🧑‍🎓 Поздравляю с началом учебного года! 🧑‍🎓

Желаю всем, чтобы каждый день в этом учебном году стал днём знаний! И чтобы на экзаменах математичка не валила )

P.S. Тем временем я уже на стороне математичек! 😀 Пробираюсь на физфак СПбГУ на проверку входного тестирования по матеше.

#Математика #Вышмат #Жизнь

🔮 Основные онлайн калькуляторы 🔮

По традиции в начале учебного года формирую актуальный пост с калькуляторами и сайтами, которые помогут при решении задач!

1. Wolfram Alpha — универсальный калькулятор.
2. DeepSeek — бесплатная минималистическая нейросеть, помогающая при решении задач и разборе теории.
3. Desmos — графический калькулятор для работы в плоскости ℝ².
4. Desmos 3D — графический калькулятор для работы в пространстве ℝ³.
5. math3d — графический калькулятор для работы в пространстве ℝ³.
6. Matrix Calculator — матричный калькулятор.
7. Matrix Calculator — матричный калькулятор для нахождения собственных чисел и собственных векторов, построения жордановой нормальной формы.
8. Калькуляторы по аналитической геометрии.
9. Таблицы.
10. Geogebra — ещё один графический калькулятор.
11. Интегральный калькулятор.
12. Различные калькуляторы.
13. Построение фазовых портретов.

Используйте эти ресурсы с умом! ☺️

#Контент #Источники

🟠 Набор в олимпиадную группу 🟠

Начался новый учебный год, самое время прокачаться. И чтобы эффективно использовать время, дать хороший толчок, я решил набрать группу для подготовки к олимпиадам, собеседованиям, вступительным испытаниям. Цель — научиться решать задачи из ШАДа, ЯПрофессионала, Авито, Тинькофф🧡 Расскажу о том, как помогаю при решении вступительных на заказ, поделюсь секретами.

Занятия регулярные, продолжительный срок, записи в закрытой беседе. Старт 14 сентября 10:00-12:00 мск, далее каждое воскресенье до Нового Года.

Список тем (будет расширяться и меняться в зависимости от уровня участников):
🟠 Линейная алгебра (сразу жорданова нормальная форма, работа с собственными числами и векторами, вычисление функций от матриц).
🟠 Комбинаторная теория вероятностей.
🟠 Случайные величины.
🟠 Цепи Маркова.
🟠 Специальные функции (гамма-, бета-), вычисление интегралов с параметрами.
🟠 Преобразование Фурье.
🟠 Экстремальные задачи, оптимизация (задачи математического программирования, вариационные задачи).
🟠 Теория чисел.
🟠 Неравенства.

Преимущества:
⭐️ Усиленная подготовка с большим количеством заданий на протяжении всего времени.
⭐️ Возможность дальнейшей самостоятельной подготовки на базе собранных материалов.
⭐️ Работа как над командными задачами, так и над индивидуальными. Курирование в течение недели.
⭐️ Осознание, что все задачи подъёмные и подготовиться реально!
⭐️ В начале учебного года, пока есть время.

Требования:
✅ Наличие желания и времени.
✅ От 2 курса технического направления.
✅ Знание на базовом уровне следующих дисциплин: анализ, линал, ангем, дифференциальные уравнения, теория вероятностей.
✅ Владение любым языком программирования (для решения некоторых математических задач из домашки).

Стоимость: 4500 руб/занятие. Все видео будут в беседе, так что можно будет пересматривать, если, например, получится присутствовать лишь частично.

Участие после предварительной беседы в личных сообщениях @lav_100k! Если хочется принять участие, по всем пунктам нравится, но сомневаетесь, что потянете по уровню, то об этом нужно написать. Несколько вопросов помогут мне оценить ваш уровень и готовность! 🤍

#Учёба #Вышмат #Интенсивы #Математика

🔒 Про аналогии 🔒

При изучении высшей математики очень важно подмечать аналогии.

Например, для функции одной переменной:

Необходимое условие эстремума дифференцируемой функции в точке M — нулевая производная в этой точке.

