☺️ Вечера линейной алгебры для тех, кому за 20 ☺️

Среди студентов линейная алгебра и аналитическая геометрия считаются проще других разделов высшей математики. Объяснение этому очень простое — работаем по алгоритму, информации до и больше, ответы проверяемы. Сдавать линал просто, но спустя некоторое время алгоритмы забываются. А ведь линал и ангем так часто используются на практике. 👆

Этим летом я решил провести необычный курс, посвященный основам и приложениям линала и ангема для тех, кто хочет разобраться в том, откуда берутся знакомые алгоритмы. В отличие от обычного формата за основу я планирую взять не университетскую программу, а те темы и задачи, с которыми чаще всего ко мне обращаются.

Примерный перечень тем:

🟠 Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса. Пространство решений.
🟠 Матрицы. Почему матричное умножение определяется именно так?
🟠 Линейное пространство. Основные понятия.
🟠 Определитель. Почему вычисляется именно так? Приложения.
🟠 Ортогональность. Ортогональное дополнение. Нахождение наилучшего приближения и расстояний между подпространствами.
🟠 Основы аналитической геометрии.
🟠 Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
🟠 Переопределённые СЛАУ.
🟠 Задача линейного программирования (ЗЛП). Геометрический способ решения.
🟠 Решение рекуррентных соотношений.
🟠Собственные числа и собственные векторы матрицы. Зачем они нужны? Вычисление степеней матрицы и приложение к решению рекуррентных соотношений.
🟠 Интерполяция.

Подходит тем, кто
📍 Когда-то изучал что-то из списка, но всё забыл.
📍 Хочет повысить свой математический уровень.
📍 Прослушал весь линал, лишь задачи научился решать.

⌛ Чтобы никого не нагружать заданиями летом, мы будем учиться использовать калькуляторы и нейросети для решения задач. Для самостоятельной работы будут предложены практические задачи, которые нужно будет решить несколькими способами, выполнить проверку. Для желающих будут проекты в Excel, на любом языке программирования.

Курс будет проходить вечером по 1,5 часа два раза в неделю. Платно. Стоимость уточняется. Мне нужно понимать, сколько будет желающих. 

⚠️ Поставьте, пожалуйста, любую реакцию, если хотели бы присоединиться.

Завтра появится информация о записи.

#Учёба #Математика #Вышмат

🤓 Открыта запись на интенсив "Вечера линейной алгебры для тех, кому за 20" 🤓

В связи с большим количеством реакций и таким интересом к линейной алгебре было решено организовать 8 уроков по 1,5 часа: со 2 июля среда и суббота с 20:00 по 21:30.

☀️ Курс будет ориентирован на практику и её применение к реальным задачам. Домашние задачи — маленькие проекты, решение проблем, которые возникают при планировании и оптимизации. Остальные подробности выше.

Видеозаписи вечеров и все материалы будут доступны участникам и после завершения курса неограниченное время! Посмотреть и порешать можно будет и потом — "Летние вечера для того, чтобы их вспоминать зимой!"

Запись: @lav_math_bot, кнопка "🔥 Интенсивы".

#Учёба #Вышмат #Инетнсивы

😈 Проблемы ИИ при решении задач 😈

На днях Дипсик помог мне с научной задачей. Спустя 1000 запросов, он смог посчитать асимптотику методом перевала. Эта ситуация меня очень впечатлила!

В целом последний учебный год сильно отличается от предыдущих. Преподаватели составляют задачи с помощью ИИ, студенты их решают с помощью ИИ. Тем, у кого есть прочная база, фундаментальные знания, работа с ИИ позволяет быстрее разбираться с новыми темами, переваривая поток сознания очередного сообщения чата ГПТ. Для тех, кто не успел набрать базу, теперь сложно думать самостоятельно. Стал замечать, что ученики стали быстрее сдаваться при решении задач, ведь теперь не нужно скитаться по сайтам в поисках информации. Одно сообщение — всё решено. Всё чаще ловлю себя на мысли, что сам начинаю злоупотреблять ИИ, а полученные знания не так прочно остаются в голове из-за отсутствия системы... 😢


Тем не менее, прогресс не стоит на месте, нам всем нужно научиться работать в таком формате (А помните, когда была дистанционка 2020-2022 годов? Сколько пробелов появилось тогда. Со временем адаптировались, всё заботали).

В этом посте я решил сохранить две проблемы, которым стоит уделить особое внимание:

🟠. Проблемы с логикой изложения. При доказательстве утверждений мы зачастую используем стрелку A -> B. ИИ в свою очередь стремится ответить на вопрос, поэтому пишет B <- A. Конечно, высказывания эквиваленты. Но этим ИИ себя выдаёт, когда у него, например, сначала написана стационарная точка ФНП, а лишь потом градиент приравнивается к нулю и обосновывается, что точка выше стационарная.

