🤔 Парадокс Рассела 🤔 [На∂я]

Назовём множество обычным в том случае, если оно не является элементом самого себя.

Необычным множеством назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств.

А теперь давайте попробуем рассмотреть множество всех обычных множеств, которое имеет название расселовское, и ответить на вопрос, является ли оно обычным. Здесь как раз и возникает парадокс, есть два варианта:

🟠. Предположим, что расселовское множество является обычным. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех обычных множеств. Но в то же время, оно не может быть обычным, так как включает самого себя.

🟠. Предположим, что расселовское множество является необычным. Так как по определению это множество должно состоять только из обычных множеств, то оно не может включать себя в качестве элемента. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это обычное множество.

В обоих случаях получили противоречие. В завершение поста приведём забавную бытовую формулировку этого парадокса:

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя? ❓

#Контент #Вышмат #Математика

Сегодня успешно прошёл первый урок дифференциального исчисления. Разбирали определение и находили производные по определению! 🙂

Напоминаю, что в боте @lav_math_bot есть шпаргалки по замечательным пределам и производным! 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

⭐️ Обобщённая формула Пика ⭐️ [На∂я]

Для вычисления площади многоугольника с целочисленными вершинами применяют в основном два способа.

🟠. Можно достраивать или наоборот разбивать на более простые фигуры, считать их площади, а затем с помощью арифметических действий получить площадь исходного многоугольника.

🟠. Использовать формулу Пика:

S = В + Г/2 - 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Оказывается, у формулы Пика существует обобщение. С её помощью можно вычислить площадь многоугольника с «дырками»:

S = В + Г/2 + Д - 1,

где В и Г — количество целочисленных точек внутри и на границе многоугольника соотвественно, а Д – количество многоугольников внутри. ⭐️

Доказывается данная формула по индукции по количеству вершин многоугольника. Сначала (по обычной формуле Пика) рассчитывается площадь многоугольника без "дырок". Затем находятся площади "дырок" (по всё той же стандартной формуле Пика). Используя полученные результаты, остаётся лишь показать, что индукционный переход выполнен.

P.S. Чтобы было легче понять, как работает формула, обратите внимание на картинку.

#Контент #Математика #Вышмат

🤯 Как всё успеть? 🤯  [Ан∂рей]

Начался последний месяц в этом году. Объём информации продолжает расти. А из-за переписывания контрольных начинает ощущаться сильное отставание по лекциям. Что делать?

🟠. Грамотно расставить приоритеты. Экзамены будут в январе (в большинстве университетов), а зачёты уже через пару недель. Стоит уделить особое внимание практикам, чтобы она была закрыта.

Не думайте о переносе долгов на доп. сессию. Это ловушка. Начнётся новый семестр, где объём новой информации будет ещё больше, а сложность выше. Пересдачи будут тянуть назад. Цель — закрыть всё по максимуму сразу.

🟠. Учить определения и формулировки. Это не так трудно. Каждый день повторять всё основное без доказательств. Данная процедура позволит привыкнуть к языку. И в будущем доказательства будет проще понять.

🟠. Не думать о переводе, академе. Готовиться и сдавать нужно так, будто не будет отходных путей. Переводиться с долгами тяжелее, может не получиться. Тогда тяжелым грузом лягут пересдачи.

🟠. Просто делать. Хотя бы маленький шаг, но постоянно. Старание и трудолюбие будут оценены по заслугам! А понимание происходящего придёт чуть позже. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

↩️ Фигуры Лиссажу ↩️ [На∂я]

Фигуры Лиссажу — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Давайте представим такую ситуацию: вы находитесь на даче, где к тополю привязали покрышку на канате, и теперь это любимое место всех детей. Пусть сбоку эту покрышку раскачивает один человек, а сзади — другой. В итоге получается, что движение осуществляется в двух направлениях «вперёд-назад» и «вправо-влево». Если бы мы могли наблюдать долгое время за тенью, то увидели бы фигуру Лиссажу (в идеальных условиях). 

⚡️Зависимость координат x и y от времени t описывается системой:

{ x(t) = A * sin (at + δ),
  y(t) = B * sin (bt) },

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Вид траектории очень зависит от соотношения между a и b. Если a/b — рациональное число, то фигура Лиссажу будет замкнутой.

Посмотреть на красивые картинки и поиграться с параметрами можно в калькуляторе Desmos по ссылке. 🙂

#Контент #Математика #Вышмат

🤔Подготовка к зачёту🤔 [Ан∂рей]

Поговорим чуть более подробно про подготовку к зачёту. В большинстве университетов он представляет из себя переписывание всех контрольных, которые не получились за семестр (у кого-то это работа целиком, а у кого-то лишь некоторые задачки). 🫠

🟠. До начала зачётной недели нужно постараться закрыть максимальное число задач. Возможно, в первую очередь простые. Ведь 7 простых из 10 задач звучит солиднее, чем 3 сложных из 10 задач.

