🫶 Беды с (неопределённым) интегрированием 🫶 [Ан∂рей]
(Запись @lav_math_bot)

Всем привет! Начинаю набор в небольшую группу, в которой мы в течение 2 недель с нуля (предполагается только знание производных) будем разбираться с интегральным исчислением. 😳

8 уроков запланировано на 21, 22, 23, 25, 27 февраля и 1, 2, 4 марта 20:00-21:00.

🟠 Первообразная и интеграл
🟠 Простейшие интегралы
🟠 Замены и подстановки
🟠 Интегрирование по частям
🟠 Сведение интеграла к себе
🟠 Вывод формул понижения
🟠 Интегрирование дробно-рациональных функций
🟠 Метод Остроградского
🟠 Интегрирование некоторых иррациональностей (в том числе большой разговор про квадратичные иррациональности)
🟠 Теорема Чебышева о дифференциальном биноме
🟠 Подстановки Эйлера
🟠 Тригонометрические интегралы (R-правило, универсальная тригонометрическая подстановка, особые методы)

Дополнительно будем разбирать приёмы, позволяющие ускорить нахождение интегралов. Посмотрим и задачи повышенной трудности. По ходу курса будем разбирать и ваши задачи, которые вызовут трудности на парах в универе!

📀 Видеозаписи, конспекты, домашние задания будут доступны только в закрытой беседе для участников и после завершения курса. Можно будет вернуться к повторному прохождению на сессии!

⚡️ Запись @lav_math_bot по кнопке "🔥 Интенсивы". Все вопросы @lav_100k.

P.S. По сравнению с прошлым годом было решено уменьшить продолжительность одного урока, но увеличить количество уроков так, что суммарное время будет больше! А то в том году к концу второго часа уже мало кто понимал!)))

👏 Про то, как ОМП упрощает принятие решений и увеличивает эффективность [1/3] 👏 [Ан∂рей]

Оценка максимального правдоподобия (ОМП) — оценка параметра, максимизирующая вероятность реализации имеющейся выборки.

Например, у нас есть монетка со смещённым центром тяжести. Мы не знаем, с какой вероятностью выпадает орёл/решка. Обозначим p = P(Орёл), тогда P(Решка) = 1 - p.
Мы подкинули монетку 6 раз, выпало: О, Р, О, Р, Р, Р. Давайте оценим параметр p с помощью метода максимального правдоподобия (хотя тут интуитивно понятно, что 4/6 = 2/3, сейчас увидим это более строго).

Мы считаем броски X независимыми, поэтому
L(X, p) = P(X1 = O, X2 = P, X3 =О, X3 = Р, X4 = P, X5 = P) = p⁴ (1 - p)².
Максимизируем функцию правдоподобия L по p. Прологарифмируем:
l(X, p) = ln L(X, p) = 4*ln(p) + 2*ln(1 - p).
Дифференцируем по р и приравниваем к нулю:
dl(X, p)/dp = 4/p - 2/(1 - p) = (4 - 6p)/(p(1 - p)) = 0.
4 - 6p = 0.
p = 2/3.

Таким образом ОМП параметра p при данной выборке есть 2/3. 😎

Как я писал выше в скобках, это очевидно: поделили число орлов на все броски. Дело всё в том, что самое первое, о чём мы думаем, когда сталкиваемся с какими-то наблюдениями — выводы, основанные на ОМП (и об этом мы будем говорить дальше).

Но что, если ситуация станет сложнее? Когда про модель уже получена некоторая информация (что-то заведомо происходит чаще), интуитивно угадать значение параметра уже не получится. 😈

#Контент #Мысли

👏 Про то, как ОМП упрощает принятие решений и увеличивает эффективность [2/3] 👏 [Ан∂рей]

Почему метод максимального правдоподобия, описанный в посте выше, является естественным способом оценить параметр? 🥹

Если у нас уже есть реализация некоторой выборки X1, X2, ..., Xn, то резонно предположить, раз уж данная реализация произошла, то и вероятность у этого должна быть наибольшей в сравнении с другими возможными реализациями.