С построением примеров отдельный разговор, иногда они за гранью фантастики. Например, чтобы построить пример матрицы с заданными собственными числами, их кратностями, мы начинаем плясать от ЖНФ. У ИИ могут быть другие пути.

🟠. Стремление решить всё. И это большая проблема! Если вкинуть в ИИ проблему тысячелетия, то он, конечно, распознает её, скажет, что пока что люди не решили. Но при решении неизвестных задач ни разу не видел ответ: "Не знаю, не могу решить". Да, иногда, рассматриваются лишь частные случаи, а про общий идёт комментарий о сложности. Но зачастую ИИ идёт до конца, начинает писать что-то странное, делает необоснованные переходы. Бывало пару раз, что даже фамилии выдумывал.

—

Отдельной проблемой преподавателя является составление задач, которые ИИ решить не сможет... Но это уже совсем другая история...

#Контент #Учёба #Вышмат #Математика

🐥 Про метод Лапласа для нахождения асимптотики интегралов 🐥

Рассмотрим интеграл с параметром t

F(t) = 📝exp (t S(x)) f(x) dx.

Предположим, что функция S(x) достигает максимума в единственой точке из [a,b]. Тогда естественно, что на асимптотическое поведение интеграла при t -> +∞ будет влиять только интеграл по окрестности точки максимума S(x). Раскладывая S(x) и f(x) в данной точке по формуле Тейлора, можем попробовать найти асимптотику.

Подобный подход (но, конечно, более строгий и обоснованный) называется методом Лапласа (функции вещественны).

В качестве примера найдём асимптотику следующего интеграла на физическом уровне строгости:

😎 Задачники по линалу 😎

Как уже не раз отмечалось выше, линал и ангем — это в первую очередь удобные инструменты. Но эти иструменты не заключаются только в умножении матриц и решении СЛАУ. Линал имеет большое количество теоретических задач.

В этом посте я хочу выделить линал 1 курса ВМК МГУ. Моя статистика такова, что больше всего интересных и сложных уроков было именно со студентами с этого направления. Один из основных задачников данного факультета — Ким, Крицов "Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи".

Формат книг (2 тома) следующий: небольшая справка с основными теоремами, комментариями, замечаниями, несколько нетрудных примеров, а далее задачи разного уровня (от вычислительных до доказательств теоретических), в конце подсказки и ответы. 🤯

На мой взгляд, главным преимуществом данного задачника являются красивые теоретические задачи, решая которые, открываешь для себя линал с новой стороны. 🧡

Когда я вижу какую-то интересную задачу по линалу со случайных контрольной, экзамена, домашнего задания, моя первая мысль: "Надо заглянуть в задачник Ким, Крицкова". И даже если не удаётся обнаружить именно эту задачу, легко находятся десятки похожих.
(Вторая мысль: "Надо заглянуть в Фаддеева, Соминского". Ссылка на пост: https://t.me/lav_math/556, под ним задачник).

P.S. Напоминаю, что сейчас на LM проходит интенсив "Вечера линейной алгебры для тех, кому за 20". Наш взгляд назад, чтобы после уверенно идти вперёд! 🔥 К нам ещё можно присоединиться — прошло 2 урока из ≥8 (неравенство в связи с возможными дополнительными уроками под запросы участников)!

#Контент #Учёба #Мысли #Источники

☀️ Способы отдохнуть ☀️

Уже достаточно давно для меня стало большой проблемой отдохнуть. Это звучит странно. Но очень часто такую же проблему вижу у приятелей, знакомых, учеников. Особенно у тех, кто учится на сложной программе или совмещает учёбу и работу.

Когда ты двигаешься с большой скоростью, остановиться мгновенно бывает сложно. Расскажу, какие способы использую сам, чтобы отдыхать и не терять тонус:

🟠. Смена деятельности. Можно и даже нужно продолжать действовать. Но надо переключить фокус. Возможно, прочитать книги (и художественные), которые были отложены или заброшены. Возможно, заняться физическим трудом.

🟠. Физическая активность. Для меня это ролики летом, коньки зимой. Впервые встал на них 2,5 года назад. Нет цели достичь каких-то высот, а есть цель научиться хорошо кататься, чтобы наслаждаться процессом. Плюс, что можно ехать в любой момент. Во время учёбы увлекался бадминтоном. Активные тренировки позволяют выплеснуть энергию, разгрузиться. Эффективным способом отдохнуть являются прогулки (особенно без телефона).

🟠. Хобби. Катку в доту лучше провести сейчас, чем во время осенней учёбы. Можно взахлёб посмотреть сериал, собирая пазлы. Для меня подобное время препровождения является хорошим толчком. Спустя время думаю: ну всё, побездельничали, пора за работу! И с большим желанием открываю учебник.

🟠. Выход из сети. Номер 4, так как из-за работы далеко не всегда есть такая возможность. Но для меня это один из самых действенных способов отдохнуть. После интенсива по линалу планирую сделать небольшой перерыв, а уже в августе будем жёстко ботать!!!

#Жизнь #Контент

😎 Инструктор по сёрфингу? 😎

Про картинку в целом: именно так выглядит написание курсовой в TeXe))

#Жизнь

Сегодня у нас знаменательное событие! Завершился самый продолжительный за всю историю LM интенсив — Вечера линейной алгебры для тех, кому за 20. 🥹
Но работа ещё только начинается! Записи, дз, сдача и обсуждение доступны неограниченное время!

Это было очень круто! И для меня новый опыт — опыт формирования курса, содержащего темы разного уровня сложности так, чтобы всем было интересно и понятно. Каждая задача и каждый пример со словами "А зачем это нужно?", максимум пользы этим летом.

В этот раз была особенно активная аудитория. Вопросов была масса, поэтому этот интенсив во многом напоминает беседу, которая продолжается в личных сообщениях за обсуждением домашних задач и их приложений!

Продолжим в августе! Теорвер? Матстат? Олимпиадная математика? Подготовка к 1/2 курсу?..  Пишите предложения! 🧡

#Учёба #Контент

Одна из причин, по которой мне нравится заниматься именно высшей математикой, — уникальность запросов. В каждом университете свой формат экзаменов, своя степень общности. Уровень учеников тоже разный. Со специалистами разных областей, кто уже давно закончил университет, отдельный формат уроков. 🥹

Я каждый раз с большим удовольствием узнаю о пути и целях. И мы вместе составляем план дальнейших занятий. Для того, чтобы
1) уроки сразу проходили максимально эффективно;
2) мы могли немного познакомиться;
3) помочь понять человеку, какой уровень у него сейчас;

зачастую я составляю тест для проверки уровня (есть пересечения, но часть заданий всегда уникальна). 🧡

В этом посте хочу рассказать об одной несложной задаче, которая хорошо подходит как для проверки уровня базового теорвера, так и для проверки общей смекалки. Попробуйте решить самостоятельно!

Из колоды карт 36 последовательно достают две карты. Какова вероятность, что первая карта старше второй? (6<7<8<9<10<J<Q<K<A)

1 способ (в лоб). Нам подходят пары (7,6), (8,6), (8,7), ... , (A,6), (A,7), ..., (A,K). Каждую пару можно достать с вероятностью 4/36 * 4/35 = 4/315. Всего пар здесь 1+2+3+...+8 = 36. Ответ: 36*4/315 = 16/35.

2 способ (хитрый). В силу симметрии вероятность, что первая карта старше второй, такая же, как вероятность, что вторая карта старше первой. Пусть X — первая карта, Y — вторая карта, > — старше, = — равны по значению, тогда P(X>Y) + P(X<Y) + P(X=Y) = 1. Первые два слагаемых равны, а P(X=Y) = 3/35 (после того, как достали одну карту, осталось 3 карты такого же значения из 35). Таким образом, P(X<Y) = ( 1 - P(X=Y) )/2 = 16/35.

#Контент #Учёба #Вышмат #Математика

🦋 Курс подготовки к высшей математике 🦋

Наступил август. Есть целый месяц, чтобы перед новым учебным годом подтянуть основные темы. Напоминаю, что в боте @lav_math_bot доступен курс подготовки к высшей математике! (см. интенсивы или практикумы).

Главная цель — помочь преодолеть барьер между школьной математикой и высшей математикой. Этот курс является моим ответом на один из самых частых вопросов: "Что нужно повторить и разобрать по школьной математике, чтобы начать понимать вышмат?".

Основная идея заключается в том, чтобы подробно разобрать пограничные темы, напомнить все основные утверждения, ускорить решение вспомогательных задачек, которые возникают при решении более сложных.

🟠 8 смонтированных и обработанных уроков суммарной продолжительностью 4 часа. Собраны конспекты с записей, подобрано большое домашнее задание.

🟠. Квадратные уравнения. Вывод формул для быстрого счёта.
🟠. Уравнения высших степеней. Деление многочленов в столбик. Теорема Безу и следствие. Теорема Виета.
🟠. Степень и логарифм. Графики, основные свойства. Уравнения.
🟠. Тригонометрия. Особое внимание обратным тригонометрическим функциям. Доказательство основных тождеств, которые часто нужны в вышмате.
🟠. Метод математической индукции. Доказательство тождеств и неравенств.
🟠. Бином Ньютона (с доказательством по индукции и комбинаторным доказательством).
🟠. Прогрессии. Телескопические суммы. Именные неравенства (Бернулли, Коши о средних, Коши-Буняковского-Шварца) с доказательствами.
🟠. Дифференциальное исчисление. Касательные. Экстремумы.

В этом курсе я полноценно использовал обозначения. В том числе кванторы, знаки суммы и произведения. Всё это позволит быстрее адаптироваться к высшей математике! 🧡

Сдача домашних заданий происходит индивидуально, поэтому всегда можно будет задать любые вопросы и быстро получить ответ.

Я постарался с количеством задач в ДЗ, поэтому полное прохождение курса потребует порядка 2-3 недель! 😁

Получить доступ сейчас: @lav_math_bot. Любые вопросы: @lav_100k. 🧑‍🦯

#Контент #Интенсивы #Учёба #Практикумы #Математика #Вышмат

🐸 Задача про лягушку 🐸

На одной из трёх кочек сидит лягушка. Каждый прыжок лягушка делает на свободную кочку. Найти число способов за n прыжков лягушке вернуться на ту кочку, с которой она начинала прыгать?

Такая простая задача, одно из решений которой использует аппарат линейной алгебры. Не буду томить, сразу решение:
Пусть x(n) — искомое число способов совершить n прыжков так, чтобы вернуться на кочку старта (смешно звучит, созвучно с точкой старта 🐸). Будем считать, что 1 кочка — это кочка старта. y(n) — число способов совершить n прыжков так, чтобы со 2 кочки попасть на 1 кочку. Аналогично, z(n) — число способов совершить n прыжков так, чтобы с 3 кочки попасть на 1 кочку. Тогда

x(n) = y(n-1) + z(n-1)
y(n) = x(n-1) + z(n-1)
z(n) = x(n-1) + y(n-1)

Пояснение к первому уравнению: с первой кочки мы можем прыгнуть на вторую, тогда есть ещё y(n-1) способ допрыгать до первой кочки, или прыгнуть на третью, тогда есть ещё z(n-1) способ допрыгать до первой кочки. Остальные уравнения получились аналогично. Можно переписать в матричном виде:

( x(n) ) = ( 0 1 1 ) ( x(n-1) )
( y(n) ) = ( 1 0 1 ) ( y(n-1) )
( z(n) ) = ( 1 1 0 ) ( z(n-1) ).

Так мы можем спуститься до x(1)=0, y(1)=1, z(1)=1 (или x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 0). Задача свелась к нахождению n-ой степени матрицы из последней формулы (кстати, это матрица смежности графа, соответствующего задаче, n-ая степень как раз показывает искомое число путей). Именно здесь и нужны собственные числа и собственные векторы. Приведя матрицу к диагональному виду, можем найти её n-ую степень, а тогда и сам x(n): 🐸

#Контент #Вышмат #Математика #Задачи

🚦 Задача про светофор 🚦

Подобные задачи часто встречаются на собеседованиях, ещё одна нам в коллекцию:

Пешеходный светофор горит 80 секунд красным, 20 секунд зелёным. Найти среднее время ожидания пешехода на светофоре.

Светофор работает по циклу, человек приходит в случайный момент времени, поэтому можно считать, что всё происходит на временном промежутке [0,100]. Если человек пришёл в момент времени ξ ∈ [0,100] (это равномерно распределённая случайная величина), то время его ожидания

T(ξ) = 80 - ξ, если ξ∈[0,80], и 0, если ξ ∈[80,100].

T(ξ) — это тоже случайная величина, но уже неравномерно распределённая на [0,100]. Тогда среднее время ожидания есть

ET(ξ) = 📝 T(t) dt/100 at t=0...100,
ET(ξ) = 📝(80 - t) dt/100 at t=0..80,
ET(ξ) = 32.

Ответ: 32 секунды.

#Контент #Вышмат #Математика #Задачи

🤓 Про верификацию* 🤓

Порой слушаешь человека и понимаешь, что он явно лукавит, но поймать на лжи его не можешь🤨. Современные компании, проводящие акции, спам-реклама с выгодными предложениями, распродажи… Все мы понимаем, что есть подвох. Но в чём? Будет ли прибыльная компания торговать себе в убыток👀?

