🥰 Шпаргалка для теории поля 🥰 [Ан∂рей]

Писал ещё на 3 курсе, пользуюсь до сих пор! Сохраню на канале эту небольшую шпаргалку по криволинейным и поверхностным интегралам! 🫣

#Источники #Контент #Математика #Вышмат

🤔Главное — правильно выбрать метод решения! 🤔 [На∂я]

Недавно я вела пару у студентов, в некоторый момент которой понадобилось решить обычное квадратное уравнение. И студент говорит: «Ну что, по Виета?». Меня это удивило, так как я вообще не привыкла пользоваться этой теоремой, в моей голове «видишь квадратное уравнение -> считаешь дискриминант».

И так совпало, что в эти выходные я еду проводить занятия именно по теме квадратных уравнений, поэтому при подготовке я подбирала задания на различные способы решения. И знаете что? Теорема Виета иногда и правда очень упрощает жизнь. 👍

Давайте всё-таки приведём её формулировку. Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют системе уравнений {x₁ + x₂ = -b/a, x₁ * x₂ = c/a}.

А заодно вспомним ещё два скоростных метода решения квадратных уравнений.

🟠. a + b + c = 0 или a + c = b:

Если сумма коэффициентов a + b + c равна 0, то первый корень равен 1, а второй c/a по теореме Виета. Если сумма крайних коэффициентов равна центральному (a + c = b), то первый корень равен -1, а второй -с/а по теореме Виета.

🟠. Метод переброски:

Уравнение ax² + bx + c = 0 умножаем на a и делаем замену y = ax.

Получаем:
y² + by + ac = 0.

Решаем по Виета, ответ делим на a.

Пример: 6x² - 5x + 1 = 0

Переброска: y² - 5y + 6 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения 2, 3. Тогда ответ исходного уравнения: 2/6, 3/6.

Так, даже на примере решения квадратного уравнения заметно, как хорошо знать несколько способов решения одной задачи и как можно экономить время, если правильно выбрать способ! 🔋

#Математика #Вышмат #Контент

🟠 Дискриминант🟠 [Ан∂рей]

Пост выше был посвящён квадратным уравнениям. Не только у многочленов второй степени, но и у произвольного многочоглена есть дискриминант.

🟠 Для приведённого многочлена (старший коэффициент равен 1) с корнями x_1, x_2, ..., x_n дискриминант определяется как произведение (x_i - x_j), где i < j.

Здесь корни многочлена рассматриваются в алгебраически замкнутом расширении поля и выписаны с учётом кратности.

Таким образом, дискриминант многочлена показывает наличие кратных корней:

D = 0 <=> многочлен имеет кратный корень.

Один из способов вычисления дискриминанта является нахождение определителя матрицы Сильвестра (с помощью этого же инструмента можно понять, есть ли у многочленов общие корни), которая строится по многочлену и его производной.

Для x³+px+q дискриминант равен
D = -108 ((p/3)³ + (q/2)²).

P.S. Для тех, кого заинтересовало, разбираться можно начинать с темы результант. Ведь дискриминант — частный случай результанта. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

😩 Паника — с чего начать? 😩 [Ан∂рей]

Время летит очень быстро. И уже совсем скоро начнутся зачёты. Всё чаще возникает вопрос: "Что делать, если всё запущено?" Уже началось дифференциальное исчисление, а до сих пор не до конца понятно определение предела последовательности... 😓

Хочется начать с начала, только в этот раз качественно 
заботать: выучить все определения и формулировки, доказательства, прорешать задачи с 1 сентября.
❗️Так делать не рекомендую❗️

Всё потому, что времени на это уйдёт достаточно много. И со второго (и даже 3, 4) раза понять абсолютно всё не получится. Всегда будут оставаться какие-то дыры. Однако за это время нового материала накопится так много, что давление станет ещё больше.

Моя основная рекомендация — двигаться вперёд, не сдаваться. И если по ходу дела всплывают пробелы, им стоит уделять внимание. Под рукой должен быть листок со всеми определениями и формулировками.