Например, если в коробке лежит 100 шариков, а мы достали случайные 99 шариков и все они оказались белые.

Последний шарик может быть белым, тогда получается, что в коробке все шарики белые, а вероятность того, что мы смогли достать 99 белых просто равняется 1.

Если же мы предположим, что последний шарик не белый, то вероятность того, что мы достали 99 белых шаров равна 0,01.

Конечно, более правдоподобно выглядит первый сценарий. В этом и заключается метод максимального правдоподобия.

Далее поговорим о рисках, эффективности и применимости в жизни. 😈

#Контент #Мысли

👏 Про то, как ОМП упрощает принятие решений и увеличивает эффективность [3/3] 👏 [Ан∂рей]

При некоторых предположениях (на практике они зачастую выполнены) ОМП является эффективной (R-эффективной, асимптотически нормальной) в том смысле, что минимизирует риск (квадратический риск, а для несмещённой оценки — дисперсия, то есть мера разброса).

Один мой хороший знакомый, который уже давно ведёт статистику у студентов и работает статистиком в лаборатории, говорит, мол, всё в нашей жизни так или иначе сводится к ОМП. И в этом есть своя философия. 🧘‍♀️

И для развития канала использую ОМП. Года два назад передо мной стоял выбор: сделать канал открытым или закрытым. Я долго думал, анализировал, выписывал плюсы и минусы (например, в закрытом канале больше вовлечённость, меньше отписок, но с другой стороны на него не так охотно подписываются, и т.д.). Сложный анализ с попыткой предугадать мысли мало к чему привёл. В итоге. Один месяц канал был открыт, в другой — закрыт. Сравнил результаты, тот, что лучше себя проявил закрытый, его и оставил (ОМП!). И далее заметил, что охваты увеличились. Спустя время вновь протестировал, ситуация изменилась, без взвешивания за и против просто открыл канал. (Думаю, для тех, кто работает в сфере анализа данных, это всё очевидные вещи!)

Почему так? И какие из плюсом/минусов победили я не знаю (да и не всё нужно анализировать). Но факт остаётся фактом: ОМП является путеводной звездой на пути принятия многочисленных решений в этом постоянно меняющемся мире! ⭐️

#Контент #Мысли

Напоминаю, что уже в пятницу начинаются занятия по интегральному исчислению! Ещё есть возможность присоединиться 🤓

#Учёба

🙃 Про чтение книг с середины 🙃 [Ан∂рей]

Довольно часто при решении задач удаётся найти что-то похожее в книгах (это может быть теорема, замечание, пример или просто небольшой комментарий). Становится ясно, что если разобрать небольшой кусок теории из этого источника, то можно решить свою проблему по аналогии. Вот только есть одно но... Это второй том, страница 654. И ни один из терминов в окрестности найденного места не понятен. 😪

В таких случаях я стараюсь работать по следующему алгоритму:
🟠. Читаю до первого незнакомого слова.
🟠. Через ctrl + F (или предметный указатель) нахожу его определение в этой же книге. Дополнительно использую интернет. Перехожу к пункту 1 в окрестности этого термина, если понять не удалось. Если удалось, возвращаюсь к чтению предыдущего отрывка. И вновь пункт 1.

Бывает, что в глубину уходишь на 3-4 уровня. Там и тонешь. В такие моменты я откладываю книгу. Спустя время вновь начинаю с самого начала.

Времени уходит много. На решение последней проблемы, над которой я думал подобным образом, ушло порядка двух месяцев (2-3 попытки понять в неделю). 🤬

В конце концов привыкаешь к языку, начинаешь понимать. И даже кажется, как это всё можно было обдумывать так долго?