Цель данного поста — на примере простой задачи показать один из методов, помогающих в верификации «истинности» рассуждений. Рассмотрим высказывание:

«Волк сказал, что придёт, если не будет дождя. Идёт дождь. Стало быть, Волк не придёт.».

Возникает вполне естественный вопрос: «А верно ли это высказывание?». Предлагаю подумать самостоятельно. 😳

Для решения этой задачи мы будем использовать некоторую теоретико-модельную теорию классического исчисления высказываний. На самом деле до ответа можно дойти и естественными рассуждениями.

Вообще стоит отметить, что естественный язык обладает изъянами: неточность формулировок, двойственность понятий. Многое зависит и от интерпретации тех или иных слов естественного языка. 🫣

Высказывание для нас — повествовательное предложение, построенное особым образом. Характерным допущением для классической логики высказываний является допущение о том, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, но ни то, ни другое одновременно.

Наша цель — перевести предложение из естественного языка в формульный. Например, вместо «и» в естественном языке мы будем писать «&», вместо конструкции «если …, то …» будем использовать значок импликации «⊃».

Обозначим за «И» высказывание «Идёт дождь». Формулу «Волк придёт» обозначим за «П». Тогда наш список высказываний после такого процесса примет вид: «¬Д ⊃ П, Д, ¬П». Формализуя процесс наших естественных рассуждений, мы хотим проверить: следует ли из первых двух высказываний списка выше третье высказывание. В данном случае первые два высказывания списка называются посылками, а третье — заключением, что естественно.

Стоит теперь формально определить понятие «следования». Итак, посмотрим на вид формулы Д. Это предложение «идет дождь». Такие высказывания называются «атомарными» или атомами, ибо не имеют ни один из видов «¬А», «А ⊃ В», «А & В», «А v В». Ясно, что высказывание «идет дождь» является атомарным. Именно атомам мы и будем приписать значения t или f, а для каждого из вышеперечисленных символов определим таблицу истинности, с помощью которой мы сможем вычислять истинность неатомарной или же сложной формулы.

Будем считать, что из формул A,B, … ,Z следует формула P, если в таблице истинности T во всех тех строчках, где формулы A,B, …, Z одновременно принимают значение t, формула P принимает значение t. Как же устроена таблица T? На «входах» этой таблицы стоят все атомарные подформулы формул A, B, …, Z. Именно им мы и приписываем значения t или f. Ясно, что количество строчек в таблице будет зависть от n — числа атомарных формул, как 2^n. Итак, построим таблицу истинности:

П | Д | ¬Д ⊃ П | Д | ¬П
t | t | t | t | f

Нам повезло🕺! В самой первой строчке определение следования уже не выполняется. Значит, из посылок не следует заключение. Действительно, Волк не сказал что будет, если будет дождь, может быть, он всё-таки придёт🐺.

Давайте теперь подумаем, а как можно усовершенствовать предложение так, чтобы заключение следовало из посылок? Добавить «только если»:

«Волк сказал что придет, только если не будет дождя.».

Конечно, в реальной жизни, подписывая договор в банке или слушая очередной развод от интернет-магазина, мы не будем доставать листочек и считать таблицы истинности (или будем? 😜 ).

Существуют и другие методы рассуждений, формализующие образ нашего человеческого мышления и речь уже об аксиоматико-дедуктивных системах. Но об этом уже как-нибудь в другой раз!…

* Пост написан и оформлен Сергеем — активным участником нашей беседы, читателем канала. Выражаю благодарность за инициативу! Поддержите луксорами ))

#Контент #Вышмат #Математика #Задачи

😎 Планы на новый учебный год 😎

Уже с сентября я буду преподавать сразу в двух университетах: СПбГУ и ИТМО.

В СПбГУ буду вести теорию вероятностей на физическом факультете, а в ИТМО — математический анализ.

С нетерпением жду начала учебного года, а уже сейчас с большим удовольствием начинаю подбирать материалы, составлять задачи! 🧡

До этого уже неоднократно преподавал в университете (была педпрактика на 5 курсе специалитета и на 1-2 курсе аспирантуры), но сейчас уже полноценное трудоустройство! Самое главное, что по результатам семестра наконец-то станет понятно, добрый я препод или строгий. 😀 (Такой возможности раньше не было, ведь на частных уроках оценки не ставил, а на самих занятиях всегда заинтересованные ученики. В университете отдельной задачей для меня является заинтересовать студентов и донести знания и до тех, кто уже решил, что этот предмет не для него!)

На фотографии я с мячиком. ⚽️

Именно тут (между Крестовским островом, Зенитом и Беговой) я и катаюсь на роликах! 🛼

#Жизнь #Математика #Вышмат