😀 Интенсив по математическому анализу. Дифференциальное исчисление, формула Тейлора 😀

На следующей неделе 25, 27, 29, 30 ноября 20:00-21:30 продолжаем разбираться в математическом анализе 1 семестра! Цель: полностью разобраться с практикой по данной теме, чтобы спокойно получить зачёт.

Темы:
🟠. О-символика.
🟠. Определение дифференцируемости. Исследование на дифференцируемость. Вычисление производных по определению.
🟠. Логарифмическая производная; производная функции, заданной параметрически; производная неявной функции.
🟠. Теоремы о среднем дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
🟠. Производные высших порядков.
🟠. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано и Лагранжа.
🟠. Вычисление пределов с помощью разложения по Тейлору.
🟠. Выпуклость.

За одну неделю интенсива (6 часов занятий) разберём все основные вопросы, сформируем общее представление о теории, научимся решать задачи, набьём руку на большом количестве примеров! После этого интенсива станет понятнее и первая половина семестра.

Видеозаписи будут доступны всем участникам и после завершения интенсива. Всегда можно будет вернуться, пересмотреть записи, решить домашки, сдать их на проверку и получить развёрнутый комментарий! ✨

Запись через бота @lav_math_bot! Кнопка "🔥 Интенсивы".

#Интенсивы #Учёба #Вышмат #Математика

💍 Задача о разборчивой невесте 💍

Данная задача имеет множество интерпретаций и обобщений. Вы могли слышать «Задача о мудрецах», «Задача об аукционе», я решил рассказать самую провокационную форулировку:

Разборчивая невеста выбирает себе жениха. К ней на сватовство пришло 100 женихов, каждый из которых имеет на банковском счету любую сумму денег. Невеста хочет выбрать самого богатого из них, но она ничего не знает о деньгах претендентов. Женихи последовательно подходят к невесте и называют свой капитал. Если невеста соглашается выйти замуж, изменить решение нельзя, все остальные женихи уходят, а если отказывается выйти замуж, отвергнутый жених с разбитым сердцем уходит навсегда. Найти оптимальную стратегию невесты, чтобы разбогатеть. 😈

Рассмотрим стратегию невесты: посмотреть первых m женихов, записать их капиталы и всех отвергнуть, после чего выйти за первого жениха, чей капитал окажется больше максимума из записанных сумм.

Можно показать, что при оптимальном выборе параметра m такая стратегия с вероятностью 1/e ≈ 0,37 позволит выбрать самого богатого жениха. А оптимальное значение параметра находится из уравнения m/n = 1/e, то есть нужно посмотреть ≈37% женихов, а после выбрать лучшего. В нашей постановке — 37 человек из 100.

Очень красивый результат. Когда я впервые услышал эту задачу, то был сильно удивлён, ведь здесь почти нет данных. Второй раз был удивлён, когда узнал ответ. 😳

P.S. И ещё один удивительный факт: с данной задачей связана диссертация Березовского. На русской и английской вики можно найти информацию про эту задачу и ссылки на источники.

#Вышмат #Математика #Контент #Задачи

😎 Быстрое составление задач 😎

У многих первокурсников уже началось вычисление пределов с помощью разложений функций формулы Тейлора. В этом посте решил поделиться, как быстро составляю и проверяю задачи на эту тему. Будет полезно как студентам, так и тем, кто сам ведёт занятия.

Не использую DeepSeek и GPT, только WolframAlpha. Для быстрого составления нужно свободное владение всеми основными разложениями. Давайте за 1 минуту составим задачу для первокурсников, которую предстоит решать минут 5-10.

🟠 Шаг 1. Будем составлять предел при x -> 0. Берём любую табличную функцию, например, ln(1+x). вместо 1+x давайте сразу напишем другое выражение, которое тоже будет стремиться к 1. Например, 2-e^x. Теперь открываем WolframAlpha вбиваем taylor ln(2 - e^x) at x=0, смотрим первые члены разложения:

ln(2 - e^x) = -x - x^2 - x^3 +o(x^3) (можно и дальше, ограничимся в этом посте третьим порядком).

🟠 Шаг 2. Придумываем другую функцию, для которой разложение в нуле начинается с x. Например, arctan(x). Добавим его и переразложим:

ln(2 - e^x) + arctan(x) = - x^2 - 4/3 x^3 + o(x^3).

🟠 Шаг 3. Аналогично избавимся от -x^2. Добавим ещё x^2*sqrt(1+2x).

ln(2 - e^x) + arctan(x) + x^2*sqrt(1+2x) = - 1/3 x^3 + o(x^3).