А для функции нескольких переменных:

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции в точке M — нулевой градиент в этой точке.

(Напоминание: градиент есть вектор-строка частных производных функции нескольких переменных.)

И в целом тема "Функции нескольких переменных" естественным образом сопоставляются с тем, что мы знаем про функции одной переменной. 😏

Ценность данных аналогий в их предсказательной способности. Например, если мы рассмотрим задачу исследования на экстремум интегрального функционала:

J [y] = 📝F(x, y, y') dx —> extr.

(Например, функционал длины дуги гладкой кривой ставит в соответствие функции y значение 📝√(1 + y'²) dx, то есть F(x, y, y') = √(1 + y'²).)

Даже если мы незнакомы с вариационным исчислением, то на основании исследования на экстремум функций (зависимость y от переменной x), можно предположить, что исследование функционалов (зависимость J от функции y) будет как-то связана с вычислением производной и приравниванием её к нулю. Так оно и есть! Вот только производную следует понимать в определённом смысле (нужно взять предел приращения функционала по направлению функции, тогда мы получим слабый дифференциал (Гато)):

δ J [y] h = lim ( J [y+th] – J [y] ) / t as t –> 0.

Оказывается, что

Необходимым условием экстремума функционала J (при требовании нужных условий на F) является δ J [y] h = 0 для всех допустимых приращений h.

А воспользовавшись первой леммой вариационного исчисления (лемма Дюбуа-Реймона), мы приходим к уравнению Эйлера-Лагранжа, но это уже совсем другая история... 😌

P.S. Нулевая производная функции одной переменной равносильна нулевым производным справа и слева. Нулевой градиент равносилен нулевой производной по всем направлениям. Надеюсь, аналогию проследили)

#Вышмат #Математика #Контент

🎒 Моя первая лекция в универе 🎒

Боевое крещение пройдено! Начал вести пары по теории вероятностей на 3 курсе физического факультета СПбГУ.

Признаюсь, хоть ТВ и является моим основным профилем, я волновался перед первым занятием! Ведь сам слушателем на потоковой лекции ни разу не был, а тут сразу нужно вещать))) 🥹

От первой лекции зависит, как курс воспримется в целом. Поэтому было очень важно рассказать подробно, ёмко, со взглядом в будущее! Мне очень хотелось, чтобы все поняли введение (комбинаторика), ведь это поможет студентам справиться с практикой!

Надеюсь, что у меня получилось! 🔥 Вопросы были — а это уже хороший знак, ведь без понимания вопросов не возникает (конечно, кроме того, как сдать экзамен?😁)!

P.S. Занятие ощущается совсем иначе, чем частные уроки. Особая атмосфера и бесценный опыт удержания внимания большой аудитории!

#Жизнь #Мысли #Математика #Вышмат

😳 Как разобраться с комбинаторикой? 😳

Вместе с новым семестром появляются и новые предметы. В этом посте порассуждаю о том, как ботать комбинаторику, которая чаще всего встречается или как отдельный предмет (на матфаках), или как часть дискретной математики или теории вероятностей.

0. Комбинаторика встречается во всех разделах математики. Может быть верным помощником при решении задач, упрощая рассуждения, уменьшая перебор случаев, ускоряя вычисления. Поэтому решать задачи по комбинаторике полезно вне зависимости от того, есть ли она по программе! 🥰

1. Многие комбинаторные рассуждения требуют значительного времени для осознания. Вспоминаю, как ещё в школе не сразу понял, почему число способов переставить n предметов есть n! = n * (n-1) * ... * 1. Ступор был в тот момент, когда переходили к выбору второго предмета, зафиксировав какой-то первый. Мне казалось, что в таких рассуждениях что-то упускаем. Чем больше задач мы решаем, тем проще будут идти новые.

2. Не лениться выполнять полный перебор для малых значений параметров. Даже имея решение задачи, попробуйте прогнать ответ на маленьких числах. Особенно хорошо будет, если удастся выполнить полный перебор согласно алгоритму решения задачи. Рутинная работа с перебором поможет научиться структурировать перебор (а это тоже важно!), лучше почувствовать закономерности, запомнить решение задачи.