Метод не подходит для фундаментального понимания темы, он направлен исключительно на задачу. Ведь откуда нам знать на старте, какая из сотни книг с подобными отрывками может помочь? Однако после успеха, данный приём помогает понять, по какому источнику стоит написать обстоятельный конспект, чтобы закрыть все вопросы!

#Мысли

🐉 Фокус и почему он так называется [1/4] 🐉[На∂я]

При построении фазового портрета выделяют четыре вида особых точек: седло, узел, фокус и центр. В серии постов я расскажу, почему каждая особая точка так названа. Все объяснения являются моей выдумкой. Эти ассоциации помогали мне не один раз, возможно, помогут и вам.

Траектории вокруг фокуса совершают бесконечное число оборотов. Фокусы бывают двух видов: устойчивые и неустойчивые. Если говорить об устойчивом, то траектории, которые являются спиралями, закручиваются к нему.  А если про неустойчивый, то от него. Но важно лишь то, что вокруг фокуса сосредоточено бесконечно много спиралей. И, как мне кажется, в этом всё дело. 😉

С латинского focus переводится как очаг. В моём понимании, очаг — это место, в котором всё началось, в случае дифференциальных уравнений, началось движение системы.

Безусловно, очаг ассоциируется с огнём. И если посмотреть на фокус во время изображения фазового портрета, то можно увидеть как будто костёр (вид сверху), где вершиной огня и является особая точка.

Если у вас тоже есть идеи, почему фокус — это фокус, то жду в комментариях. 🧡

#Контент

🐎 Седло и почему оно так называется [2/4] 🐎 [На∂я]

Сначала мне бы хотелось немного рассказать, откуда вообще появилась такая идея. Когда я училась на третьем курсе, нам читался спецкурс, где как раз и рассказали классификацию Пуанкаре. Да, это удивительно, так как обычно данную тему рассказывают в общем курсе дифференциальных уравнений. И именно на этом спецкурсе преподаватель фантазировал, что именно видел Пуанкаре, когда давал название особым точкам. Только преподаватель объяснил лишь одну точку, а мне захотелось придумать объяснение и для всех остальных точек.

Итак, почему же седло — это седло? Давайте представим седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз. Кстати говоря, исторически термин «седловая поверхность» появился именно из-за формы этого предмета. А теперь, если мы посмотрим на линии уровня седловой поверхности, то они будут напоминать траектории седла как особой точки. Думаю, из-за этого факта данная особая точка и получила своё название. 🌈

P.S (интересный факт). Оказывается, что в математике есть такой объект, как обезьянье седло. Название этой поверхности объясняется тем, что седло для обезьяны требует трёх углублений: двух для ног и одного для хвоста.

#Контент

💫 Узел и почему он так называется [3/4] 💫 [На∂я]

Начнём с того, что построение фазового портрета зависит от типа узла, а именно является ли он невырожденным, дикритическим или вырожденным. Последние два случая встречаются реже, чем первый, поэтому поговорим о невырожденном узле.

Как выглядит такой узел? Есть две прямых (более формально, два собственных вектора), которые отвечают за слабое и сильное направления. К слабому направлению траектории стремятся при возрастании времени. Представляете, какая мнемоническая невязка. Я до сих пор иногда путаюсь в названиях направлений. 🫣 Траектории узла напоминают ветви парабол.

Теперь давайте попробуем мысленно потянуть за парочку траекторий сверху и снизу. Вообразили? В особой точке как раз и получится «узелок».

Таким образом, нам останется с вами обсудить последнюю особую точку — центр. 👍

#Контент

🪐 Центр и почему он так называется [4/4] 🪐[На∂я]

Последняя особая точка, о которой мы поговорим в этой серии постов — центр. По своему опыту могу сказать, что эта особая точка встречается реже других.

Изображение центра на фазовом портрете напоминает карту локальной местности, где отмечены линии уровня — высоты данной территории. Стоит отметить, что чаще всего эти линии являются замкнутыми. В центре карты находится пик какой-либо вершины или же дно оврага.