Закрыть предмет и разобраться в теме — разные понятия. И одно может существовать без другого (можно закрыть предмет без понимания и понимать, но не закрыть предмет).

Понимание придёт значительно позже. Нужно время. А пока нужно просто делать и двигаться вперёд! 🥺

P.S. Если вы попали в трудную ситуацию, напишите мне @lav_100k. Вместе придумаем, как эффективно заботать!

#Учёба #Мысли #Вышмат #Математика

✌️ Про генерацию случайной величины ✌️ [Ан∂рей]

Пусть X — случайная величина, равновероятно принимающая значения 1, 2, 3, ... , n. Сколько раз в среднем нужно сгенерировать данную случайную величину, чтобы увидеть каждое из значений?

Эта задача имеет много интерпретаций. Например, под каждой крышкой банки газировки за 100 рублей есть номерок от 1 до 100. Если собрать все номерки, можно получить фирменную кружку. Сколько в среднем предстоит потратить денег, чтобы получить фирменную кружку?

🟠. Первое решение. Пусть x(k) — среднее число генераций, которое нужно сделать, если осталось увидеть k из n значений. Тогда для x(k) можно выписать рекуррентное соотношение:

x(k) = k/n * ( 1+x(k-1) ) + (1-k/n) *(1+x(k) ), x(0) = 0.

Действительно, если нам осталось увидеть k, то с вероятностью k/n случайная величина примет то значение, которого ранее не было. Тогда в среднем останется сделать x(k-1) генераций. И +1, так как одну мы только что сделали. Иначе с вероятностью 1 - k/n случайная величина примет то значение, которое мы же видели, а нам в среднем останется сделать x(k) генераций. И +1, так как одну мы только что сделали.

Выразим x(k) через x(k-1), получаем

x(k) = x(k-1) + n/k.

Нам нужно найти x(n), получаем

x(n) = x(n-1) + n/n = x(n-2) + n/(n-1) +n/n = ... = x(0) + n/1 + n/2 +... + n/n = n * ( 1/1 +1/2 + ... + 1/n ) = n*H(n),

где H_n — n-ое гармоническое число.
Таким образом, ответ: n*H_n.

🟠. Второе решение.
Номер X_1 появления первого нового числа имеет геометрическое распределение с параметром 1,
номер X_2 появления второго нового числа имеет геометрическое распределение с параметром (n-1)/n,
номер X_3 появления второго нового числа имеет геометрическое распределение с параметром (n-2)/n,
номер X_n появления n-ого нового числа имеет геометрическое распределение с параметром 1/n.

Тогда X = X_1 + X_2 + ... + X_n. Используя линейность математического ожидания и тот факт, что EGeom(p) = 1/p, p>0, получаем

EX = 1 + n/(n-1) + n/(n-2) + ... + n/1 = n*H_n,

где H_n — n-ое гармоническое число.
Таким образом, ответ: n*H_n.

🟠 При больших n можно воспользоваться асимптотикой H_n ~ ln(n). Или более точным равенством H_n = C + ln(n) + epsilon(n), где постоянная Эйлера C = 0,57721..., а epsilon(n) — бесконечно малая величина.

Таким образом, для получения фирменной кружки в задаче выше в среднем предстоит купить ≈ 519 банок газировки и потратить ≈ 51,9 тысяч рублей.

#Контент #Вышмат #Математика #Задачи

🤔 Стомахион и танграм — что это? 🤔 [На∂я]

Участвуя в школе в организации математического турнира, мне нужно было придумать интересное развлечение для детей средней школы. В итоге я остановилась на такой игре, как танграм. Это головоломка, в которой из 7 плоских фигур необходимо собрать более сложную фигуру (например, животное, букву или предмет).