🟠. Узнать, что требуется сделать. Зачёт в первую очередь нужен студенту, поэтому наша задача узнать у преподавателя, какие есть долги, как их отработать. Стремление получить зачёт будет замечено.

🟠. Жёстко ботать. Когда план намечен, а всё, что было легко, уже сдано, нужно готовиться. Не стоит надеяться на халяву, руку на задачах стоит набить. Нет ничего приятнее, чем получить задачи и по одному виду понять, что их уже умеешь решать. 🧡

#Контент #Мысли #Учёба

🦊 Немного о жизни 🦊 [Ан∂рей]

В последнее время веду достаточно много уроков по различным дисциплинам. Особенно порадовало, что было много уроков по векторному анализу и теории поля.

Когда учился на втором-третьем курсе, кратные, поверхностные интегралы и элементы теории поля выпали на дистанционку. Приходилось разбираться самостоятельно. Оставалось много пробелов.

Спустя 4 года удалось хорошо разобраться, увидеть в этом красоту.

Многие темы во время учёбы приходится откладывать на неопределённый срок. Нет ничего приятнее, чем во всём разобраться! 🫶

Из новых дисциплин, по которым теперь веду уроки:
🟠Аналитическая теория чисел
🟠Теория графов
🟠Исследование операций (экстремальные задачи, оптимизация, математическое программирование)

Много работы, поэтому посты стал писать чуть реже, но сейчас возобновляю это дело. Ведь сессия — время подводить итоги. 👨‍💻

P.S. Если нужна помощь при подготовке к зачётам и экзаменам, лучше писать заранее @lav_100k.

#Жизнь #Контент #Вышмат #Математика

☠️ Про долги ☠️ [Ан∂рей]

2 контрольные переписывать, 100 вопросов на экзамене — и так по 4 дисциплинам сразу. Всё это ложится на плечи обычного студента-работяги (хотя ощущается, что именно твои дела хуже остальных).

И голову начинают сверлить мысли о том, что лучше перенести долги на следующий семестр. В январе и феврале хорошенько заботать, а потом всё закрыть. Вот только заканчиваются такие истории далеко не всегда хорошо...

⚠️ От тех, кто сейчас на 2 курсе, я часто слышу: "Спасибо, что убедил идти на экзамены. Пусть и не отл (не хор), но закрыто. Ведь в новом семестре информации ещё больше". И это правда. Нет времени сейчас, не будет и дальше. Вот только ещё добавятся пересдачи. 🫣

Поэтому наша задача — бороться до конца!
🟠Приходить на все контрольные, зачёты и экзамены, не пропускать переписывания.
🟠Сдать все долги, домашки, проекты (будь то матеша или прога).
🟠Всеми силами стараться закрыться без хвостов.

Про себя в первом семестре расскажу в следующем посте!

#Контент #Мысли #Вышмат #Математика

🫡 Про первую сессию 🫡 [Ан∂рей]

Вспоминаю про свою первую сессию — сплошное разочарование. В школе казалось, что понимаю математику, много знаю, а к концу первого семестра всё встаёт на свои места (и то, что было 11 лет в школе записано на первых 10 страницах учебника, остальные 390 страниц — надо сдавать на экзамене)...

После школьной пятёрки по математике, сдал сессию с тройкой по комбинаторике. Да и по остальным предметам казалось, что повезло. Писал зачёты без понимания, шёл на экзамены с зазубренными определениями и формулировками. 😔

В такие моменты уже становится не так интересно, перестаёшь видеть красоту. И начинаешь сомневаться в правильности пути.

Думаю, с подобным кризисом сталкивается каждый студент. Но и в этот момент нужно взять себя в руки, перевернуть ситуацию с головы на ноги и извлечь максимальную пользу. Ведь одна из основных задач — находить выходить из трудного положения.

Объём информации и степень неопределённости будут только расти. Нужно принять это и двигаться вперёд. И со временем новые термины не будут пугать, доказательства на пару страниц покажутся очевидными, вернётся и вкус к математике.

А для зачёта лишь бы методичка была — ща докурим и пойдём сдавать! 😎

P.S. На вопрос "Возможно ли всё выучить и понять к экзамену?" я бы ответил: "Нет, но это не значит, что не получится его сдать!" Поэтому продолжаем ботать, результат не заставит себя ждать, вот увидите! 🍀

#Мысли #Вышмат #Математика

🥹 Окружность Аполлония 🥹 [На∂я]

Задача. Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галеон, груженный золотом. Как только закончится шторм, галеон выйдет в Карибское море и возьмет курс на пролив между островам Гаити и Пуэрто-Рико.
Флибустьеры также ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут только одновременно с испанцами. Какой курс следует выбрать флибустьерам, чтобы наверняка перехватить испанцев?

