👋 Пределы функций, эквиваленты, о-символика, непрерывность👋 [Ан∂рей]
(Запись @lav_math_bot, вопросы @lav_100k)

Продолжаем идти по темам первого семестра. Приглашаю всех на 5 групповых уроков по пределам функций!

22, 23, 24, 26, 27 октября 19:30-21:00 мск:

🟠. Определение предела функции по Коши, по Гейне и на языке окрестностей. Доказательство равносильности.
🟠. Проверки по определению.
🟠. Вычисление пределов.
🟠. Замечательные пределы с доказательствами.
🟠. Эквиваленты. Их использование при вычислении пределов.
🟠. о-маленькое, О-большое. Их использование при вычислении пределов.
🟠. Непрерывность и равномерная непрерывность функций.

Возможность задавать любые вопросы, обсуждать ваши задачки как на уроках, так и вне. Видеозапись только для участников. Дедлайн только на присоединение. Далее записи останутся с вами.

Запись: @lav_math_bot "🔥 Интенсивы". Вопросы: @lav_100k.

#Учёбы #Инетнсивы #Вышмат #Математика

5️⃣0️⃣0️⃣0️⃣

Всех поздравляю! Маленькими шагами канал продолжает свой рост. И вместе с ним растём и мы! 🧡

Сколько задач уже было решено, а сколько ещё будет! Благодарю всех за активное участие в жизни LM! ❣️

#Рекорды #Контент

🐉 Парадокс Ричардсона 🐉 [На∂я]

В 1951 году Льюис Фрай Ричардсон решил изучить вероятность возникновения конфликта между двумя странами. Для рассмотрения он выбрал Португалию и Испанию. В ходе исследования выяснилось, что по мнению Португалии длина общей границы 987 км, а по мнению Испании — 1214 км. Это сильное несовпадение лишь увеличило желание изучить данный вопрос.

Как обычно измеряют береговую линию? Выбирают единичный отрезок и накладывают его на карту столько раз, сколько потребуется для создания ломаной линии, закрывающей очертания побережья. Вот тут и проявляется парадокс Ричардсона: длина береговой линии зависит от величины выбранного единичного отрезка. 😳

В начале исследования Ричардсон предполагал, что при уменьшении единичного отрезка всё-таки наступит конечный предел. Это аналогично тому, что при увеличении количества сторон вписанного правильного многоугольника он будет стремиться к окружности. А длина окружности, насколько мы знаем, конечна.

Однако с береговой линией всё оказалось сложнее, и в итоге был сделан вывод о том, что при уменьшении единичного отрезка до бесконечно маленького длина береговой линии возрастает до бесконечно большой. 🤔

Спустя некоторое время этой проблемой заинтересовался Бенуа Мандельброт (кстати, о множестве Мандельброта можно прочитать в посте по ссылке). Чтобы изучить данную задачу более подробно, он создал новый раздел математики — фрактальная геометрия!

#Истории

📖 Планирование. Метод 1-3-5 📖 [На∂я]

Уже несколько лет я веду заметки с задачами на день, но делать это обычным списком бывает скучно, поэтому я всегда ищу новые способы планирования и экспериментирую. И вот, что я узнала на этот раз: метод 1-3-5 или же правило 9 дел.

Суть в том, чтобы планировать не более 9 дел в течение дня — 1 важное, на которое нужно потратить большую часть времени, 3 второстепенных и 5 мелких. О каждой части поговорим чуть подробнее:

🟠 Одна важная задача — объёмное и обязательное дело дня. Для меня легче всего браться за такое дело с самого утра, как говорится «сделать, чтобы не думалось».

🟠 Три второстепенные задачи — менее важные дела, у которых нет конкретного времени начала выполнения. Их легко можно перемещать в зависимости от обстоятельств.

🟠 Пять мелких дел — это чаще всего рутинные дела, которые копятся и откладываются на выходные. Чтобы не выполнять разом в свой долгожданный выходной все дела из большого списка, можно обратить внимание на некоторые из них в будни (особенно, если какая-то задача — это дело двух минут, например, оплата квитанции).

