🤍 Пост с постами 🤍

С начала учебного года к нам присоединилось достаточно много людей. Чтобы лучше понять, о чём этот канал, формирую список основных постов! 💬

🟡 Мотивация 🟡
1) Когда начнёт нравиться математика
2) Как устроен язык математики
3) Как меньше уставать
4) Все всё понимают, но не я...
5) Стопроцентное понимание
6) Раскрытие неопределенностей
7) Для второкурсников [1/2]
8) Для второкурсников [2/2]
9) Большие объёмы
10) Когда придёт осознание?
11) Дневник
12) Мы никогда не знаем, в какой момент щёлкнет
13) Я в академ
14) Каково вести уроки у детей после Мат-Меха
15) Мотивация: какая она бывает?
16) Мы справимся!
17) Поверхностности пост
18) Что делать с пересдачами?

🟡 Учёба и обучение 🟡
1) Про уровень общности
2) Как научить математике
3) Про рыбку и удочку
4) Высшая математика совсем не такая
5) Злость от непонимания
6) Про время освоения
7) Систематическая ошибка выжившего [1/2]
8) Систематическая ошибка выжившего [2/2]
9) Как выбраться?
10) Про учёбу перед сном
11) Про собственную учёбу
12) Про составление домашек
13) Практика и теория
14) Как разобраться с новой темой?
15) Как читать книги?
16) Матан самоучкой?
17) Про обучение детей [1], [2], [3], [4]
18) Про обучение студентов [1], [2], [3], [4]
19) Книги бумажные или электронные? [1], [2]

🟡 Эффективность 🟡
1) Про пробелы в знаниях
2) Про вычисления
3) Про окружение
4) Про порядок на столе
5) Время в пути
6) База
7) Режим сна
8) Про вызовы
9) Забыто то, что было в сентябре
10) Про зачёты
11) Про выявление проблем
12) Про ответы на экзаменах
13) Про важную роль маленьких дел
14) Про музыку и выполнение работ
15) Маска волка
16) Методичка есть? Тогда сейчас докурим и пойдём сдавать
17) Я знаю, что есть теорема!
18) Пишем дебильник
19) Продолжение про дебильники
20) Подготовка к экзаменам
21) Выбор спецкурсов
22) Выбор научника
23) Как эффективнее обрабатывать новую информацию?
24) Нужно ли дорешивать задачу до конца?

🟡 Высшая математика в жизни 🟡
1) Почему именно высшая математика
2) Что понял после выпуска из университета
3) Почему я выбрал теорию вероятностей
4) Как определить свой путь
5) Математика и смежные дисциплины
6) Про единицы измерения
7) Кем я хотел быть?
8) Математика и экономика
9) Математика и прога
10) Финансовая математика
11) Продолжение про финансовую математику

#Мысли #Контент #Вышмат #Учёба #Математика

😌 Ещё про биномиальные коэффициенты 😌

Про комбинаторные доказательства мы с вами поговорили, а как насчёт алгебраических? Докажем тождество:

(C_n^0)² + (C_n^1)² + ... + (C_n^n)² = C_(2n)^n.

1) Рассмотрим коэффициент перед xⁿ после раскрытия скобок (1+x)²ⁿ. По биному Ньютона получаем C_(2n)^n.

2) Теперь давайте рассмотрим выражение (1+x)²ⁿ как произведение двух скобок (1+x)ⁿ(1+x)ⁿ. Раскроем каждую из скобок по биному Ньютона, но перемножать пока не будем:

(1+x)ⁿ(1+x)ⁿ=(C_n^0+C_n^1 * x +...+C_n^n * xⁿ)(C_n^0+C_n^1 * x +...+C_n^n * xⁿ).

Чтобы найти коэффициент перед xⁿ после раскрытия оставшихся скобок, мы должны взять из первой скобки коэффициент перед x^k, а из второй коэффициент перед x^(n-k), после чего просуммировать по всевозможным k:

C_n^0 * C_n^n + C_n^1 * C_n^(n-1) + ... + C_n^n * C_n^0.