Так как времени на всё занятие было предостаточно, мне захотелось в начале рассказать немного об истории игры. Во время поиска информации я наткнулась на игру «Стомахион». Это головоломка, целью которой является собрать квадрат из 14 частей. ⭐️

Оказывается, что Стомахион — не только игра, а ещё и трактат, который приписывают Архимеду. Это сочинение дошло до нашего времени в сокращённом арабском переводе. Содержание трактата посвящено анализу одноимённой головоломки, о которой упоминалось выше.

В трактате Архимед пробовал определить количество различных комбинаций, с помощью которых можно было бы собрать квадрат. На данный момент известно, что таких способов 17 152. Данный результат был получен в декабре 2003 года путём компьютерного перебора всех вариантов. 🤓

#Истории #Вышмат #Математика

↩️ Периодическая дробь -> обыкновенная дробь ↩️ [На∂я]

По одной из легенд о появлении шахмат считается, что некий мудрец придумал правила новой игры и рассказал о них царю. Царь был очарован игрой и предложил создателю самому выбрать награду. Мудрец попросил одно зёрнышко положить на первую клетку, два зёрнышка — на вторую, четыре зёрнышка — на третью и т.д., то есть на каждую следующую клетку приходилось в два раза больше зёрен в сравнении с предыдущей. Такая просьба оказалась невыполнимой. И сейчас мы понимаем, почему же это так.

Давайте посчитаем по формуле геометрической прогрессии, сколько зёрен должно быть:
S = b₁* (qⁿ - 1) / (q - 1) = 2⁶⁴ - 1. Шок! 🤯

Легенда гласит, что царь не остался в долгу, и, выдав все имеющиеся зёрна (которых было меньше, чем нужно), предложил мудрецу пересчитать каждое зёрнышко.

Недавно я наткнулась на ещё одно интересное применение геометрической прогрессии в следующей задаче: записать периодическую дробь 0, (8) обыкновенной дробью.

Кому-то задача покажется очень лёгкой, однако я хочу рассказать об одном из красивых, на мой взгляд, решений.

Понятно, что 0, (8) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + …
Слагаемые в правой части образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с b₁ = 0,8 и q = 0,1. Найдём её сумму: S = b₁ / (1 - q) = 0,8 / 0,9 = 8/9.

Таким образом, 0, (8) = 8/9. 🥺

#Математика #Истории #Вышмат #Контент

💤 Совсем скоро уже декабрь…  💤[На∂я]

а это значит, что приближается пора зачётов, экзаменов и различных дедлайнов. И я думаю, самое время напомнить, как важно давать своему организму время на восстановление! Просмотр фильма — это прекрасная возможность отдохнуть, провести время с друзьями или же сладко поспать. Однако если вы всё-таки заинтересованы в сюжете, то вот подборка фильмов, связанных с математикой:

🟠 Человек, который познал бесконечность;

🟠 Теория простых чисел;

🟠 Игра в имитацию;

🟠 Одарённая;

🟠 Игры разума.

А если вам сложно смотреть длинные фильмы, то советую эти короткометражки:

🟠Тайное число;

🟠Альтернативная математика.

Приятного просмотра! 🧡

#Мысли #Контент

😈 Дифференциальное исчисление и формула Тейлора! 😈 [Ан∂рей]
(Запись: @lav_math_bot)

Продолжаем серию групповых уроков. На повестке дня дифференциальное исчисление и формула Тейлора.
28, 29, 30 ноября и 1, 2 декабря 19:30-21:00 состоятся занятия по темам:
🟠. Производная по определению. Физический, геометрический смыслы.
🟠. Вычисление производных, логарифмическая производная.
🟠. Дифференциал.
🟠. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
🟠. Производные высших порядков.
🟠. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и форме Лагранжа.
🟠. Разложение функций по формуле Тейлора и вычисление пределов с помощью этих разложений.

Занятия будут проходить вечером. Видеозаписи, конспекты, домашки будут доступны участникам в закрытой беседе. Присоединиться можно, пока открыта запись. Полезно будет разобраться с темами сейчас, а накануне зачёта и экзамена освежить всё в памяти. По вопросам @lav_100k 🧡
Запись @lav_math_bot.