Планировать всего 9 дел звучит не так уж сложно, правда? Советую попробовать! ⭐️

#Мысли

🔥 Напоминаю, что продолжается набор в мини-группу для решения задач по теме "Пределы функции, эквиваленты, о-символика". Начинаем уже завтра! [Ан∂рей]

Есть время присоединиться и прислать задачи, которые вы хотите разобрать вместе! 🙂

#Интенсивы #Учёба #Математика #Вышмат

💡 Я не знаю формулу, но знаю, как её вывести 💡 [Ан∂рей]

Объём информации становится очень большим. Запомнить всё за короткий срок почти невозможно. И даже за более длительный период времени (в несколько лет) без регулярного повторения выучить материал даже только первого курса вряд ли получится.

🟠 Если речь идёт о практике, то помимо приёмов следует держать в голове хотя бы по 1-2 примера на каждый тип заданий тем. И если мы сталкиваемся с чем-то новым, у нас уже есть несколько инструментов и шаблонов, которые мы можем модифицировать для решения очередной загадки.

🟠Готовых формул очень много. В моменте (для сдачи зачёта и экзамена) стоит выучить их, чтобы не растеряться. Но и доказательства для нас играют важную роль. Ведь пройдёт время, что-то забудем, но с лёгкостью восстановим это, если помним идею доказательства.

🟠Запомнить доказательства нам помогают интуитивные рассуждения (икс достаточно мал, n достаточно велико, последовательность близка к a и так далее), геометрические интерпретации, схематические рисунки, эскизы графиков функций.
Зачастую по одной только картинке можно восстановить доказательство! (например, единственность предела сходящейся последовательности).


Бывает, на уроке нужна какая-то формула. Я часто говорю: "Я не знаю её наизусть, но знаю, как её вывести!". И далее мы получаем готовый результат, одновременно с этим повторяем доказательство. Информация усваивается значительно лучше. Пропадает страх что-то забыть, ведь можно постараться вывести. А в процессе вспомнится и формула! 🥺

#Мысли #Вышмат #Математика

📞 Матрица Эйзенхауэра 📞 [1/2] [На∂я]

В методе 1-3-5 (способ планирования, о котором подробнее можно прочитать в посте выше) говорилось о том, что надо выбрать одну важную задачу, три второстепенных и пять мелких. А как их распределить? В этом посте я расскажу о способе, с помощью которого можно расставить приоритеты среди всех дел.

Матрица Эйзенхауэра — это таблица, в которой задачи распределены по двух критериям «важность» и «срочность».

Таблица делится на 4 квадрата: важно и срочно, важно и не срочно, не важно и срочно, не важно и не срочно. Дела из «важно и срочно» считаются самыми приоритетными, а дела из «не важно и не срочно» выполняются в последнюю очередь. Со вторым и третьим квадратами всё немного сложнее. Больше времени надо уделить квадрату «важно и не срочно» и меньше «не важно и срочно».

В итоге с помощью матрицы мы расставили приоритеты и составили список дел: начинаем с первого квадрата, заканчиваем последним.

Но как определить «важность» и «срочность»? При ответе на этот вопрос чаще всего мы опираемся на нашу интуицию, однако это можно сделать и по-другому. И об этом будет следующий пост! 😊

#Контент #Математика #Вышмат

📞 Матрица Эйзенхауэра [2/2] 📞[На∂я]

В этом посте рассмотрим понятия «важность» и «срочность» не с точки зрения интуиции.

🟠Как можно определить важность задачи?

Важные задачи — это задачи, выполнение которых необходимо для достижения главных целей в жизни, или же они имеют прямое отношение к ценностям жизни.

🟠Как можно определить срочность задачи?

Срочные задачи — это задачи, которые очень нежелательно откладывать, так как это может привести к неприятностям или вовсе к потере возможности выполнить эти дела.

Приведём пример.

Предположим, что сейчас наша главная цель — закончить университет, а ценности — это здоровье и друзья. Давайте попробуем составить план на день. Для начала выпишем все дела на понедельник:

🟠начать делать ДЗ по мат.анализу (дедлайн в среду);
🟠приготовить обед;
сделать доклад на завтрашнюю пару;
🟠записаться на приём к врачу;
🟠созвониться с другом.

Теперь к каждой задаче задаём два вопроса: «Это важно?» и «Это срочно?».

🟠. Начать делать ДЗ по мат.анализу. Важно? Да (напрямую связано с целью закончить университет). Срочно? Нет (дедлайн послезавтра).