3. Разбирать разные подходы к решению одной и той же задачи. Зачастую мы запоминаем какое-то одно доказательство, одно решение (то, что более понятно). При изучении комбинаторики разбирать важные подходы очень важно. Это не только увеличивает наш запас инструментов, но и развивает чуйку.

Одна из основных книжек, которую я обычно рекомендую к комбе, дискретке, теорверу, — Виленкин "Комбинаторика" (прикрепил к посту). На первый взгляд может показаться, что книга для дошколят (за счёт интерпретации задач и картинок), но ближе к середине начинаешь чувствовать глубину! ☺️

#Контент #Источники #Вышмат #Математика

🙃 Сегодня начал учебный год в ИТМО 🙃

Практики по анализу — хорошая возможность собрать наработки последних лет в один большой файл. Именно этим я и займусь параллельно с подготовкой к занятиям! Ближе к концу семестра сохраню на канале получившийся файл! 🤗

В целом могу сказать, что мне понравилось в ИТМО! Всё хорошо организовано, удобно, современно!

#Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

✏️ Заметки про биномиальные коэффициенты [1/2] ✏️

И на первой лекции по теорверу, и на первой практике по анализу у нас возникли биномиальные коэффициенты C_n^k. Их можно определять как коэффициенты при a^k b^(n-k) после раскрытия скобок (a+b)ⁿ. А можно как число сочетаний, то есть число способов выбрать из n предметов k предметов без учёта порядка.

В силу того, что первый предмет мы можем выбрать n способами, второй — n-1 способом, ..., k-ый — n-k+1 способом, получаем n*(n-1)*...*(n-k+1) способов выбрать предметы с учётом порядка. Разделив на количество способов переставить эти предметы k!, мы получаем формулу

C_n^k = n*(n-1)*...*(n-k+1)/k! = n!/(k!*(n-k)!)

Нетрудно найти

C_n^0 = 1, C_n^1 = n, C_n^2 = n(n-1)/2.

Докажем комбинаторно некоторые тождества с биномиальными коэффициентами.

🟠. C_n^k = C_n^(n-k).

Число способов выбрать k предметов из n равно числу способов выбрать n-k предметов, которые мы не выберем.

🟠. k*C_n^k = n*C_(n-1)^(k-1).

Число способов выбрать k предметов из n предметов и один из выбранных предметов покрасить равно числу способов покрасить один предмет и добрать к нему k-1 предмет из оставшихся n-1.

🟠. C_n^k = C_(n-1)^(k-1) + C_(n-1)^k.

Первый предмет будем считать особым. Тогда при выборе k предметов из n предметов мы либо берём особый и добираем к нему k-1 предмет из оставшихся n-1, либо не берём и добираем k предмет из оставшихся n-1.

🟠. C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 +...+ C_n^n = 2^n.

Число способов выбрать k предметов из n предметов без учёта порядка есть число k-элементных подмножеств n-элементного множества. Таким образом, слева стоит число всех подмножеств n-элементного множества. Справа тоже стоит это число, ведь для формирования подмножества каждый из n предметов мы либо берём, либо нет: 2*2*...*2=2ⁿ.

Во второй части поговорим про бином Ньютона.

#Вышмат #Математика #Контент

✏️ Заметки про биномиальные коэффициенты [2/2] ✏️

Следующее свойство особенно важно. Бином Ньютона:

🟠. (a+b)^n = C_n^0 a^0 b^n + C_n^1 a^1 b^(n-1) + ... + C_n^k a^k b^(n-k) + ... + C_n^n a^n b^0.

Коэффициент перед a^k b^(n-k) определяется числом способов выбрать из n скобок k скобок, в которых мы выбрали a. В остальных скобках автоматически выбирается b.