Особая точка типа «центр» характеризуется тем, что вокруг неё располагаются замкнутые траектории. Я бы предположила, что название связано именно с этим свойством, образно говоря, особая точка находится в центре траекторий. 🌠

#Контент

💐 Всех девушек поздравляем с 8 марта! 💐

Желаем всего самого доброго, счастья и здоровья. Математических и не только математических достижений! 🥺

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [1/2] ↩️ [Ан∂рей]

Последнее время у меня много уроков именно по дифференциальным уравнениям. С кем-то разбираем темы второй половины курса, а с кем-то готовимся к пересдаче первой.

Филиппова уже нарешали до дыр, нужно составлять свои ДУ для домашек и уроков. В этом посте расскажу некоторые приёмы, которые использую.

🟠. Уравнение с разделяющимися переменными. Придумываем

f(y) dy = g(x) dx

так, чтобы оба интеграла брались. Далее преобразовываем, чтобы разделение переменных не было столь очевидно.

🟠. Замены. Придумаем простенький дифур с разделяющимися переменными по типу

z' = cos(z),

а теперь делаем подстановку, например,

z = x + y + 1,

получаем

1 + y' = cos(x+y+1).

🟠. Уравнение в полных дифференциалах. Придумываем симпатичную функцию u(x, y) и считаем дифференциал. Задача готова:

du(x, y) = 0.

🟠. Интегрирующий множитель по x. Придумываем УПД и умножаем его на f(x). Можно сделать это красиво, например,

u = arctan(x) + x²y.

При нахождении дифференциала появится знаменатель

f(x) = 1+x².

Умножаем на него. И готово уравнение

(1+x²) du = 0,

где можно найти интегрирующий множитель.

🟠. Квазиоднородное. Составляем УПД или ДУ с разделяющимися переменными, далее делаем подстановку

y^b = z x^a.

🟠. Для линейного уравнения начинаем с разделяющихся переменных y' + p(x)y = 0. Далее берём некоторую f(x) и кладём

q(x) = f '(x) + p(x) f(x).

Получаем ДУ

y' + p(x) y = q(x).

🟠. Уравнение Бернулли легко сводится к линейному. При составлении нужно помнить, что после замены появится константа при производной. Её можно сразу скомпенсировать при составлении, чтобы всё свелось к нужному линейному ДУ.

🟠. Уравнение Риккати. Составляем уравнение Бернулли

z' + p(x) z = q(x) z².

После чего выполняем подстановку

z = y - f(x)

и упрощаем. Получается уравнение Риккати с частным решением f(x).

Продолжение следует...

#Контент #Вышмат

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [2/2] ↩️ [Ан∂рей]

🟠. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристический многочлен под ответ, раскрываем скобки и записываем соответствующее ДУ.

🟠🟠. ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу

Ly = 0,

где L — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Теперь, чтобы g(x) было частным решением, кладём

f(x) = Lg(x).

Задача готова:

Ly = f(x).

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами для решения по формуле Остроградского-Лиувилля или подбора частного решения и понижения порядка.
Если мы хотим увидеть ответ в задаче

y = C_1 f(x) + C_2 g(x),

где f, g — фундаментальная система решений, то ДУ будет

W(f, g, y) = 0,

где W — вронскиан, то есть определитель

                   | f   g   y |
W(f, g, y) = | f'  g'  y' |.
                  | f" g" y" |

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу. Если мы хотим частное решение h(x), то ДУ будет иметь вид

W(f, g, y) = W(f, g, h).

🟠🟠. Составление систем с постоянными коэффициентами начинается с построения нужной ЖНФ J. После чего берём матрицу C того же порядка с единичным определителем и

A = CJC^(-1).

Наша система готова

AX(t) = f(t),

где, как обычно, f(t) = Ag(t), g(t) — желаемое частное решение.