🟠. Приготовить обед. Важно? Да (кушать необходимо для здоровья). Срочно? Да (обед уже через несколько часов).

и т.д.

Таким образом, мы распределили все дела по четырём квадратам, и теперь готовы к их выполнению! 😇

#Контент #Математика #Вышмат

1️⃣0️⃣0️⃣0️⃣0️⃣ на YouTube 🟥 [Ан∂рей]

А это значит, что обратного пути нет. Предстоит решить все Беды с Демидовичем! 🌟

#Контент #Рекорды #Математика

Предлагаю в это воскресенье немного отдохнуть и уделить время забавному тесту «То или это» по Высшей математике! ❓ [На∂я]

Его суть состоит в следующем: вам нужно на прямой поставить метку там, в чью сторону вы больше склоняетесь. Если вы уверены в ответе на 100%, то можно ставить метку в самый край, если же вы не так категоричны, то можно выбрать середину или любое другое место!

Делитесь своими ответами в комментариях! А я желаю вам прекрасного выходного 🧡

#Интерактивы #Вышмат #Математика

🍊 Учёба в LM 🍊 [Ан∂рей]

Вчера завершился интенсив по пределам функции. Работа ещё только начинается. У участников есть доступ к записям и много заданий для самостоятельного решения под моим контролем.

На текущий момент можно присоединиться и заботать:
🟠 Пределы последовательностей (6 уроков).
🟠 Пределы функций, о-символика, непрерывность (5 уроков).

Писать в ЛС @lav_100k.

Пока первокурсники нарешивают, я думаю об интенсиве для старшекурсников. Что заботаем🟠

#Контент #Учёба #Интенсивы #Математика #Вышмат

🥳 Новое число Мерсенна 🥳 [На∂я]

12 октября участник проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) Люк Дюрант нашёл 52-ое простое число Мерсенна 2^(136 279 841) – 1. Оно содержит 41 024 320 десятичных цифр, что на 16 миллионов цифр больше предыдущего рекордного числа. К слову, в «Войне и мире» Л.Н. Толстого примерно 3,1 миллиона символов.

Числа Мерсенна получили название в честь французского математика Марена Мерсенна. В 1648 году он выпустил труд, в котором высказал предположение, что числа вида 2^p — 1 должны быть простыми для показателей 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и составными для всех остальных целых чисел, не превосходящих 257. Откуда взялась такая гипотеза — до конца неизвестно.

Возможно, у вас возник вопрос, зачем вообще нужны числа Мерсенна? Например, они используются в качестве тестов для разного рода алгоритмов факторизации чисел. Однако это не единственное применение чисел Мерсенна. 🔍

#Истории #Математика

⭐️ Снежинка Коха ⭐️ [На∂я]

В посте про береговую линию конечным заключением Ричардсона было следующее выражение: при уменьшении единичного отрезка до бесконечно маленького длина береговой линии возрастает до бесконечно большой. Красивым и простым для понимания примером этого утверждения является снежинка Коха.

Опишем процесс построения. Берём единичный отрезок, разделяем его на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. В пределе получим кривую Коха. 👍

Посчитаем длину получившейся кривой. Изначальный отрезок имеет единичную длину. На каждом шаге построения мы оставляем два крайних составляющих линию отрезков в покое (их длина = 2/3), а средний заменяем на два таких же (их длина = 2/3). Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза, то есть длина линии с номером n равна (4/3)^(n–1). При устремлении n к бесконечности мы получаем ломаную бесконечной длины.

Три кривых Коха, построенных на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, которую и называют снежинкой Коха. ⭐️

P.S. Красивые картинки ждут вас в комментариях!

#Контент #Математика #Вышмат

😨 Суммы биномиальных коэффициентов [1/2] 😨 [Ан∂рей]

Мы хорошо знаем, как вычислить сумму биномиальных коэффициентов в n-ой строке треугольника Паскаля:
🟠. C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + С_n^3 + ... = 2^n

1 способ. (1+1)^n разложить по биному Ньютона. 2 способ. Двумя способами посчитать число подмножеств n-элементного множества .