#Контент #Вышмат #Интенсивы #Учёба #Математика

🤔 Парадокс Рассела 🤔 [На∂я]

Назовём множество обычным в том случае, если оно не является элементом самого себя.

Необычным множеством назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств.

А теперь давайте попробуем рассмотреть множество всех обычных множеств, которое имеет название расселовское, и ответить на вопрос, является ли оно обычным. Здесь как раз и возникает парадокс, есть два варианта:

🟠. Предположим, что расселовское множество является обычным. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех обычных множеств. Но в то же время, оно не может быть обычным, так как включает самого себя.

🟠. Предположим, что расселовское множество является необычным. Так как по определению это множество должно состоять только из обычных множеств, то оно не может включать себя в качестве элемента. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это обычное множество.

В обоих случаях получили противоречие. В завершение поста приведём забавную бытовую формулировку этого парадокса:

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя? ❓

#Контент #Вышмат #Математика

Сегодня успешно прошёл первый урок дифференциального исчисления. Разбирали определение и находили производные по определению! 🙂

Напоминаю, что в боте @lav_math_bot есть шпаргалки по замечательным пределам и производным! 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

⭐️ Обобщённая формула Пика ⭐️ [На∂я]

Для вычисления площади многоугольника с целочисленными вершинами применяют в основном два способа.

🟠. Можно достраивать или наоборот разбивать на более простые фигуры, считать их площади, а затем с помощью арифметических действий получить площадь исходного многоугольника.

🟠. Использовать формулу Пика:

S = В + Г/2 - 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Оказывается, у формулы Пика существует обобщение. С её помощью можно вычислить площадь многоугольника с «дырками»:

S = В + Г/2 + Д - 1,

где В и Г — количество целочисленных точек внутри и на границе многоугольника соотвественно, а Д – количество многоугольников внутри. ⭐️

Доказывается данная формула по индукции по количеству вершин многоугольника. Сначала (по обычной формуле Пика) рассчитывается площадь многоугольника без "дырок". Затем находятся площади "дырок" (по всё той же стандартной формуле Пика). Используя полученные результаты, остаётся лишь показать, что индукционный переход выполнен.

P.S. Чтобы было легче понять, как работает формула, обратите внимание на картинку.

#Контент #Математика #Вышмат

🤯 Как всё успеть? 🤯  [Ан∂рей]

Начался последний месяц в этом году. Объём информации продолжает расти. А из-за переписывания контрольных начинает ощущаться сильное отставание по лекциям. Что делать?

🟠. Грамотно расставить приоритеты. Экзамены будут в январе (в большинстве университетов), а зачёты уже через пару недель. Стоит уделить особое внимание практикам, чтобы она была закрыта.

Не думайте о переносе долгов на доп. сессию. Это ловушка. Начнётся новый семестр, где объём новой информации будет ещё больше, а сложность выше. Пересдачи будут тянуть назад. Цель — закрыть всё по максимуму сразу.

🟠. Учить определения и формулировки. Это не так трудно. Каждый день повторять всё основное без доказательств. Данная процедура позволит привыкнуть к языку. И в будущем доказательства будет проще понять.

🟠. Не думать о переводе, академе. Готовиться и сдавать нужно так, будто не будет отходных путей. Переводиться с долгами тяжелее, может не получиться. Тогда тяжелым грузом лягут пересдачи.

🟠. Просто делать. Хотя бы маленький шаг, но постоянно. Старание и трудолюбие будут оценены по заслугам! А понимание происходящего придёт чуть позже. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

↩️ Фигуры Лиссажу ↩️ [На∂я]

Фигуры Лиссажу — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Давайте представим такую ситуацию: вы находитесь на даче, где к тополю привязали покрышку на канате, и теперь это любимое место всех детей. Пусть сбоку эту покрышку раскачивает один человек, а сзади — другой. В итоге получается, что движение осуществляется в двух направлениях «вперёд-назад» и «вправо-влево». Если бы мы могли наблюдать долгое время за тенью, то увидели бы фигуру Лиссажу (в идеальных условиях). 