Поздравляю, задача готова! Запишем её так, как это сделано на фотографии, записав в знаменатель x^alpha, чтобы не было понятно, до какого порядка нужно раскладывать.

Но мы с вами уже знаем ответ:
При альфа < 3 будет 0, при альфа =3 будет -1/3, при альфа >3 будет бесконечность. А если нужно оформить решение, спокойно раскладываем до третьего порядка) Дроби можно складывать быстро, зная, что останется только -1/3 при x^3. 😈

#Учёба #Вышмат #Математика #Источники

Сразу вспоминается анекдот...

Руководство для приёмной комиссии университета по составлению уравнений:
🟠. Придумайте два многочлена второй степени с целыми коэффициентами и иррациональными или отрицательными дискриминантами.
🟠. Перемножьте их на отдельной бумажке и дайте задание абитуриенту найти корни этого многочлена.
🟠. Главное, не потеряйте бумажку, чтобы спустя время, когда у него не получится, сказать: "Нетрудно заметить, что...")

#Шутки

❄️ Про жизнь ❄️

На последней неделе была большая загруженность, но мои 5 утра стали ещё душевнее: гирлянда, настольная лампа, чашечка кофе и, конечно, математика! 🐱

Из самого интересного: сразу несколько консультаций и выполнение работ по математической статистике (обожаю) и теория чисел в олимпиадной группе (тоже обожаю)). Ещё с графами есть обращения, ботаю!

Открыл ледовый сезон. Но переходить с роликов на коньки — с качения на скольжение — значительно сложнее, чем наоборот. Поэтому фото и видео будут позже, когда у меня перестанут трястись коленки )) ⛸

#Жизнь

Сегодня отмечается День математика. Узнал только что! Всех поздравляю! 🎆

"Дата праздника приурочена к дню рождения всемирно известного русского ученого, выдающегося математика, одного из первооткрывателей неевклидовой геометрии – Николая Ивановича Лобачевского (1792–1856), чьи труды легли в основу многих открытий отечественной математической школы."

#Контент

🐭 Про мышь 🐭

Что-то мне не спится. Слушаю песню про мышь. Делюсь этой песней и одной из моих любимых задач по теории вероятностей:

Мышь находится в центре лабиринта. У неё есть три пути: по первому она пробегает за 3 минуты и вернётся в центр, по второму она пробегает за 5 минут и возвращается в центр, а по третьему пути она за 2 минуты выбегает из лабиринта. Каждый раз, когда мышь оказывается в центре лабиринта, она выбирает путь равновероятно и независимо от прошлого. Найти среднее время, за которое мышь выберется из лабиринта.

Пусть x — искомое время. Тогда с вероятностью 1/3 мышь побежит по первому пути и через 3 минуты ей останется бежать в среднем x минут. Аналогично по второму пути она победит с вероятностью 1/3 и через 5 минут ей останется бежать в среднем x минут. Наконец, с вероятностью 1/3 мышь выбежит за 2 минуты.

x = 1/3 * (3+x) + 1/3 * (5+x) + 1/3 * 2,
x = 10.

Ответ: 10 минут.

#Вышмат #Математика #Контент #Задачи

😐 Про список вопросов и задач к экзамену? 😐

Семестр потихоньку походит к концу. У меня осталось всего две лекции по теории вероятностей и математической статистике. И я хочу быть тем преподом, кто скидывает список заранее, поэтому формирую его уже сейчас.

Формат экзамена я определял сам, поэтому будет
два теоретических вопроса и практическая задача в каждом билете. Сдаём устно.

И далее есть три варианта, я до сих пор не принял решение, как поступить:

🟠. Прислать студентам только список вопросов. Из плюсов: весь фокус будет на теории. Из минусов: одна из групп боится за практику, так как странная ситуация с практиком. Задачи так-то базовые, не олимпиадные.

🟠. Прислать студентам список вопросов и 4-5 примеров задач, подобные которым будут в экзамене. Это промежуточный вариант.

🟠. Прислать студентам список вопросов и весь банк задач, которые в точности будут в билетах. Из плюсов: внесём некоторую определённость и объединим группы в борьбе с задачами. Из минусов: боюсь, что студенты словят жёсткую дизмораль от количества задач и хуже подготовятся к теории.

Поэтому вопрос к активным читателям. Какой формат из данных трёх был бы комфортнее вам и почему? И, конечно, можно предложить другой вариант. 😌

Сейчас я склоняюсь к первой-второй опции, но очень переживаю, хочу, чтобы все смогли хорошо подготовиться и сдать на хоры и отлы… 🥹

P.S. На текущий момент банк задач состоит из 100 загадок. Мне не спалось последние дни, напридумывал))

#Контент #Мысли #Вышмат #Математика

🤓 Про консультации 🤓

Декабрь — месяц тяжёлый, но интересный. Напомню, что если вы попали в сложную ситуацию, когда за короткое время нужно разобрать и понять большой объём информации, у вас всегда есть я ☺️

За годы работы одним из важных элементов моей работы является адаптация материала под ваши цели, задачи, требования.