Решение. Предположим, что флибустьеры знают, во сколько раз скорость их корабля больше скорости галеона (пусть в k > 1 раз), тогда они могут найти все точки, в которые их корабль и галеон могут попасть одновременно. Отношение пройденных расстояний также равно k. Обозначим за точку А — Пуэрто-Бельо, а за точку В — Кингстон. Таким образом, все возможные точки встречи лежат на геометрическом месте точек М таких, что BM/AM = k. Обратите внимание на рисунок в комментариях.

Таким ГМТ является окружность, которую называют окружностью Аполлония. Этот факт можно доказать двумя методами: геометрическим (используя свойства биссектрис) и координатным (с его помощью можно явно выписать уравнение окружности, что является безусловным плюсом).

Начертив окружность, мы видим, что курс галеона пересекает её в двух точках, поэтому флибустьеры могут перехватить галеон в любой из них (если на пути не встретятся другие пираты). Однако логичнее выбрать точку, которая ближе к Пуэрто-Бельо. 👍

#Контент #Математика #Вышмат

🎆 Предновогодний 🎆 [Ан∂рей]

Дорогие друзья, поздравляю с наступающим Новым Годом! Время подводить итоги. ✨

Этот год был достаточно тяжелым. Если говорить про контент, то основной удар нанесла блокировка Discord, теперь ещё и YouTube работает с переменным успехом. Но ничего, мы будем искать другие пути, чтобы разбираться с высшей математикой вместе! 🧡

Сейчас самое время вспомнить все события этого года. Оставить всё плохое в уходящем году. И пусть Новый Год принесёт больше положительных эмоций! 🎶

Желаю в Новом Году, чтобы доказательства начинались с "очевидно, что". Чтобы ваши изящные решения задач умещались на полях тетради. Чтобы всё было бесконечно гладко. Чтобы все поставленные задачи были разрешимы! 🍷

С Наступающим, Lav Math! ❤️‍🔥

#Жизнь #Мысли

С Новым Годом! 🍬 🥳

📚 Подготовка к экзаменам 📚 [Ан∂рей]

У большинства наших подписчиков новогодние праздники смешались с подготовкой к предстоящей сессии... 🥺

Формат экзаменов может отличаться от университета к университету. В этом посте расскажу, какой метод подготовки к устным экзаменам использую сам:
🟠. На отдельных листочках прописываю все билеты так, как буду оформлять на экзамене. При подготовке использую конспекты, книги, видео-лекции. Устраняю пробелы, которые имелись в конспекте в течение семестра.
🟠. Параллельно на отдельном листе собираю определения и формулировки теорем. И ещё на одном листе — непонятные места и вопросы. Про них можно будет узнать на консультации.
🟠. После того, как билеты прописаны, я начинаю учить. Здесь помогают карточки вопрос-ответ.
🟠. Последний этап подготовки — генерация случайного билета и написание без подглядываний. Всё так, как будет на экзамене.

#Мысли #Учёба

🌱 Рассада 🌱  [На∂я]

Джон Хортон Конвей говорил, что не проработал ни дня в своей жизни, а лишь всегда играл в игры. Больше всего известен из-за создания игры «Жизнь». Но в этом посте поговорим о другой игре с более простыми правилами, которая называется «Рассада».

Перед началом игры на бумаге рисуется несколько точек, количество которых оговаривается перед игрой. Затем игроки по очереди ходят. Каждый ход игрока состоит в том, что он либо соединяет две точки линией (прямой или кривой), либо рисует линию-петлю. На каждой проведённой линии рисуется одна новая точка; новые точки равноправны первоначальным. При этом должны соблюдаться следующие правила:

🟠Линии не должны пересекаться (самопересечения линий тоже недопустимы).

🟠Проводимая линия не должна проходить через ранее поставленные точки. Она может от одной точки начинаться и в другой или в той же точке заканчиваться, а больше никаких касаний линией точек быть не должно.

🟠Из каждой точки не должно исходить более трёх линий. Поэтому к новой точке нельзя пририсовать петлю, поскольку иначе получится 4 исходящие линии.

Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать ход. Теперь в вашей копилке есть ещё одна интересная игра, для которой понадобится лишь листок и ручка!