И как считаются следующие суммы:
🟠. C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... = 0
🟠. C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + C_n^6 + ... = 2^(n-1)
🟠. C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + C_n^7 + ... = 2^(n-1)

Формула 2 получается разложением (1-1)^n по биному Ньютона, а формулы 3, 4 выводятся с помощью сложения и вычитания формул 1, 2.

И я искреннее надеюсь, что читатели умеют вычислять суммы (а если нет, то пора научиться!):
🟠. C_n^0 + C_n^3 + C_n^6 + C_n^9 + ... = ( 2^n + 2*cos(πn/3) )/3
🟠. C_n^1 + C_n^4 + C_n^7 + C_n^10 + ... = ( 2^n + 2*cos(π(n-2)/3) )/3
🟠. C_n^2 + C_n^5 + C_n^8 + C_n^11 + ... = ( 2^n + 2*cos(π(n-4)/3) )/3

Пусть ω = cos(2π/3) + i * sin(2π/3). Формулы получаются разложением по биному Ньютона следующих выражений
(1+1)^n + (1+ω)^n + (1+ω^2)^n
(1+1)^n + ω^2*(1+ω)^n + ω*(1+ω^2)^n
(1+1)^n + ω*(1+ω)^n + ω^2*(1+ω^2)^n

И возникает вопрос, можем ли мы вычислить сумму
🟠C_n^r + C_n^(r+d) + C_n^(r+2d) + C_n^(r+3d) + ...= ?

Ответ положительный (но в общем случае без знака суммы не обойтись). Некоторое время на обдумывание этого поста, продолжение будет сегодня вечером! 🧡

#Математика #Вышмат #Контент

😨 Суммы биномиальных коэффициентов [2/2] 😨 [Ан∂рей]

n, r — целые неотрицательные числа, d — натуральное число большее r.

Для того, чтобы в общем виде вычислить сумму биномиальных коэффициентов (см. левую часть на картинке), нам потребуется первообразный корень степени d из единицы ω = cos (2π/d) + i * sin (2π/d). Разложить по биному Ньютона нужно каждую из следующих скобок cуммы

( 1+1 )^n + ω^(-r) * ( 1+ω )^n + ω^(-2r) * ( 1+ω^2 )^n... + ω^(-(d-1)r) * ( 1+ω^(d-1) )^n.

Данный метод может быть обобщён для вычисления мультисекций ряда (мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов первоначального ряда с номерами, образующими арифметическую прогрессию). 🤓

#Математика #Вышмат #Контент

🔥 Про 1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k 🔥 [Ан∂рей]

Решил сохранить на канале небольшой файл, посвященный сумме степеней первых n натуральных чисел и различным наблюдениям, связанным с этим.

#Источники #Вышмат #Математика

👩‍💻 Цифровой минимализм 👩‍💻 [На∂я]

Несмотря на то, что я люблю структурировать дела или различные записи, у меня совсем нет привычки соблюдать порядок в ноутбуке. И примерно на 3 курсе я поняла, что это беда… Какое-то разделение на папки безусловно присутствовало, но даже так найти что-то было сложно. И я решила изменить свой подход.

🟠 Для начала я удалила все ненужные файлы. Лично мне такой процесс иногда даже помогает избавиться от лишних мыслей или же просто почувствовать некое освобождение.

🟠 Для каждого предмета создала папку, а в ней отдельные папки для лекций, практик и литературы.

🟠 Раньше я могла назвать файл в духе «угрвтао» (рандомный набор букв), а потом приходилось открывать его и вспоминать, что же это такое и к какой дате относится. Сейчас более ответственно отношусь к названиям файлов: чем конкретнее, тем лучше.

🟠 В ближайшем будущем мечтаю разобрать свою почту, где накопилось много писем из-за различных рассылок, от которых я не могу отписаться (просто потому, что не могу сесть за это дело), и оставить только нужные сообщения.

Мне кажется, что порядок в «цифровой» жизни очень важен. Не зря в соц.сетях и других приложениях существует деление на папки, чтобы разделять работу/семью/учёбу и т.д.

А что думаете вы по этому поводу? Какая у вас система хранения данных? Пишите в комментарии 👨‍💻

#Мысли #Вышмат #Математика

🤪 Парадокс Монти-Холла 🤪 [На∂я]

Начнём с формулировки:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Сразу обговорим условия:

🟠 автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;

🟠 ведущий знает, где находится автомобиль;

🟠 ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;

🟠 если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

На самом деле, задача не является парадоксом, просто её решение противоречит нашему разуму. Давайте разберёмся.