Учитывая свойства выше, мы можем собрать коэффициенты в одной таблице, называемой треугольником Паскаля (см. картинку ниже). Данный бесконечный треугольник заполняется сверху вниз. В вершине ставится C_0^0 = 1, по краям C_n^0 = C_n^n = 1. В строках идут последовательно C_n^k при k от 0 до n. Строки удобнее нумеровать от нуля, поэтому вершина — нулевая строка.

🟠 По свойству 1 имеется симметрия относительно центра строки.
🟠 В n-ой строке находится n+1 число, каждое из которых по свойству 3 получается суммой двух стоящих над ним.
🟠 По свойству 4 сумма элементов в n-ой строке равна 2^n.
🟠 По свойству 5 в n-ой строке записаны коэффициенты разложения многочлена (1+x)^n по степеням x.

У биномиальных коэффициентов бесчисленное множество интересных тождеств, часть из которых можно увидеть с помощью треугольника Паскаля.

В завершении заметок ссылка на пост, который писал примерно год назад про суммы биномиальных коэффициентов:
часть 1, часть 2. 😘

#Вышмат #Математика #Контент

🟠 Набор в олимпиадную группу 🟠

Интерес к олимпиадному движению оказался очень велик. И первая группа полностью сформирована!

Из-за требований к достаточно высокому начальному уровню, кому-то пришлось отказать в участии... 👉

Естественным образом сформировалась группа участников, ожидающих начала второго набора или донабора.

Так ближайший набор в ШАД будет весной 2026, терять осень в ожидании не хочется. И я приглашаю во вторую олимпиадную группу!

Список тем тот же (но траектория движения и домашние задания будут зависеть от понимания участников). Формат тот же (https://t.me/lav_math/1065). В группе будет 4 или 5 человек. Занятия каждое воскресенье 12:30 - 14:30 МСК. Запись через ЛС @lav_100k.

На момент оформления поста группа 3/5. 🤍

#Учёба #Вышмат #Математика

🤔 Как решать дифуры? 🤔

Напоминаю, что у меня на YouTube есть два плейлиста, посвящённые дифференциальным уравнениям первого порядка и высшего порядка. Небольшие видео с общим методом решения и примерами для каждого вида уравнений. Можно быстро разобраться в теме.

Для практик по дифференциальным уравнениям отлично подходит задачник Филиппова. В начале кратко изложена теория, потом несколько примеров и очень много задач. Сборник популярный, поэтому на него есть онлайн-решебники. 🐱


#Контент #Учёба #Источники #Вышмат #Математика

🪙 Как сделать честную монетку из нечестной 🪙

Суббота теперь — день теорвера!

Монета со смещённым центром тяжести падает Орлом с неизвестной вероятностью p из (0,1). Как организовать честную жеребьёвку с помощью такой монеты?

Подкинем монетку дважды. Если выпадает Орёл и Решка, то выигрывает первый игрок. Если выпадает Решка и Орёл, то выигрывает второй игрок. Вероятность каждого из этих событий равна pq. Если выпадает Орёл-Орёл или Решка-Решка, то подбрасываем заново. Вероятность этого события p²+q². Тогда, вероятность, что выигрывает первый равна

pq + (p²+q²)pq + (p²+q²)²pq + ... = pq/(1-p²-q²) = pq/(2pq) = 1/2.

Пояснение: складываем вероятность выиграть на первой паре бросков, на второй, на третьей и так далее...
Можно было обойтись без геометрической прогрессии, рассмотрев вероятность при условии того, что раунд решающий. 😉

#Контент #Вышмат #Математика

🤍 Пост с постами 🤍

С начала учебного года к нам присоединилось достаточно много людей. Чтобы лучше понять, о чём этот канал, формирую список основных постов! 💬

🟡 Мотивация 🟡
1) Когда начнёт нравиться математика
2) Как устроен язык математики
3) Как меньше уставать
4) Все всё понимают, но не я...
5) Стопроцентное понимание
6) Раскрытие неопределенностей
7) Для второкурсников [1/2]
8) Для второкурсников [2/2]
9) Большие объёмы
10) Когда придёт осознание?
11) Дневник
12) Мы никогда не знаем, в какой момент щёлкнет
13) Я в академ
14) Каково вести уроки у детей после Мат-Меха
15) Мотивация: какая она бывает?
16) Мы справимся!
17) Поверхностности пост
18) Что делать с пересдачами?