Осталось воспользоваться симметрией биномиальных коэффициентов C_n^k = C_n^(n-k) и записать равенство коэффициентов, которые мы нашли в пунках 1 и 2. 🤩

P.S. Комбинаторное доказательство данного тождества напишите в комментариях! Больше про это искать по запросу: "Свёртка Вандермонда", а про метод из поста хорошо написано в книге Виленкина "Комбинаторика" стр. 70.

#Математика #Вышмат #Контент

🎲 Мы строили, строили и наконец построили! 🎲

В ближайший понедельник (22 сентября) у меня защита диссертации! Событие масштабное и очень ответственное. Сейчас я вношу последние правки в презентацию.

В этом посте расскажу немного о самой работе, а далее (уже после защиты) оформлю серию постов, чтобы рассказать, как проходило написание диссертации по математике и сама защита.

Тема работы: Якобиевы ветвящиеся случайные блуждания,
Cпециальность: 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика.

🟠 О чём задача? Представим целочисленную полупрямую (то есть {0, 1, 2, 3, ...}). В нулевой момент времени в точке n находится единственная частица, которая начинает блуждать по данной полупрямой: спустя экспоненциальное время (то есть время между сменой позиций распределено экспоненциально) частица переходит в соседнюю точку полупрямой. К этому механизму добавляется процесс ветвления. Через некоторое экспоненциальное время, независимое от предыдущего, частица делится на k частиц, каждая из которых появляется в той же точке, где произошло деление. Новые частицы независимым образом начинают блуждать и делиться по тем же законам. Если k=0, то это означает гибель частицы. Параметры системы регулируются трёхдиагональной матрицей (матрицей Якоби).

🟠 Вопросы: чему равно среднее число частиц в некоторой точке m в момент времени t > 0 ? Как асимптотически ведёт себя среднее число частиц при стремлении t к бесконечности? Чему равен коэффициент корреляции между числом частиц в двух различных точках полупрямой? Как изменятся ответы, если нулевое положение станет поглощающим (то есть, при попадании частиц в точку 0, они погибают)?

🟠 В чем особенность данной задачи? Похожие задачи связаны с нахождением экспоненты оператора. В случае, когда процесс рассматривается на всей прямой, для вычислении экспоненты (при некоторых предположениях) может быть использовано дискретное преобразование Фурье. В описанной выше задаче строится аналог преобразования Фурье, связанный с классическими ортогональными многочленами. Особенностью данной задачи является наличие нетривиальных моделей ветвящихся случайных блужданий, в которых может быть получен точный ответ в терминах специальных функций.

🟠Что получено? Ответы на все поставленные вопросы из первого пункта. Результаты применены к конкретным моделям, связанным с многочленами Чебышёва I и II рода, Лежандра, Эрмита, Лагерра. Эти примеры представляют отдельный интерес за счёт техники вычисления интегралов с различными ортогональными многочленами.

P.S. Постарался рассказать о работе, которая на 80% состоит из трудоёмких вычислений и преобразований, без единой формулы)

#Жизнь #Математика #Вышмат

🙏 Как до этого додуматься? 🙏

Пост мотивации для тех, кто к нам присоединился недавно.

При изучении высшей математики возникает проблема: решение задачи понимаю, но не понимаю, как самостоятельно можно было додуматься до такого решения?

Как обычно, из воздуха взято выражение, которое надо преобразовать, заметить десяток вещей, рассмотреть три случая и выписать ответ.

В таких случаях я рекомендую:

🟠. Перевернуть ситуацию с головы на ноги (нууу, или с ног на голову). Не "Как можно было до этого до думаться?", а "Мои приятели офигеют с этого решения!". Задачи с красивыми нетривиальными решениями зачастую запоминаются ещё лучше. А если разобрать идею и рассказать её товарищам, то условие и решение отложатся ещё лучше.

🟠. Принять на веру. Если решение оказалось настолько фантастическим, что даже понять его не удалось, то стоит принять факт на веру. Спустя время стоит вернуться к задаче и её решению. Уверен, что будет в разы понятнее.

🟠. Найти другое решение. Например, если задача на остатки, можно перебрать все варианты. Пока это делаешь, начинаешь видеть закономерности и симметрии. Возможно, именно те, которые использовались в решении задачи.