Подготовка к зачёту/экзамену, решение типовиков, написание курсовых/дипломных, олимпиадная математика, математика для финансов и IT, математика для души — то, с чем я могу помочь! 🦊

Главное — пишите заранее. Вместе определим оптимальную стратегию и подходящий формат работы!

#Вышмат #Математика #Учёба #Контент

🤓 Про научные семинары 🤓

Научные семинары бывают разных форматов. Зачастую они устроены таким образом, что докладчик рассказывает о собственных задачах и продвижениях в них. Другой формат — совместное чтение книг/статей.

Мне очень нравится разбираться в теме в небольшой группе. Все по-очереди становятся докладчиками, поэтому необходимо внимательно слушать и вникать на каждой встрече, чтобы было проще рассказывать самому. ☺️

Особенно приятна атмосфера, когда все пытаются понять и помочь разобраться. При подготовке часто возникают проблемы с пониманием, часть из которых решается коллективно прямо на доске.

И, конечно, это очень полезно. Самостоятельно разбирать статьи, книги, монографии бывает тяжело. 🥹

Сегодня как раз был мой черёд стоять у доски. Я волновался, что не успел хорошо разобраться в теме, но в итоге всё прошло хорошо, а над туманными местами думали все вместе!

#Жизнь #Мысли #Вышмат #Математика

Сегодня провёл последнюю лекцию и контрольную на физфаке. Теперь осталось только принять экзамен в январе! 😇

#Жизнь

😫 Зачётная неделя 😫

Календарный год подходит к концу. Уже начались зачёты и экзамены. Небольшие слова напутствия.

🟠. Нужно собраться и сделать последний рывок. Не стоит следовать принципу «Горит сарай, гори и хата». Цель — закрыть всё по максимуму, чтобы пересдачи не формировали снежный ком.

🟠. Сессия — мероприятие очень волнительное. Но стоит помнить о том, что это возможность стать лучше. Разобраться с темами, научиться решать задачи. Навык преодоления трудностей ещё пригодится!

🟠. Момент напряжённый, поэтому будьте внимательны к себе и к ближним. Когда над тобой висит так много всего, сломаться проще всего. Не бойтесь просить помощи, говорить о своём самочувствии. Обращайте внимание на состояние товарищей. Быть может, маленький разговор с поддержкой в коридоре или личных сообщениях поможет не потерять себя.

🟠. Перфекционизм может мешать. В моменте понять материал на 100% очень сложно. Путь к пониманию может потребовать много времени. Что-то стоит заучить. Понимание придёт позже!

Желаю всем успешно справиться с возникающими трудностями! 🍀

#Мысли #Контент #Вышмат #Математика

👏 Оценка параметров [1/3] 👏

Пусть X_1, X_2, …, X_n — выборка (то есть независимые одинаково распределённые случайные величины) из некоторого распределения P с параметром θ. В серии постов обсудим способы оценить параметр по нашим наблюдениям. То есть наша задача построить оценку (статистику) T=T(X_1,…,X_n), которая в некотором смысле хорошо приближает параметр θ.

Что мы вкладываем в этот смысл. Какие важные требования предъявляем к оценке T?

🟠. Состоятельность. Для любого сколь угодно малого ε>0 при n стремящемся к бесконечности P( | T - θ | > ε ) стремится к 0.

🟠. Несмещённость. ET = θ. Или асимптотическая несмещённость: ET -> θ при n -> ∞.

🟠. Асимптотическая нормальность. Асимптотически несмещённая оценка является асимптотически нормальной, если √n * (T - θ) -> N(0, σ^2) при n -> ∞, где N(0, σ^2) — нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ^2 (асимптотическая дисперсия).

Конечно, оценка может удовлетворять, может не удовлетворять каждому из определений. Но чем больше хороших свойств у нас есть, тем более качественно мы можем приблизиться к параметру. В качестве измерения эффективности оценок зачастую используют квадратический риск, то есть
R = E(T - θ)^2.

#Вышмат #Математика #Контент

👏 Оценка параметров [2/3] 👏

Если у случайных величин из выборки есть конечная дисперсия, то можно показать, что выборочное среднее, то есть просто среднее арифметическое наблюдений

M = 1/n (X_1 + X_2 + ... + X_n).