#Контент #Вышмат

🙂 Про проверку 🙂 [Ан∂рей]

Отдельным важным навыком при решении задач является проверка. В этом посте расскажу, чем пользуюсь сам:

🟠. WolframAlpha. Мощный калькулятор, впечатляющий своими возможностями. С помощью него можно быстро делать преобразования, проверять вычисления, решать уравнения, находить интегралы и так далее.

🟠. Desmos и Desmos3d. Про этот графический калькулятор говорить можно очень долго. Например, проверка интеграла с параметром. Вводим
f(x) = int g(x, y) dy, где x — параметр. И вот, мы уже видим график f(x). Можно сверить с нашим ответом.

🟠. Матричный калькулятор. Например, хотим проверить, правильно ли мы нашли жорданов базис, вбиваем ЖНФ в матрицу А, векторы базиса в матрицу В. И если вычисление BAB^(-1) даёт исходную матрицу, значит, всё хорошо.

🟠. Размерность. Переменным удобно присваивать размерности. Например, вычислили интеграл x²dx от 0 до a. Если считать, что x и a измеряются в метрах, то уже видно, что ответ должен быть в кубических метрах.

🟠. Симметричность и чётность. Если в постановке задачи параметры a и b взаимозаменяемые, то есть при замене (a, b) |-> (b, a) задача останется такой же, то и в ответ a, b должны входить таким же образом.

#Контент #Вышмат

🤯 Олимпиадная математика 🤯 [Ан∂рей]

В связи с повышенным спросом на олимпиады (ШАД, ЯПрофессионал, университетские) собираю маленькую группу для подготовки.

Формат:
🟠 Группа ровно 5 человек.
🟠 2-4 часа в неделю урок в удобное для всех время.
🟠 Домашнее задание индивидуальное и командное.
🟠 Уроки будут проходить с начала апреля до конца мая (как минимум).
🟠 Промежуточный контроль.

Требования:
🟠 Настрой на работу, наличие времени на решение задач.
🟠 2+ курс технического направления.
🟠 Умение решать базовые задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, комбинаторике.
🟠 Владение любым языком программирования (некоторые из задач предстоит проверять с помощью написания соответствующих программ. Например, найти число целых неотрицательных решений уравнения x + 2y + 3z = 2025).

Темы:
🟠 Линейная алгебра (сразу жорданова нормальная форма, работа с собственными числами и векторами, вычисление функций от матриц).
🟠 Комбинаторная теория вероятностей.
🟠 Случайные величины.
🟠 Цепи Маркова.
🟠 Специальные функции (гамма-, бета-), вычисление интегралов с параметрами.
🟠 Преобразование Фурье.
🟠 Экстремальные задачи (задачи математического программирования, вариационные задачи).
🟠 Теория чисел.
🟠 Разбор олимпиад.

⚠️ Стоимость уточняется. Запись только в ЛС @lav_100k.
1) Имя.
2) Место учёбы, работы. Пару слов о себе.
3) Уровень линала и матана.
4) Языки программирования, которыми владеете.

#Учёба #Вышмат #Математика

Друзья, пост выше ещё актуален! 🙂

🙂 Ещё про олимпиады [1/2]🙂 [Ан∂рей]

Думаю, что уже на ближайших выходных начинаем подготовку к олимпиадам (ещё 2 места есть, пишите в ЛС). ⚡️

Ни разу не рассказывал на канале про олимпиады, про свой путь в них.

🟠. В школе дальше региона по математике, химии и физике пройти не удавалось. Ни в какие кружки не ходил. Олимпиадная математика скорее казалась мне мероприятием для избранных. Смотришь решение: "А как до этого можно было додуматься?" (для работяг-студентов это уже обыденность, про это будет ниже...).