-

Старшекурсники не дадут соврать, что со временем уже не так улетаешь с доказательств. Воспринимается проще: "Опять математичка напридумывала, а бедолагам-студентам разбираться". 🤷‍♂️

К слову будет один из моих любимых анекдотов: Методичка есть? Тогда сейчас докурим и пойдём сдавать.

❤️‍🩹 Кто уже сейчас попал в эмоциональную яму, держитесь, мы все через это проходили, нужно чуть больше времени, всё получится! ⚡️

P.S. И, конечно, в нашей беседе вас всегда поддержат. А если что-то сокровенное, то оно останется между нами в ЛС.

#Мысли #Учёба #Контент #Математика #Вышмат

😊 Про лекции и практики 😊
(Некоторые переживания и размышления)

Сейчас готовлюсь к субботней лекции и практике по теории вероятностей. И поймал себя на мысли, что с лекциями значительно проще!

🟠 Лекции. Формурию порядок тем, ключевые утверждения, доказательства, примеры. Главное — написать план, чтобы ничего не пропустить. Доказательства на текущий момент совсем простые (мы сейчас на формуле полной вероятности). А в качестве примеров беру свои любимые задачи средней сложности.

🟠 Практики. Группы у меня большие (>20 человек). И что по теорверу, что матану, в этом году вызываю студентов к доске (возможно, будут изменения!). И я ощутил, насколько тяжело написать решение задачи не своими руками. Отдельная трудность в том, чтобы в тетрадях у остальных осталось что-то внятное. Темп работы у всех разный, но почему-то многие (способные на собственные решения!) сидят и ждут решения на доске.

В связи с этим на практику уходит в два раза больше энергии. В том числе на подготовку задач на все случаи. Но я всё равно переживаю, что кто-то не записывает рассуждения (а это очень важно!) или в целом плохо воспринимает решение своих коллег у доски. 🥲

Сейчас я в размышлениях, как сделать практики эффективнее. А то скоро контрольные начнутся, нам нужны хорошие результаты!!! 📈

#Контент #Мысли #Математика #Вышмат

☀️ Наиболее вероятное число успехов ☀️

Рассмотрим n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p📝[0,1]. Обозначим через q = 1 - p вероятность неудачи. Давайте найдём наиболее вероятное число успехов k.

🟠. Ясно, что при q = 0 (нулевая вероятность неудачи) наиболее вероятное число успехов равно n, ведь вероятность n успехов в серии равна pⁿ = 1.

Аналогично при p = 0 (нулевая вероятность успеха) наиболее вероятностное число успехов равно 0.

🟠. Пусть p, q ≠ 0. Рассмотрим вероятность k успехов из n испытаний:

P(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k).

Пояснение: выбрали k испытаний, в котрых произошёл успех.

Тогда

P(k+1)/P(k) = ( (n-k)p ) / ( (k+1)q ).

Можно проверить, что данное отношение растёт по k до определённого момента, после чего — убывает. Чтобы найти этот момент, решим систему неравенств:

P(k+1)/P(k) ≤ 1 ≤ P(k)/P(k-1).

То есть мы находим такое k, что вероятность P(k) больше либо равна вероятностым P(k-1) и P(k+1).

Решая данную систему относильно k, получаем

np - q ≤ k ≤ np + p.

Заметим, что промежуток, в котором мы ищем целое k имеет длину 1. Поэтому решений либо одно, либо два. Так или иначе, при

k = [ (n+1)p ],

где квадратными скобками обозначается целая часть числа, мы получаем наибольшее значение вероятности.
Если (n+1)p оказывается целым, то нам подходит ещё k = (n+1)p - 1. Значение вероятностей при этих k совпадает.

🧸 С точки зрения полученной формулы рассмотрим простые примеры, которые легко проверить непосредственным вычислением.

Пример 1. Симметричную монету подбросили 4 раза. Какое число орлов наиболее вероятно? n = 4, p = 1/2. Ответ: [ 5/2 ] = 2.

Привет 2. Симметричную монету подбросили 5 раз. Какое число орлов наиболее вероятно? n = 5, p = 1/2. Ответ: [ 6/2 ] = 3 и, так как под целой частью находится целое число, нам подойдёт ещё и 3 - 1 = 2.

#Контент #Математика #Вышмат

Защита прошла успешно! ✨

Фотокарточка диссертантов с научным руководителем. Момент сразу после защит 🧡

#Жизнь #Математика

🧡 Друзья, всем спасибо за поддержку и поздравления! 🧡

За три года существования канала мы вместе прошли путь от "О жизни математика на 5 курсе" до "О жизни математика после защиты кандидатакой". Знаю, что у вас накопилось много вопросов:

🟠 Как удалось закончить аспирантуру за 2 года (вместо 4 курсов)?
🟠 Что нужно для написания диссертации?
🟠 Какие дальнейшие перспективы после защиты кандидатской?
🟠 Какие планы дальше?

Я почти ничего не писал про это. А всё потому, что было много трудностей. Защита неоднократно отодвигалась.❤️‍🩹 Поэтому я решил рассказать об этом почти день в день...

Теперь я заряжен на серию постов. В ближайшее время ответим на все вопросы и не только. Будет полезно и тем, кто планирует поступать в аспирантуру, и тем, кто всегда хотел понять, как стать учёным! ❣

P.S. А пока что я просто счастлив! От переизбытка эмоций даже уснуть не смог!

#Жизнь #Математика #Вышмат

🐱 Про частные уроки 🐱
(Защита защитой, но и работать нон-стопом продолжаем!)

Новый семестр уже набирает обороты, материал копится, а впереди первые контрольные. С основными пересдачами разобрались. И в связи с этим планирую сформировать небольшие группы для частных уроков по математическому анализу, линейной алгебре и аналитической геометрии. Возможно, и по другим дисциплинам, если будет желание!

Для этого уже обновил кнопку "🙋Урок" в боте @lav_math_bot.

Про формат занятий:
🟠 Количество человек в группе: 3-4.
🟠 В неделю 2+ часов занятий. Время — удобное для всех участников.
🟠 Регулярное курирование, проверка домашек, помощь с домашками из универа.
🟠 Уровень сложности зависит от состава групп, запросов участников. Ориентир по анализу — будем учиться решать задачи уровня сложности, сопоставимые с задачником Демидовича. По алгебре — Ким Крицков.
🟠 Идём в темпе с университетом, согласно программе.
🟠 Отдельная беседа, доступны видеозаписи.
🟠 Разбираем как теорию, так и практику. Решаем домашние задачи участников.

Данный формат является более бюджетным. И отлично подойдёт тем, кто хотел бы идти в ногу с программой. Эффективная работа в группе позволит сэкономить время освоение тем. Наша цель — не только решить задачи, разобрать теорию, но и научиться учиться, чтобы далее уже самостоятельно продираться через тернии к звёздам! 🌟

Записаться можно через бота @lav_math_bot. Там есть дополнительная информация. Либо — через ЛС @lav_100k.

❗️ Группу можем собрать по любой дисциплине, поэтому обязательно напишите, если у вас есть запрос!

#Учёба #Контент #Математика #Вышмат

👨‍🎓 Про аспирантуру [1/5] 👨‍🎓

Аспирантура — следующая ступень образования после высшего. Обычно обучение в аспирантуре длится 4 года. Поступить в аспирантуру можно после специалитета (5 лет) или бакалавриата и магистратуры (6 лет). Я шёл по первому пути.

Поступление в аспирантуру происходит на конкурсной основе. Большой вес имеют результаты вступительных испытаний и наличие статей. Цвет диплома играет меньшую роль.

В 2023 году я поступал в аспирантуру ПОМИ РАН (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук).

У меня были вступительные экзамены по математике и по английскому. Помимо этого был конкурс, для которого нужны были публикации, участие в конференциях, CV, мотивационное письмо, рекомендации научного руководителя, план исследований на все годы обучения в аспирантуре (список может отличаться в зависимости от организации). 😩

Отмечу отдельно, что при поступлении в ПОМИ РАН уже должен был быть научный руководитель (сотрудник одной из лабораторий института), а так же чёткий план дальнейшей работы. Всё это несомненно хорошо сказывается на дальнейшем обучении и написании диссертации. У меня получилось так, что ещё в конце 4 курса специалитета познакомился с научницей и начал решать задачу, которая лежит в основе диссертации. На момент поступления статья уже была одобрена журналом.