⚡️Зависимость координат x и y от времени t описывается системой:

{ x(t) = A * sin (at + δ),
  y(t) = B * sin (bt) },

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Вид траектории очень зависит от соотношения между a и b. Если a/b — рациональное число, то фигура Лиссажу будет замкнутой.

Посмотреть на красивые картинки и поиграться с параметрами можно в калькуляторе Desmos по ссылке. 🙂

#Контент #Математика #Вышмат

🤔Подготовка к зачёту🤔 [Ан∂рей]

Поговорим чуть более подробно про подготовку к зачёту. В большинстве университетов он представляет из себя переписывание всех контрольных, которые не получились за семестр (у кого-то это работа целиком, а у кого-то лишь некоторые задачки). 🫠

🟠. До начала зачётной недели нужно постараться закрыть максимальное число задач. Возможно, в первую очередь простые. Ведь 7 простых из 10 задач звучит солиднее, чем 3 сложных из 10 задач.

🟠. Узнать, что требуется сделать. Зачёт в первую очередь нужен студенту, поэтому наша задача узнать у преподавателя, какие есть долги, как их отработать. Стремление получить зачёт будет замечено.

🟠. Жёстко ботать. Когда план намечен, а всё, что было легко, уже сдано, нужно готовиться. Не стоит надеяться на халяву, руку на задачах стоит набить. Нет ничего приятнее, чем получить задачи и по одному виду понять, что их уже умеешь решать. 🧡

#Контент #Мысли #Учёба

🦊 Немного о жизни 🦊 [Ан∂рей]

В последнее время веду достаточно много уроков по различным дисциплинам. Особенно порадовало, что было много уроков по векторному анализу и теории поля.

Когда учился на втором-третьем курсе, кратные, поверхностные интегралы и элементы теории поля выпали на дистанционку. Приходилось разбираться самостоятельно. Оставалось много пробелов.

Спустя 4 года удалось хорошо разобраться, увидеть в этом красоту.

Многие темы во время учёбы приходится откладывать на неопределённый срок. Нет ничего приятнее, чем во всём разобраться! 🫶

Из новых дисциплин, по которым теперь веду уроки:
🟠Аналитическая теория чисел
🟠Теория графов
🟠Исследование операций (экстремальные задачи, оптимизация, математическое программирование)

Много работы, поэтому посты стал писать чуть реже, но сейчас возобновляю это дело. Ведь сессия — время подводить итоги. 👨‍💻

P.S. Если нужна помощь при подготовке к зачётам и экзаменам, лучше писать заранее @lav_100k.

#Жизнь #Контент #Вышмат #Математика

☠️ Про долги ☠️ [Ан∂рей]

2 контрольные переписывать, 100 вопросов на экзамене — и так по 4 дисциплинам сразу. Всё это ложится на плечи обычного студента-работяги (хотя ощущается, что именно твои дела хуже остальных).

И голову начинают сверлить мысли о том, что лучше перенести долги на следующий семестр. В январе и феврале хорошенько заботать, а потом всё закрыть. Вот только заканчиваются такие истории далеко не всегда хорошо...

⚠️ От тех, кто сейчас на 2 курсе, я часто слышу: "Спасибо, что убедил идти на экзамены. Пусть и не отл (не хор), но закрыто. Ведь в новом семестре информации ещё больше". И это правда. Нет времени сейчас, не будет и дальше. Вот только ещё добавятся пересдачи. 🫣

Поэтому наша задача — бороться до конца!
🟠Приходить на все контрольные, зачёты и экзамены, не пропускать переписывания.
🟠Сдать все долги, домашки, проекты (будь то матеша или прога).
🟠Всеми силами стараться закрыться без хвостов.

Про себя в первом семестре расскажу в следующем посте!