🟡 Учёба и обучение 🟡
1) Про уровень общности
2) Как научить математике
3) Про рыбку и удочку
4) Высшая математика совсем не такая
5) Злость от непонимания
6) Про время освоения
7) Систематическая ошибка выжившего [1/2]
8) Систематическая ошибка выжившего [2/2]
9) Как выбраться?
10) Про учёбу перед сном
11) Про собственную учёбу
12) Про составление домашек
13) Практика и теория
14) Как разобраться с новой темой?
15) Как читать книги?
16) Матан самоучкой?
17) Про обучение детей [1], [2], [3], [4]
18) Про обучение студентов [1], [2], [3], [4]
19) Книги бумажные или электронные? [1], [2]

🟡 Эффективность 🟡
1) Про пробелы в знаниях
2) Про вычисления
3) Про окружение
4) Про порядок на столе
5) Время в пути
6) База
7) Режим сна
8) Про вызовы
9) Забыто то, что было в сентябре
10) Про зачёты
11) Про выявление проблем
12) Про ответы на экзаменах
13) Про важную роль маленьких дел
14) Про музыку и выполнение работ
15) Маска волка
16) Методичка есть? Тогда сейчас докурим и пойдём сдавать
17) Я знаю, что есть теорема!
18) Пишем дебильник
19) Продолжение про дебильники
20) Подготовка к экзаменам
21) Выбор спецкурсов
22) Выбор научника
23) Как эффективнее обрабатывать новую информацию?
24) Нужно ли дорешивать задачу до конца?

🟡 Высшая математика в жизни 🟡
1) Почему именно высшая математика
2) Что понял после выпуска из университета
3) Почему я выбрал теорию вероятностей
4) Как определить свой путь
5) Математика и смежные дисциплины
6) Про единицы измерения
7) Кем я хотел быть?
8) Математика и экономика
9) Математика и прога
10) Финансовая математика
11) Продолжение про финансовую математику

#Мысли #Контент #Вышмат #Учёба #Математика

😌 Ещё про биномиальные коэффициенты 😌

Про комбинаторные доказательства мы с вами поговорили, а как насчёт алгебраических? Докажем тождество:

(C_n^0)² + (C_n^1)² + ... + (C_n^n)² = C_(2n)^n.

1) Рассмотрим коэффициент перед xⁿ после раскрытия скобок (1+x)²ⁿ. По биному Ньютона получаем C_(2n)^n.

2) Теперь давайте рассмотрим выражение (1+x)²ⁿ как произведение двух скобок (1+x)ⁿ(1+x)ⁿ. Раскроем каждую из скобок по биному Ньютона, но перемножать пока не будем:

(1+x)ⁿ(1+x)ⁿ=(C_n^0+C_n^1 * x +...+C_n^n * xⁿ)(C_n^0+C_n^1 * x +...+C_n^n * xⁿ).

Чтобы найти коэффициент перед xⁿ после раскрытия оставшихся скобок, мы должны взять из первой скобки коэффициент перед x^k, а из второй коэффициент перед x^(n-k), после чего просуммировать по всевозможным k:

C_n^0 * C_n^n + C_n^1 * C_n^(n-1) + ... + C_n^n * C_n^0.

Осталось воспользоваться симметрией биномиальных коэффициентов C_n^k = C_n^(n-k) и записать равенство коэффициентов, которые мы нашли в пунках 1 и 2. 🤩

P.S. Комбинаторное доказательство данного тождества напишите в комментариях! Больше про это искать по запросу: "Свёртка Вандермонда", а про метод из поста хорошо написано в книге Виленкина "Комбинаторика" стр. 70.

#Математика #Вышмат #Контент

🎲 Мы строили, строили и наконец построили! 🎲

В ближайший понедельник (22 сентября) у меня защита диссертации! Событие масштабное и очень ответственное. Сейчас я вношу последние правки в презентацию.