На конец 4 курса и на протяжении всего 5 курса специалитета у меня было два научных руководителя (в СПбГУ и в ПОМИ РАН). Я понимал сложность поступления именно в ПОМИ, поэтому активно работал на будущую диссертацию ещё на старших курсах. 👩‍💻

#Жизнь #Математика #Вышмат

👨‍🎓 Про аспирантуру [2/5] 👨‍🎓

Учёба в аспирантуре в аспирантуре нацелена на написание диссертационной работы. Однако закончить аспирантуру можно и без защиты диссера.

Обычно учёба в аспирантуре длится 3-4 года. Она может включать в себя спецкурсы, педагогическую практику (в ПОМИ пар как таковых нет, но педагогическая практика предполагается). К концу обучения необходимо сдать три экзамена: специальность, английский, философия. 👍

В связи с тем, что пар у меня не было, время я делил между написанием диссертации (про это поговорим в 3 части) и преподаванием (репетиторство и практика в СПбГУ). Такой формат располагает к научной работе. Когда нет давления в виде дедлайнов побочных пар, можно сконцентрироваться на главном. Однако требуется внутренняя дисциплина, чтобы заниматься самостоятельно.

Хоть пар и не было, на протяжении всего срока обучения 1-2 раза в неделю я приезжал в ПОМИ на два научных семинара: по теории вероятностей и по математической физике. Периодически и я докладывал о своих результатах на этих семинарах. Формат похож на лекцию: 1,5 часа у доски рассказываешь о своей задаче и процессе её решения, только слушатели — сотрудники ПОМИ РАН, в том числе преподаватели, которые когда-то (на специалитете) учили меня. Поэтому было очень волнительно. Каждый раз подготовка к такому докладу занимала половину дня!

Общение с научным руководителем происходило и в рамках этих семинаров, и дополнительно по готовности задач. Я решал до тех пор, пока получалось. После чего сообщал, что уже сделано, какие проблемы обнаружены. Научница внимательно слушала, проверяла и давала рекомендации по дальнейшему решению. И далее я пытался развивать предложенные идеи, исправлять проблемные места.

В этом плане мне очень повезло встретить такую научницу, которая всегда готова помочь, подсказать, объяснить. Я понимал ответственность, подводить никак нельзя! И от этого старался ещё больше.

Бесконечно благодарен за её труд! ❤️‍🔥🙏

#Жизнь #Учёбы #Вышмат #Математика

👨‍🎓 Про аспирантуру и про экстернат про философии [3/5] 👨‍🎓

Сами по себе экзамены не очень сложные. Я закрыл МАФ на 554.

🟠. Математика — профессиональные вопросы, составленные по книгам и статьям около темы диссертации.

🟠. Английский — чтение, перевод и пересказ технической литературы, а после — беседа на тему диссертации или в целом про область научных интересов.

🟠. Философия — продолжение той философии, которая была в университете, только в этот раз она сосредоточена на том, что такое наука.

С философией у меня произошла такая ситуация. В ПОМИ поставили экзамен только на конец июня 2025. Если бы я ждал до этого времени, то защита была бы лишь под Новый Год, а то и после...

Я понял, что медлить нельзя. В начале мая я прикрепился к аспирантуре СПбГУ, чтобы уже 19 мая экстерном сдать экзамен и сразу подать документы на защиту.

Само прикрепление стоило 23 тысячи. А главной особенностью являлось то, что у меня была всего одна попытка. Никаких вторых шансов. Либо пан, либо пропал!

Далее две недели безумной зубрёжки. За это время мне нужно было сделать реферат и подготовиться к письменному экзамену. В отделе экстерната мне выдали список вопросов, от друзей с Мат-меха я получил другой список вопросов. Первый оказался сильно устаревшим, с подготовкой по нему было бы не сдать...

На всякий случай я готовился по двум спискам. И ещё дополнительно смотрел лекции философии от ПОМИ на случай провала в мае.