Является состоятельной, несмещённой, асимптотически нормальной оценкой параметра θ = EX_1.

Отсюда и получается первый метод получения оценок - метод моментов. Он заключается в составлении системы, в которой приравниваются выборочные характеристики к истинным. Рассмотрим пример

Генератор случайных чисел выдаёт лишь числа 1, 2, 3, но число 2 с вероятностью в два раза больше, чем число 1. Оценить вероятность генерации каждого из чисел по десяти наблюдениям: 3, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3.

Пусть вероятность сгенерировать единицу P(1) = p, тогда P(2) = 2p, P(3) = 1 -3p.

Среднее значение сгенерированного числа есть 1*p + 2*2p + 3*(1-3p) = 3 - 4p. Приравняем это математическое ожидание к выборочному среднему: (3+2+3+2+1+1+3+2+3+3) / 10 = 2,3. Тогда

3 - 4p = 2,3
p = 0,175.

Таким образом, оценки вероятностей сгенерировать 1, 2, 3 соответственно равны 0,175; 0,35; 0,475.

Главный плюс данного метода - скорость. Минус - далеко не всегда получается эффективная оценка. 👉

#Вышмат #Математика #Контент

👏 Оценка параметров [3/3] 👏

Ещё один важный метод, о котором когда-то давно была серия постов, — метод максимального правдоподобия. Идея заключается в максимизации вероятности реализации выборки. Рассмотрим тот же пример:

Генератор случайных чисел выдаёт лишь числа 1, 2, 3, но число 2 с вероятностью в два раза больше, чем число 1. Оценить вероятность генерации каждого из чисел по десяти наблюдениям: 3, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3.

Пусть вероятность сгенерировать единицу P(1) = p, тогда P(2) = 2p, P(3) = 1 -3p.

Тогда вероятность реализации выборки из задачи (функция правдоподобия):

P = p^2 * (2p)^3 * (1-3p)^5.
P = 8p^5 * (1-3p)^5 -> max.

Логарифмирование не меняет точку максимума

l = ln(P) = ln(8) + 5ln(p)+5ln(1-3p).

Находим стационарную точку

l’ = 5/p - 15/(1-3p) = 0.
1 - 3p - 3p = 0.
p = 1/6.

Далее нетрудно показать, что это значение и будет точкой максимума функции правдоподобия.

Таким образом, наша оценка максимального правдоподобия:
P(1) = 1/6, P(2) = 1/3, P(3) = 1/2. ⚡️

#Вышмат #Математика #Контент

🚗 Предновогодняя математическая миссия 🚗

Сегодня в 6:00 сел на поезд из Питера. Семь часов был в Москве. И сейчас уже жду сапсан обратно. В 23:50 вернусь в Петербург!

Подробности будут совсем скоро. А пока что фотография с Красной площади! 🎹

#Контент #Жизнь

🦊 Теперь кандидат наук 🦊

Между защитой и присвоением степени проходит порядка 3-4 месяцев. Много отчётностей и проверок. Приказ, а после ещё около двух недель изготовление самого диплома.

И вот мой главный новогодний подарок — вчера я ездил в Москву, что привезти диплом. Всё произошло в последние рабочие дни, мне очень хотелось успеть закрыть вопрос в 2025 году. Получилось! Только что передал документы в ПОМИ. И уже сегодня будет поставлена последняя подпись организации, в которой защищался. 🙏

Прикрепляю приказ! А красивая корочка и обновление закрепа будут уже в январе! 🧡

#Жизнь

🏡 Всех поздравляю с наступающим Новым Годом! 🏡

🎆 Поздравляю с Новым 2026 Годом! 🎆

Всем желаю счастья и благополучия, крепкого здоровья и хорошего настроения. Желаю достичь поставленных целей! 🎆

Пусть этот год будет плодотворным и в математическом смысле! Желаю никому не опускать руки: будь то сложный экзамен, трудная задача для диссертации или решение рабочих проблем. В этом году всё получится! 🎁

#Мысли #Контент #Вышмат #Математика

📒 Про статистику и эконометрику 📒

Периодически поступают обращения, какие источники помогут разобраться с эконометрикой и прикладной статистикой. Сегодня случайно обнаружил потрясающую книгу. Высокий уровень математической строгости – приятно читать и разбираться.

Очень много дополнительных ссылок, интересных фактов, которые могут помочь в статистическом анализе. Много мотивации: зачем, почему, какие проблемы и преимущества есть в тех или иных моделях! Второй вечер читаю взахлёб! 📝

P.S. Для комфортного чтения желательно знание основных понятий математической статистики.

#Контент #Вышмат #Математика #Источники