В этом посте расскажу немного о самой работе, а далее (уже после защиты) оформлю серию постов, чтобы рассказать, как проходило написание диссертации по математике и сама защита.

Тема работы: Якобиевы ветвящиеся случайные блуждания,
Cпециальность: 1.1.4. Теория вероятностей и математическая статистика.

🟠 О чём задача? Представим целочисленную полупрямую (то есть {0, 1, 2, 3, ...}). В нулевой момент времени в точке n находится единственная частица, которая начинает блуждать по данной полупрямой: спустя экспоненциальное время (то есть время между сменой позиций распределено экспоненциально) частица переходит в соседнюю точку полупрямой. К этому механизму добавляется процесс ветвления. Через некоторое экспоненциальное время, независимое от предыдущего, частица делится на k частиц, каждая из которых появляется в той же точке, где произошло деление. Новые частицы независимым образом начинают блуждать и делиться по тем же законам. Если k=0, то это означает гибель частицы. Параметры системы регулируются трёхдиагональной матрицей (матрицей Якоби).

🟠 Вопросы: чему равно среднее число частиц в некоторой точке m в момент времени t > 0 ? Как асимптотически ведёт себя среднее число частиц при стремлении t к бесконечности? Чему равен коэффициент корреляции между числом частиц в двух различных точках полупрямой? Как изменятся ответы, если нулевое положение станет поглощающим (то есть, при попадании частиц в точку 0, они погибают)?

🟠 В чем особенность данной задачи? Похожие задачи связаны с нахождением экспоненты оператора. В случае, когда процесс рассматривается на всей прямой, для вычислении экспоненты (при некоторых предположениях) может быть использовано дискретное преобразование Фурье. В описанной выше задаче строится аналог преобразования Фурье, связанный с классическими ортогональными многочленами. Особенностью данной задачи является наличие нетривиальных моделей ветвящихся случайных блужданий, в которых может быть получен точный ответ в терминах специальных функций.

🟠Что получено? Ответы на все поставленные вопросы из первого пункта. Результаты применены к конкретным моделям, связанным с многочленами Чебышёва I и II рода, Лежандра, Эрмита, Лагерра. Эти примеры представляют отдельный интерес за счёт техники вычисления интегралов с различными ортогональными многочленами.

P.S. Постарался рассказать о работе, которая на 80% состоит из трудоёмких вычислений и преобразований, без единой формулы)

#Жизнь #Математика #Вышмат

🙏 Как до этого додуматься? 🙏

Пост мотивации для тех, кто к нам присоединился недавно.

При изучении высшей математики возникает проблема: решение задачи понимаю, но не понимаю, как самостоятельно можно было додуматься до такого решения?

Как обычно, из воздуха взято выражение, которое надо преобразовать, заметить десяток вещей, рассмотреть три случая и выписать ответ.

В таких случаях я рекомендую:

🟠. Перевернуть ситуацию с головы на ноги (нууу, или с ног на голову). Не "Как можно было до этого до думаться?", а "Мои приятели офигеют с этого решения!". Задачи с красивыми нетривиальными решениями зачастую запоминаются ещё лучше. А если разобрать идею и рассказать её товарищам, то условие и решение отложатся ещё лучше.

🟠. Принять на веру. Если решение оказалось настолько фантастическим, что даже понять его не удалось, то стоит принять факт на веру. Спустя время стоит вернуться к задаче и её решению. Уверен, что будет в разы понятнее.

🟠. Найти другое решение. Например, если задача на остатки, можно перебрать все варианты. Пока это делаешь, начинаешь видеть закономерности и симметрии. Возможно, именно те, которые использовались в решении задачи.

-

Старшекурсники не дадут соврать, что со временем уже не так улетаешь с доказательств. Воспринимается проще: "Опять математичка напридумывала, а бедолагам-студентам разбираться". 🤷‍♂️

К слову будет один из моих любимых анекдотов: Методичка есть? Тогда сейчас докурим и пойдём сдавать.