Название предмета было одинаковым, а вот вопросы, ответы и имена философов, которые надо знать отличались. Пересечение было примерно по 1/3 материала. 😀

Но, как вы понимаете, философию я победил! И выиграл 3-6 месяца!

Следующую диссертацию защищаем по философии науки? 👍

#Жизнь

👨‍🎓 Про аспирантуру и написание диссертации [4/5] 👨‍🎓

Для защиты диссертации нужны хотя бы 3 статьи. И потому в первую очередь стоит сосредоточиться на написании статей.

В большом исследовании возникают небольшие подзадачи, каждая из которых представляет собственный интерес. Так получилось и у меня. Летом между 4 и 5 курсом я впервые начал думать о своей задаче. И в попытках решить количество вопросов только увеличивалось.

И, наверное, именно тогда и удалось сделать самый большой шаг к решению — смог найти метод построения различных моделей, в которых можно увидеть явный ответ, а не только общую формулу. 🙂

Большим преимуществом стало наличие классических ортогональных многочленов. Вы, наверное, знаете, как много у них замечательных свойств. Благодаря этому доклады были хорошо понятны слушателям.

На 5 курсе немного отвлекал диплом — он был по другой теме. А вот на 1 курсе аспы я полноценно погрузился в задачу. К началу второго курса аспирантуры уже было 3 статьи, а 4 находилась в препринте. И я начал собирать диссертацию.

Именно собирать. Нужно было объединить все статьи в одну большую работу. Когда я писал первые статьи, то не понимал всю важность автоматизации процесса.

🟠Если бы я мог сказать что-то себе из того времени: "С самой первой статьи вешай лейблы на все формулы, включай автонумерацию всего подряд — теорем, лемм, замечаний, формул".🟠

За пару месяцев я всё отладил. Частично переписал первые статьи, потому что за годы исследования был усовершенствован язык. Сшил разные куски. Дописал связующие разделы. Провёл сравнение всех результатов.

В итоге диссертация получилась сама собой к Новому Году 2024-2025. Все основные усилия были приложены к написанию статей. 🫰

#Жизнь

👨‍🎓 Про аспирантуру [5/5] 👨‍🎓

Когда диссертация написана и сданы все экзамены, начинается сбор различных документов. Ожидание всех отзывов (научный руководитель, оппоненты, ведущая организация), печать диссертации, авторефератов, оформление других документов происходило в течение 4 месяцев.

На самом деле это пустяки, но я почему-то последние полгода жил в напряжении. Мало уделял время научной работе (уже дальнейшей).

И вот, прошла уже неделя от защиты. Я чувствую лёгкость. С большим удовольствием работаю, езжу на семинары, вернулся к науке.

Это последний пост про аспирантуру. Я благодарю всех, кто следил за моим путём и был рядом в моменты, когда у меня опускались руки из-за того, как затянулась эта история. ❤️

Защита очень сближает! И я так рад, что многие написали в личные сообщения, в комментарии. За последнюю неделю увиделся с друзьями и приятелями, с которыми раньше мы откладывали встречи! 🧡

P.S. И уже успел с ветерком покататься по Крестовскому и под Лахтой на роликах. Месяц уже не выезжал, боялся травмироваться накануне защиты.

#Жизнь

✍️ Планы LM ✍️

Незаметно пролетел первый месяц учебного года. За это время свою работу успешно начали две олимпиадные группы. Теперь время помочь тем, кто уже в начале пути уже потерял себя(

🟠.  Сейчас есть одно свободное место в группу (3 человека) по математическому анализу 1 семестр. Старт в пятницу 20:00 мск. Одно занятие в неделю 1,5 часа (3000 рублей за занятие). Подробнее в ЛС @lav_100k.

🟠. Началась активная подготовка к интенсиву по пределам последовательностей и функций. В этот раз интенсив будет значительно более насыщенный в том плане, что занятия буду вести не один... Об этом совсем скоро!

🟠. Планирую переработку ряда практикумов, которые на текущий момент доступны в записи @lav_math_bot. Поэтому в течение месяца ряд из них буду закрыты, а доступ останется только у участников. Пока что есть возможность их приобрести. Новые материалы будут появляться постепенно.