Варианты расположения двух коз и автомобиля за дверьми:

🟠. авто, коза, коза (от первой двери к третьей);

🟠. коза, авто, коза;

🟠. коза, коза, авто.

Для определённости будем считать, что игрок выбрал 1-ую дверь. Тогда в первом случае ведущий откроет 2 или 3 дверь, во втором — третью дверь, в третьем — вторую дверь. Если игрок поменяет выбор, то его выигрыш будет следующим: в первом случае — коза, во втором — авто, в третьем — авто. Если же игрок не поменяет выбор, то его выигрыш в первом случае — авто, во втором — коза, в третьем — коза.

Как мы видим, если игрок поменяет дверь, то он выиграет с бОльшей вероятностью. Не верится, да? Но вот такие чудеса творит математика! 😉

Кстати, в фильме «Двадцать одно» как раз таки упоминается описанный парадокс: https://youtu.be/xgENddTR_5s

#Математика #Вышмат #Контент

🥰 Шпаргалка для теории поля 🥰 [Ан∂рей]

Писал ещё на 3 курсе, пользуюсь до сих пор! Сохраню на канале эту небольшую шпаргалку по криволинейным и поверхностным интегралам! 🫣

#Источники #Контент #Математика #Вышмат

🤔Главное — правильно выбрать метод решения! 🤔 [На∂я]

Недавно я вела пару у студентов, в некоторый момент которой понадобилось решить обычное квадратное уравнение. И студент говорит: «Ну что, по Виета?». Меня это удивило, так как я вообще не привыкла пользоваться этой теоремой, в моей голове «видишь квадратное уравнение -> считаешь дискриминант».

И так совпало, что в эти выходные я еду проводить занятия именно по теме квадратных уравнений, поэтому при подготовке я подбирала задания на различные способы решения. И знаете что? Теорема Виета иногда и правда очень упрощает жизнь. 👍

Давайте всё-таки приведём её формулировку. Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют системе уравнений {x₁ + x₂ = -b/a, x₁ * x₂ = c/a}.

А заодно вспомним ещё два скоростных метода решения квадратных уравнений.

🟠. a + b + c = 0 или a + c = b:

Если сумма коэффициентов a + b + c равна 0, то первый корень равен 1, а второй c/a по теореме Виета. Если сумма крайних коэффициентов равна центральному (a + c = b), то первый корень равен -1, а второй -с/а по теореме Виета.

🟠. Метод переброски:

Уравнение ax² + bx + c = 0 умножаем на a и делаем замену y = ax.

Получаем:
y² + by + ac = 0.

Решаем по Виета, ответ делим на a.

Пример: 6x² - 5x + 1 = 0

Переброска: y² - 5y + 6 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения 2, 3. Тогда ответ исходного уравнения: 2/6, 3/6.

Так, даже на примере решения квадратного уравнения заметно, как хорошо знать несколько способов решения одной задачи и как можно экономить время, если правильно выбрать способ! 🔋

#Математика #Вышмат #Контент

🟠 Дискриминант🟠 [Ан∂рей]

Пост выше был посвящён квадратным уравнениям. Не только у многочленов второй степени, но и у произвольного многочоглена есть дискриминант.

🟠 Для приведённого многочлена (старший коэффициент равен 1) с корнями x_1, x_2, ..., x_n дискриминант определяется как произведение (x_i - x_j), где i < j.

Здесь корни многочлена рассматриваются в алгебраически замкнутом расширении поля и выписаны с учётом кратности.

Таким образом, дискриминант многочлена показывает наличие кратных корней:

D = 0 <=> многочлен имеет кратный корень.

Один из способов вычисления дискриминанта является нахождение определителя матрицы Сильвестра (с помощью этого же инструмента можно понять, есть ли у многочленов общие корни), которая строится по многочлену и его производной.

Для x³+px+q дискриминант равен
D = -108 ((p/3)³ + (q/2)²).

P.S. Для тех, кого заинтересовало, разбираться можно начинать с темы результант. Ведь дискриминант — частный случай результанта. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика