Lav Math | Вышмат 🧡

🤓

Про верификацию*

🤓

Порой слушаешь человека и понимаешь, что он явно лукавит, но поймать на лжи его не можешь🤨. Современные компании, проводящие акции, спам-реклама с выгодными предложениями, распродажи… Все мы понимаем, что есть подвох. Но в чём? Будет ли прибыльная компания торговать себе в убыток👀?

Цель данного поста — на примере простой задачи показать один из методов, помогающих в верификации «истинности» рассуждений. Рассмотрим высказывание:

«Волк сказал, что придёт, если не будет дождя. Идёт дождь. Стало быть, Волк не придёт.».

Возникает вполне естественный вопрос: «А верно ли это высказывание?». Предлагаю подумать самостоятельно. 😳

Для решения этой задачи мы будем использовать некоторую теоретико-модельную теорию классического исчисления высказываний. На самом деле до ответа можно дойти и естественными рассуждениями.

Вообще стоит отметить, что естественный язык обладает изъянами: неточность формулировок, двойственность понятий. Многое зависит и от интерпретации тех или иных слов естественного языка. 🫣

Высказывание для нас — повествовательное предложение, построенное особым образом. Характерным допущением для классической логики высказываний является допущение о том, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, но ни то, ни другое одновременно.

Наша цель — перевести предложение из естественного языка в формульный. Например, вместо «и» в естественном языке мы будем писать «&», вместо конструкции «если …, то …» будем использовать значок импликации «⊃».

Обозначим за «И» высказывание «Идёт дождь». Формулу «Волк придёт» обозначим за «П». Тогда наш список высказываний после такого процесса примет вид: «¬Д ⊃ П, Д, ¬П». Формализуя процесс наших естественных рассуждений, мы хотим проверить: следует ли из первых двух высказываний списка выше третье высказывание. В данном случае первые два высказывания списка называются посылками, а третье — заключением, что естественно.

Стоит теперь формально определить понятие «следования». Итак, посмотрим на вид формулы Д. Это предложение «идет дождь». Такие высказывания называются «атомарными» или атомами, ибо не имеют ни один из видов «¬А», «А ⊃ В», «А & В», «А v В». Ясно, что высказывание «идет дождь» является атомарным. Именно атомам мы и будем приписать значения t или f, а для каждого из вышеперечисленных символов определим таблицу истинности, с помощью которой мы сможем вычислять истинность неатомарной или же сложной формулы.

Будем считать, что из формул A,B, … ,Z следует формула P, если в таблице истинности T во всех тех строчках, где формулы A,B, …, Z одновременно принимают значение t, формула P принимает значение t. Как же устроена таблица T? На «входах» этой таблицы стоят все атомарные подформулы формул A, B, …, Z. Именно им мы и приписываем значения t или f. Ясно, что количество строчек в таблице будет зависть от n — числа атомарных формул, как 2^n. Итак, построим таблицу истинности:

П | Д | ¬Д ⊃ П | Д | ¬П
t | t | t | t | f

Нам повезло🕺! В самой первой строчке определение следования уже не выполняется. Значит, из посылок не следует заключение. Действительно, Волк не сказал что будет, если будет дождь, может быть, он всё-таки придёт🐺.

Давайте теперь подумаем, а как можно усовершенствовать предложение так, чтобы заключение следовало из посылок? Добавить «только если»:

«Волк сказал что придет, только если не будет дождя.».

Конечно, в реальной жизни, подписывая договор в банке или слушая очередной развод от интернет-магазина, мы не будем доставать листочек и считать таблицы истинности (или будем? 😜 ).

Существуют и другие методы рассуждений, формализующие образ нашего человеческого мышления и речь уже об аксиоматико-дедуктивных системах. Но об этом уже как-нибудь в другой раз!…

* Пост написан и оформлен Сергеем — активным участником нашей беседы, читателем канала. Выражаю благодарность за инициативу! Поддержите луксорами ))

#Контент #Вышмат #Математика #Задачи

Please open Telegram to view this post