🟠. На 1-2 курсе было не до олимпиад. Там надо было как-то закрывать "олимпиадные" контрольные, зачёты, экзамены. Однако матфак сильно меняет представление о том, что происходило в школе. То самое чувство, когда неравенство КБШ или Коши о средних уже не про олимпиаду, а билет №100500 в очередном экзамене, за незнание которого автоматом неуд. Я впервые задумался, что важно в первую очередь то, "что ты можешь и что не можешь", что ты знаешь и что не знаешь. Узнал, что математические олимпиады — это тоже спорт.

🟠. На старших курсах я преподавал олимпиадную математику у детей (5-9 класс). Оказалось, что многие задачи не такие уж и хитрые, если уже заботал добрый кусок алгебры, анализа, комбинаторики, дискретки.

На 5 курсе впервые пробовал участвовать в ЯПрофессионале (по приколу). Про это были посты (https://t.me/lav_math/256, https://t.me/lav_math/278). Оказалось, что написать на 90/100 отборочный этап возможно (для закла нужно хотя бы 30-40, уже проходишь). И это перевернуло для меня представление об олимпиадах с головы на ноги!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

🙂 Ещё про олимпиады [2/2]🙂 [Ан∂рей]

🟠. Последние два года сам уже не участвовал в ЯПрофессионале (аспирантам нет доступа), однако были ученики, которых готовил к олимпиадам и собеседованиям. Как вы хорошо знаете, одной из центральных тем подобных мероприятий является теория вероятностей (с элементами комбинаторики и с использованием инструментов математического анализа). Именно поэтому самое время для ссылок на два курса по теорверу от CSC:
https://stepik.org/course/3089,
https://stepik.org/course/57281.

Сейчас уже взгляд на задачи стал совсем другой: есть проблема — её надо решить. А уж сколько книг придётся для этого открыть, сколько сделать неудачных попыток — другой вопрос. Рано или поздно удастся подобрать ключ, а наградой будут приобретённые знания!

↩️ И пост про мой путь в теорвере прикрепил цитатой.

P.S. Ещё 1 место на олимпиадную математику есть!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [1/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Представим, что мы наблюдаем линейную зависимость y = k*x+ b, однако параматры k, b нам неизвестны, а все точки, которые мы можем взять с этой прямой, будут с погрешностью. То есть имеем

Y_i = k*X_i + b + epsilon_i,

Где i меняется от 1 до n, epsilon_i независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним, (X_i, Y_i) наша двумерная выборка.

Данная модель называется линейной регрессией. Для нахождения оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК): находятся такие k, b, при который значение суммы квадратов ошибок

F(k, b) = summ (Y_i - k*X_i - b)² по i от 1 до n

минимальна.

Данная оптимизационная задача может быть решена с помощью нахождения экстремума функции нескольких переменных или с помощью нетрудных соображений из линейной алгебры.

Пример: https://www.desmos.com/calculator/s8qqosl99l. 😳

Красные точки — выборка, чёрная прямая построена по с помощью МНК.

#Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [2/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Метод наименьших квадратов может быть использован для решения переопределённых систем. Например, рассмотрим систему

x + y = 4,
3x - 2y = 2,
- x + 2y = -8.

Нетрудно понять, что решений у данной системы нет. Но давайте представим, что эти уравнения получены в результате некоторых измерений. И мы знаем, что согласно теоретическим расчётам существует единственное решение, которое нам не удаётся найти из-за погрешностей, возникших при измерениях.

Составляя модель линейной регрессии (считаем, что x,y — параметры, которые нам нужно найти), можем найти оценку (x,y) методом наименьших квадратов. Её и возьмём за решение. Пропуская вычисления, получаем (x,y) = (1,-1).

Проект в Desmos: https://www.desmos.com/calculator/mjultl1xfr.

Геометрически это означает следующее: мы нашли такую точку плоскости, что сумма квадратов расстояний до сторон треугольника, образованного прямыми из системы, наименьшая. 🙃

Если бы система оказалась совместной, то МНК давало бы в точности решение. Попробуйте поиграть с параметрами в Desmos, получается очень интересно! 🔥

#Вышмат #Математика #Контент