Позже Конвеем была придумана игра «Брюссельская капуста». Её правила чем-то схожи с правилами игры «Рассада». Но данная игра является шуточной, так как она всегда заканчивается за известное количество ходов. 😄

#Контент #Шутки

🫣 Ничего не понимаю. Идти на экзамен? 🫣 [На∂я]

Если вы готовились хотя бы какое-то время к экзамену, то я считаю, что стоит попробовать свои силы и сходить на него. Что будет в худшем случае? Есть вариант получить неудовлетворительную оценку, но вы только подумайте, что вы получите:

🟠 поймёте, какая обстановка и атмосфера во время экзамена и что вы чувствуете;

🟠 узнаете саму процедуру: как распределены вопросы в билетах, сколько преподавателей принимает экзамен и как именно, какие вопросы чаще всего задают на дополнительных вопросах;

🟠 попробуете воспроизвести определения и доказательства не в домашней обстановке.

Конечно, эти пункты наиболее актуальны для первокурсников, но я думаю, что и более старшим курсам не стоит упускать возможность сходить на экзамен и проверить свои способности в предмете.

Может, у вас всё получится? Может, все опасения лишь из-за страха? Вы не узнаете ответ, если не попробуете.

Мы в вас верим! Поговорить и попросить совета всегда можно в нашей беседе и ЛС @lav_100k @nadya_nrr. 🧡

#Мысли #Вышмат #Математика

🌙 Про работу ночью 🌙 [Ан∂рей]

В период сессии говорить о режиме тяжело: рано вставать на пары не нужно, поэтому можно разбираться с билетами хоть всю ночь!

В работе по ночам есть своя особая атмосфера. Например, если у вас не получается разбираться днём (много отвлекающих факторов: бытовые дела, сообщения, хорошая погода и т.д.), попробуйте ботать ночью. Никто не пишет, очень тихо и спокойно. 🧘‍♀️

При этом я не рекомендую подсаживаться на кофе и энергетики, не спать круглые сутки и не спать накануне экзамена. Нужна свежая голова! 😵‍💫

В последнее время я стал реже сидеть по ночам, так как часто провожу уроки по утрам (в том числе у других часовых поясов 6-7 МСК). Но при необходимости сконцентрироваться на собственных научных задачах бывает и не сплю. Это дополнительно мотивирует, ведь сразу вспоминаются 1-2 курс, когда за пару ночей поднимаешь семестровый курс почти с нуля! 😮

Всем успехов при подготовке и при сдаче! 🍀

#Математика #Вышмат #Мысли

😈 Роль сессии 😈 [Ан∂рей]

Сразу вспоминается анекдот.

Попадает мужик в ад, а ему чёрт предлагает выбор: идти в обычный ад или студенческий. Мужик выбрал обычный. Целыми днями гуляет, веселится, но каждый вечер приходит чёрт и заставляет съесть гвоздь (цензура). Мужик прожил так полгода, устал и попросился в студенческий ад. А там веселья ещё больше, по вечерам никто не приходит. Прошло ещё полгода, мужик не может нарадоваться — и почему сразу не выбрал студенческий? И тут приходит чёрт с ведром гвоздей: "Ну что, мужик, открывай рот — сессия!" 😂

Уже бо‌льшая часть экзаменов позади. Где-то повезло, а где-то нет. Бывает выучил все вопросы, кроме парочки самых коварных, а потом именно они и попадаются...

Но для нас сессия ещё и точка роста. Хорошая возможность разобраться в том, что было прослушано (читать в двух смыслах сразу) в течение семестра. 🤯

И если первая половина не задалась, это не повод опускать руки. Нужно бороться до конца. Тем более, что остался последний рывок. Полученные знания и навык работы в таком формате ещё неоднократно пригодятся!

Вечерком допишу про хитровыдуманность. ✍️

P.S. Тем временем и я ботаю. В эту сессию основные предметы, с которыми обращаются: матан, линал, ангем, общая алгебра, топология, дифуры, теорвер.

#Мысли #Контент

😈 Роль сессии [2/2] 😈 [Ан∂рей]

Когда я учился на 4 курсе, учительница по экстремальным задачам перед доказательством очередной теоремы с гордостью рассказала:

"Был у меня один студент, который ничего не учил, закрывался только на комиссиях, весь в долгах был. И вот, дошло дело и до пересдачи по экстремальным задачам. Формулировки знал он плохо, поэтому эту теорему [с доски] дала ему как задачу. И сказала, мол, если докажет, 3 поставлю. Спустя пару часов он рассказывает доказательство. Такого напридумывал, чтобы выкрутиться. И получилось у него значительно проще, чем то, что я давала на парах. С тех пор я рассказываю его доказательство."

Очень вдохновляющая история! ⭐️
Конечно, лучше идти на экзамен со всеми выученными билетами, но если вдруг что-то пошло не так, никогда не стоит опускать руки! ☀️

#Мысли

Сейчас прибирался в своей библиотеке и решил поделиться замечательными книгами по теории вероятностей, которые помогут лучше почувствовать эту дисциплину и развить интуицию! 🔥