье занятие пройдёт в субботу, 17 октября, с 15:25 по 16:55, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

https://youtu.be/9GCOBYvRC28

Четвёртое занятие пройдёт в субботу, 24 октября, с 15:25 по 16:55, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Миллер
Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов
Будут обсуждаться предложения по исследовательским направлениям, связанным с Гордиевыми графами преобразований.

https://youtu.be/i3cDNP0zZKU

Пятое занятие пройдёт в понедельник, 2 ноября, с 17:00 по 19:00, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Будет рассказано о феномене в теории узлов, который заключается в том, что некоторые зрительно распознаваемые свойства диаграмм гарантируют наличие тех или иных топологических и геометрических свойств соответствующих узлов и зацеплений. Особое внимание будет уделено свойству минимальности (по количеству перекрёстков) диаграмм. В частности, мы обсудим (доказанные) гипотезы Тейта об альтернированных узлах, перспективу обобщения соответствующих результатов на однородные узлы и зацепления, а также результаты, представленные в работе https://arxiv.org/abs/2012.04330.

https://youtu.be/vb2eT4RRxg0

Шестое занятие пройдёт в субботу, 7 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Ильнур Байбулов
Введение в теорию виртуальных узлов
Будет описано соответствие между диаграмматическим представлением виртуальных узлов и классами эквивалентности вложенных в утолщённые поверхности классических узлов.

https://youtu.be/CTjdgs_4d8w

Седьмое занятие пройдёт в понедельник, 16 ноября, с 17:00 по 19:00, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Кривовичев
Универсальные диаграммы узлов
Будет описан результат, представленный в работе [S. Yamada, The minimal number of Seifert circles equals the braid index of link, Invent. Math. 891 (1987), 347–356]. Кроме того, будут предложены открытые вопросы, связанные с этим результатом.

https://youtu.be/5r2hk80NI8g

Восьмое занятие пройдёт в субботу, 21 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Руслан Магдиев
Геометрия многообразия NIL
Будет рассказано об одном из восьми односвязных трёхмерных римановых многообразий, входящих в список идеальных геометрий, которые фигурируют в геометризационной гипотезе Тёрстона, доказанной Перельманом. Вышеупомянутое риманово многообразие гомеоморфно трёхмерному евклидовому пространству и наделяется структурой группы Ли, называемой (непрерывной) группой Гейзенберга.

https://youtu.be/uWAMmPCCmgw

Девятое занятие пройдёт в субботу, 28 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Руслан Магдиев
Геометрия многообразия NIL
Будет продолжен рассказ о геометрии трёхмерного NIL многообразия. В частности, будут обсуждаться физика света и формы геометрических фигур.

https://youtu.be/x_Ukk0l6FLY

Десятое занятие пройдёт в субботу, 5 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Дарья Аксенова
Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений
Будет рассказано о моноидах (крашеных) струнных зацеплений SL_n, которые содержат в качестве подгрупп группы крашеных кос PB_n, и о новых автоморфизмах θ_n моноидов SL_n. Определение автоморфизмов θ_n носит топологический характер. Ограничения θ_n на группы PB_n могут быть заданы на стандартных образующих этих групп явными формулами. В частности, будут обсуждаться исследовательские вопросы, связанные с этими автоморфизмами.

https://youtu.be/Os2fjfGCQMM

Одиннадцатое занятие пройдёт в субботу, 12 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

https://youtu.be/zJUbzIq4vbc

Двенадцатое занятие пройдёт в субботу, 19 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Илья Алексеев
Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей
На занятии будет рассказано о топологии полиномиальных отображений комплексной плоскости. Мы научимся сопоставлять каждому многочлену древовидную картинку на плоскости, которая отражает его топологические свойства. Каждому многочлену степени N мы сопоставим подгруппу в группе кос Артина с N нитями, которая называется его группой косовских монодромий. Её образ в симметрической группе изоморфен группе монодромий — одному из центральных объектов топологической теории Галуа. Будет сформулировано несколько нерешённых задач. Кроме того, будет приведено элементарное доказательство того, что если количество различных критических значений многочлена на единицу меньше его степени, то группа косовских монодромий такого многочлена совпадает со всей группой кос (см. https://arxiv.org/abs/2008.05187 для доказательства этого факта с использованием алгебро-геометрического подхода).

https://youtu.be/uZ9vwVh8BiM