#Контент #Учёба

😑 Про мультипликативность и аддитивность 😑

При решении задач очень важно подмечать структуры на множествах. И я очень часто перед решением задачи стараюсь объяснить, почему решать будем именно так, а не иначе.

Когда речь идёт про аддитивность модели, то имеется в виду, что в задаче в том или ином виде присутствует операция, которая ведёт себя как сложение (чаще всего это сложение и есть). В таком случае при решении будет удобнее пользоваться сложением и вычитанием.

Мультипликативные модели в свою очередь содержат операцию, которая ведёт себя как умножение.

Простой пример из первого семестра: исследуем на монотонность последовательность

x_n = 1/√1 + 1/√2 +...+1/√n - 2√n.

Здесь мы видим многократное сложение, делаем вывод, что удобнее будет воспользоваться разностью двух соседних членов последовательности:

x_(n+1) - x_n = 1/√(n+1) - 2√(n+1) + 2√n < 0 => x_n убывает.

Сравниваем разность с нейтральным элементом по сложению — нулём. Делаем вывод.

Второй пример: исследуем на монотонность последовательность

x_n = 1000ⁿ/n!.

Возведение в степени и факториал есть результат умножения, поэтому целесообразно посмотреть на частное двух соседних членов последовательности

x_(n+1)/x_n = 1000/(n+1).

В данном случае частное нужно сравнить с нейтральным элементом по умножению, то есть с единицей. При n>999 последовательность убывает. Иначе возрастает (в нестрогом смысле).

Соображения очень простые, не стоит о них забывать. Бывает, что подметить простую деталь — половина пути к успеху! ☺️

#Вышмат #Математика

🔥 Интенсив пределы последовательностей и функций 🔥
(Запись @lav_math_bot)

Открыт набор на интенсив по пределам! 14, 16, 18, 21, 23, 25 октября 20:00 - 21:30 мск.

6 насыщенных занятий по следующим темам:
🟠 Метод математической индукции. Бином Ньютона.
🟠 Определение предела последовательности. Проверке по определению уделим особое внимание!!!
🟠 Доказательство основных утверждений (единственность предела сходящейся последовательности, ограниченность сходящейся последовательности, теорема о двух милиционерах, арифметические операции со сходящимися последовательностями и т.д.)
🟠 Основные приёмы вычисления пределов последовательностей.
🟠 Теорема Вейерштрасса.
🟠 Критерий Коши.
🟠 Частичные пределы.
🟠 Определение предела функций по Коши, по Гейне, на языке окрестностей. Проверке по определению уделим особое внимание!!!
🟠 Перенос основных утверждений из теории пределов последовательностей.
🟠 Основные приёмы вычисления пределов функций.
🟠 Замечательные пределы.
🟠 Эквиваленты, о-символика.
🟠 Нахождение главного члена асимптотики.

Видеозапись уроков будет доступна только участникам в закрытой беседе. Смотреть, решать, задавать вопросы можно будет не только эти две недели, но и на протяжении всего года! Запись @lav_math_bot по кнопке "🔥 Интенсивы".

Данное мероприятие является отличной возможностью
🟡 Наверстать упущенное.
🟡 Не только научиться решать задачи, но и понять, как самостоятельно пробивать новые тему.
🟡 Сэкономить денежные и временные ресурсы, если нет возможности заниматься индивидуально.
🟡 Получить подсказки и решения к тем задачам, которые задают в университете (общение на интенсиве и между занятиями не ограничивается только описанными темами).
🟡 Освежить в памяти материал, если первый семестр анализа уже забылся.

В этот раз задач будет ещё больше! И чтобы никто не остался без внимания, работать будем вдвоём @lav_100k (уроки и проверки) и @bulletqueen (проверки и поддержка). Поэтому без внимания никто не останется! 🔥

P.S. Как всегда, при повышенном спросе будут назначены дополнительные консультации при необходимости!

#Учёба #Вышмат #Математика #Интенсивы

💐 Учителей и преподавателей поздравляю с профессиональным праздником! 💐

Желаю успехов вам и вашим ученикам! 🧡

P.S. Математичка была права!

#Жизнь