#Контент #Мысли #Вышмат #Математика

🫡 Про первую сессию 🫡 [Ан∂рей]

Вспоминаю про свою первую сессию — сплошное разочарование. В школе казалось, что понимаю математику, много знаю, а к концу первого семестра всё встаёт на свои места (и то, что было 11 лет в школе записано на первых 10 страницах учебника, остальные 390 страниц — надо сдавать на экзамене)...

После школьной пятёрки по математике, сдал сессию с тройкой по комбинаторике. Да и по остальным предметам казалось, что повезло. Писал зачёты без понимания, шёл на экзамены с зазубренными определениями и формулировками. 😔

В такие моменты уже становится не так интересно, перестаёшь видеть красоту. И начинаешь сомневаться в правильности пути.

Думаю, с подобным кризисом сталкивается каждый студент. Но и в этот момент нужно взять себя в руки, перевернуть ситуацию с головы на ноги и извлечь максимальную пользу. Ведь одна из основных задач — находить выходить из трудного положения.

Объём информации и степень неопределённости будут только расти. Нужно принять это и двигаться вперёд. И со временем новые термины не будут пугать, доказательства на пару страниц покажутся очевидными, вернётся и вкус к математике.

А для зачёта лишь бы методичка была — ща докурим и пойдём сдавать! 😎

P.S. На вопрос "Возможно ли всё выучить и понять к экзамену?" я бы ответил: "Нет, но это не значит, что не получится его сдать!" Поэтому продолжаем ботать, результат не заставит себя ждать, вот увидите! 🍀

#Мысли #Вышмат #Математика

🥹 Окружность Аполлония 🥹 [На∂я]

Задача. Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галеон, груженный золотом. Как только закончится шторм, галеон выйдет в Карибское море и возьмет курс на пролив между островам Гаити и Пуэрто-Рико.
Флибустьеры также ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут только одновременно с испанцами. Какой курс следует выбрать флибустьерам, чтобы наверняка перехватить испанцев?

Решение. Предположим, что флибустьеры знают, во сколько раз скорость их корабля больше скорости галеона (пусть в k > 1 раз), тогда они могут найти все точки, в которые их корабль и галеон могут попасть одновременно. Отношение пройденных расстояний также равно k. Обозначим за точку А — Пуэрто-Бельо, а за точку В — Кингстон. Таким образом, все возможные точки встречи лежат на геометрическом месте точек М таких, что BM/AM = k. Обратите внимание на рисунок в комментариях.

Таким ГМТ является окружность, которую называют окружностью Аполлония. Этот факт можно доказать двумя методами: геометрическим (используя свойства биссектрис) и координатным (с его помощью можно явно выписать уравнение окружности, что является безусловным плюсом).

Начертив окружность, мы видим, что курс галеона пересекает её в двух точках, поэтому флибустьеры могут перехватить галеон в любой из них (если на пути не встретятся другие пираты). Однако логичнее выбрать точку, которая ближе к Пуэрто-Бельо. 👍

#Контент #Математика #Вышмат

🎆 Предновогодний 🎆 [Ан∂рей]

Дорогие друзья, поздравляю с наступающим Новым Годом! Время подводить итоги. ✨

Этот год был достаточно тяжелым. Если говорить про контент, то основной удар нанесла блокировка Discord, теперь ещё и YouTube работает с переменным успехом. Но ничего, мы будем искать другие пути, чтобы разбираться с высшей математикой вместе! 🧡

Сейчас самое время вспомнить все события этого года. Оставить всё плохое в уходящем году. И пусть Новый Год принесёт больше положительных эмоций! 🎶

Желаю в Новом Году, чтобы доказательства начинались с "очевидно, что". Чтобы ваши изящные решения задач умещались на полях тетради. Чтобы всё было бесконечно гладко. Чтобы все поставленные задачи были разрешимы! 🍷

С Наступающим, Lav Math! ❤️‍🔥

#Жизнь #Мысли

С Новым Годом! 🍬 🥳