Будьте взаимновежливы!

Правильно
Будьте взаимовежливы.
Будьте взаимно вежливы.

Почему
По словарю.

Эти варианты ни чем не различаются.

Правильно
Эти варианты ничем не различаются.

Почему
«Ничем» — форма творительного падежа местоимения «ничто». Пишется слитно.

«Ни чем» пишется раздельно, когда это местоимение «что» с повторяющимися союзами: «Статья не удивила ни содержанием, ни формой, ни чем ещё».

В кино идет какой-то арт-хаус.

Правильно
В кино идет какой-то артхаус.

Почему
Если «арт» выступает первой частью сложных слов, то пишется через дефис: арт-галерея, арт-директор.
Но в этом случае «артхаус» не сложное слово: слово «хаус» отдельно не употребляется.

Вообще, лучше проверять по словарю. Я уже рассказывал о нелогичных дефисах в англицизмах.

Разбираю правила по русскому языку.

Правильно
Разбираю правила русского языка.

Почему
«Правила» не используется с дательным падежом. Правила не (по чему?), а (чего?).
«По чему» — это про инструкции и руководства.

Он очень богатый в сравнение со мной.

Правильно
Он очень богатый в сравнении со мной.

Почему
«В сравнении» в качестве предлога — с «и» на конце.
«В сравнение» используется будет в составе выражения «не идти в сравнение».

Нужно ответить, как можно скорее.

Правильно
Нужно ответить как можно скорее.

Почему
«Как можно меньше / больше / лучше / скорее» — наречные выражения, которые не нужно выделять запятыми.

У него антисоциал-демократические взгляды.

Правильно
У него анти-социал-демократические взгляды.

Почему
Цитата из корректирующих правил справочника русского языка под редакцией Лопатина:
«Недопустимо слитное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть слова содержит дефис. Слитное написание должно заменяться дефисным, в результате чего возникают написания с двумя дефисами».

P. S. Изначально в этом примере я рекомендовал написание «антисоциалдемократический», руководствуясь правилами из справочника Розенталя. Простите дурака, правила меняются.

Сделали так называемый «ресайз».

Правильно
Сделали так называемый ресайз.

Почему
Слова после «так называемый» не нужно брать в кавычки.

Карты в нашей деревне мало, где принимают.

Правильно
Карты в нашей деревне мало где принимают.

Почему
Мало где / что / куда — неразложимые сочетания, внутри которых запятые не нужны.

Вхожу в конно-спортивный клуб.

Правильно
Вхожу в конноспортивный клуб.

Почему
По общему правилу прилагательные, образованные от словосочетаний с подчинительной связью (конный спорт), пишутся слитно.
В реальности из этого правила очень много исключений: естественно-научный, народно-хозяйственный.
Сомневаетесь — загляните в словарь.

Валера ругается с людьми и ведет себя как невежда.

Правильно
Валера ругается с людьми и ведет себя как невежа.

Почему
Невежда — неграмотный, необразованный человек.
Невежа — невоспитанный, грубый.

Он выдавал себя за автора, но, на самом деле, автором не был.

Правильно
Он выдавал себя за автора, но на самом деле автором не был.

Почему
Если «на самом деле» используется в значении «в действительности», это не вводное слово, обособлять не нужно.

У вводного слова значение «собственно говоря».

Веду себя, как обычно.

Правильно
Веду себя как обычно.

Правильно
В этом случае «как обычно» не вводное — обособлять не нужно.
Как различить: убрать «как обычно» из текста и посмотреть, изменился ли смысл предложения. Если изменился — это не вводное.

На завтрак, как обычно, давали кашу → На завтрак давали кашу
Веду себя как обычно → Веду себя

Нидерланды и Голландия — это одно и то же.

Правильно
Нидерланды и Голландия — это не одно и то же.

Почему
Нидерланды — страна.
Голландия (Северная и Южная) — две из двенадцати провинций, которые входят в Нидерланды.

Соотношение водки к соку — 1:1.

Правильно
Отношение водки к соку — 1:1.
Соотношение водки и сока — 1:1.

Почему
Что-то с чем-то — соотносится.
Что-то к чему-то — относится.

Кроссовки мне в пору.

Правильно
Кроссовки мне впору.

Почему
Наречие со значением «по мерке», «как раз» — слитно.

Пришел на работу — и всё по-новой.

Правильно
Пришел на работу — и всё по новой.

Почему
По словарю.

Разбили лагерь у подножья горы.

Правильно
Разбили лагерь у подножия горы.

Почему
Сейчас в словарях зафиксирована только форма «подножие». Но и «подножье» часто встречается в литературе.

На это потребуется два часа времени.

Правильно
На это потребуется два часа.

Почему
Два часа времени — это плеоназм.
Ну серьезно, чего еще два часа, если не времени?

Мне это не в первой.

Правильно
Мне это не впервой.

Почему
По словарю. «Впервой» — наречие.

Зимой в Корее была олимпиада.

Правильно
Зимой в Корее была Олимпиада

Почему
Если в значении Олимпийских игр, то с большой буквы. С маленькой — районная олимпиада по русскому.