❤️‍🩹 Кто уже сейчас попал в эмоциональную яму, держитесь, мы все через это проходили, нужно чуть больше времени, всё получится! ⚡️

P.S. И, конечно, в нашей беседе вас всегда поддержат. А если что-то сокровенное, то оно останется между нами в ЛС.

#Мысли #Учёба #Контент #Математика #Вышмат

😊 Про лекции и практики 😊
(Некоторые переживания и размышления)

Сейчас готовлюсь к субботней лекции и практике по теории вероятностей. И поймал себя на мысли, что с лекциями значительно проще!

🟠 Лекции. Формурию порядок тем, ключевые утверждения, доказательства, примеры. Главное — написать план, чтобы ничего не пропустить. Доказательства на текущий момент совсем простые (мы сейчас на формуле полной вероятности). А в качестве примеров беру свои любимые задачи средней сложности.

🟠 Практики. Группы у меня большие (>20 человек). И что по теорверу, что матану, в этом году вызываю студентов к доске (возможно, будут изменения!). И я ощутил, насколько тяжело написать решение задачи не своими руками. Отдельная трудность в том, чтобы в тетрадях у остальных осталось что-то внятное. Темп работы у всех разный, но почему-то многие (способные на собственные решения!) сидят и ждут решения на доске.

В связи с этим на практику уходит в два раза больше энергии. В том числе на подготовку задач на все случаи. Но я всё равно переживаю, что кто-то не записывает рассуждения (а это очень важно!) или в целом плохо воспринимает решение своих коллег у доски. 🥲

Сейчас я в размышлениях, как сделать практики эффективнее. А то скоро контрольные начнутся, нам нужны хорошие результаты!!! 📈

#Контент #Мысли #Математика #Вышмат

☀️ Наиболее вероятное число успехов ☀️

Рассмотрим n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p📝[0,1]. Обозначим через q = 1 - p вероятность неудачи. Давайте найдём наиболее вероятное число успехов k.

🟠. Ясно, что при q = 0 (нулевая вероятность неудачи) наиболее вероятное число успехов равно n, ведь вероятность n успехов в серии равна pⁿ = 1.

Аналогично при p = 0 (нулевая вероятность успеха) наиболее вероятностное число успехов равно 0.

🟠. Пусть p, q ≠ 0. Рассмотрим вероятность k успехов из n испытаний:

P(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k).

Пояснение: выбрали k испытаний, в котрых произошёл успех.

Тогда

P(k+1)/P(k) = ( (n-k)p ) / ( (k+1)q ).

Можно проверить, что данное отношение растёт по k до определённого момента, после чего — убывает. Чтобы найти этот момент, решим систему неравенств:

P(k+1)/P(k) ≤ 1 ≤ P(k)/P(k-1).

То есть мы находим такое k, что вероятность P(k) больше либо равна вероятностым P(k-1) и P(k+1).

Решая данную систему относильно k, получаем

np - q ≤ k ≤ np + p.

Заметим, что промежуток, в котором мы ищем целое k имеет длину 1. Поэтому решений либо одно, либо два. Так или иначе, при

k = [ (n+1)p ],

где квадратными скобками обозначается целая часть числа, мы получаем наибольшее значение вероятности.
Если (n+1)p оказывается целым, то нам подходит ещё k = (n+1)p - 1. Значение вероятностей при этих k совпадает.

🧸 С точки зрения полученной формулы рассмотрим простые примеры, которые легко проверить непосредственным вычислением.

Пример 1. Симметричную монету подбросили 4 раза. Какое число орлов наиболее вероятно? n = 4, p = 1/2. Ответ: [ 5/2 ] = 2.

Привет 2. Симметричную монету подбросили 5 раз. Какое число орлов наиболее вероятно? n = 5, p = 1/2. Ответ: [ 6/2 ] = 3 и, так как под целой частью находится целое число, нам подойдёт ещё и 3 - 1 = 2.

#Контент #Математика #Вышмат

Защита прошла успешно! ✨