سال ۱۹۳۱، برنارد کوپمن یه ایده عجیب مطرح کرد: شاید برای فهمیدن یک سیستم غیرخطی، لازم نباشه مستقیم با خودِ معادلات پیچیده‌اش درگیر بشیم. می‌شه چیزهایی رو که از سیستم اندازه می‌گیریم مثل موقعیت، سرعت، انرژی و ترکیب‌های مختلفشون به یک فضای بزرگ‌تر بُرد؛ جایی که تحول این مشاهده‌ها خطی دیده می‌شه.

یعنی غیرخطی‌بودن ناپدید نمی‌شه و از بین نمیزه؛ فقط جای نگاه‌کردنمون رو عوض می‌کنیم.( یه مختصات جدید) سختی کار هم اینه که از یک فضای کوچک وارد فضایی خیلی بزرگ، و در نظریه عملگرها وارد یک فضای برداری نامتناهی العبد، می‌شیم.

این ایده سال‌ها بیشتر یک بحث ریاضی بود. بعد داده و کامپیوتر از راه رسیدند و داستان کلن عوض شد: حالا می‌شد از روی داده، تقریب عملگر کوپمن رو یاد گرفت و از ابزارهای ساده و قدرتمند سیستم‌ های خطی برای مسائل غیرخطی استفاده کرد.

یکی از جاهایی که این ایده قدرتش رو قشنگ نشون داد کنترل ربات ها بود. کنترل یک بازوی نرم بادی کار ساده‌ای نیست؛ خم می‌شه، کش میاد و دینامیکش شدیداً غیرخطیه. Bruder و همکاران با داده‌های خود ربات یک مدل کوپمنی ساختند و روی اون MPC طراحی کردند. در آزمایش واقعیِ دنبال‌کردن مسیر، میانگین خطای کنترل کوپمنی بیش از سه برابر کمتر از MPC مبتنی بر مدل خطی معمولی همان ربات بود.
ایده‌ای مال سال ۱۹۳۱، نزدیک نود سال بعد داره یک بازوی نرم واقعی ربات رو دقیق‌تر کنترل می‌کنه.

بعضی ریاضیدان‌ها رو نباید فقط با تعداد مقاله‌ها یا اسم قضیه‌هاشون شناخت، باید دید بعد از چند دهه هنوز چه جور سؤال‌هایی به ذهنشون می‌رسه.

پروفسور امیدعلی شهنی کرمزاده، یا همان O.A.S، برای چند نسل از جامعه ریاضی ایران اسم آشناییه. از سخنرانی معروفش دز بیست‌وپنجمین کنفرانس ریاضی ایران گرفته تا فعالیت‌های جدیش در المپیاد ریاضی، تا جبر، توپولوژی، هندسه و آموزش ریاضی. اما چیزی که برای من جالبه اینه که هنوز هم می‌ره سراغ سؤال‌هایی که در نگاه اول خیلی ساده به نظر می‌رسن، ولی پشتشون یک عادت قدیمیِ ریاضی خوابیده.

در مقاله اش در مجله انجمن ریاضی اروپا، از یک سؤال شروع می‌کنه: چرا این‌همه قضیه رو به شکل «اگر P، آنگاه Q» می‌نویسیم و بعد اصلاً جدی نمی‌پرسیم برعکسش چی؟

حرفش فقط بازی با منطق نیست. می‌گه گاهی اگر برگردیم و دنبال عکس یک قضیه بگردیم، یا ضدنمونه پیدا می‌کنیم، یا مجبور می‌شیم فرض‌ها رو بهتر بفهمیم، یا حتی به یک قضیه کامل‌تر برسیم. برای این نوع قضیه‌ها اسم هم می‌ذاره: good complete theorem یا gc-theorem.

بعد با مثال جلو می‌ره؛ از اشتاینر لهموس و قضیه مورلی گرفته تا بولتسانو–وایرشتراس، جبر حلقه‌ها و توپولوژی. یعنی حرفش اینه که بعضی وقت‌ها یک کشف تازه از اضافه‌کردن تکنیک عجیب در نمیاد از این میاد که به یک قضیه قدیمی دوباره نگاه کنیم و بپرسیم: «برعکسش چی؟ درسته یا نه؟»

این همون جنس ریاضی‌ورزیه که آدم رو یاد ریاضیدان‌های بزرگ مسئله‌محور می‌اندازه: سؤال ساده، خلاقیت ، روح ناب ریاضی، سماجت روی جزئیات، و نپذیرفتن اینکه چون چیزی سال‌ها همین‌طور نوشته شده، پس حتماً کامل‌ترین شکلشه.

توی پست قبلی گفتیم پروفسور کرمزاده روی یک سؤال ساده تأکید داشت: وقتی قضیه‌ای می‌گه «اگر P، آنگاه Q»، بد نیست بپرسیم برعکسش هم درسته یا نه.

خودش هم همین ایده رو روی دو تا از معروف‌ترین قضیه‌های نظریه اعداد اجرا کرده.

قضیه کوچک فرما می‌گه اگر p عدد اول باشه و a بر p بخش‌پذیر نباشه، آن‌وقت a به توان p−1، به پیمانه p برابر ۱ می‌شه.

قضیه اویلر این الگو رو عمومی‌تر بیان می‌کنه میگه: اگر a و n نسبت به هم اول باشن، آن‌وقت a به توان φ(n)، به پیمانه n برابر ۱ می‌شه.

معمولاً توی کتاب‌ها می‌گن قضیه اویلر تعمیم قضیه فرماست؛ چون وقتی n اول باشه، φ(n)=n−1 و قضیه فرما از دل قضیع اویلر درمیاد.

اما O.A.S در مقاله‌ای که سال ۲۰۲۴ در مجله The Mathematical Gazette چاپ کرد، از همین سؤال converse شروع می‌کنه و نشون می‌ده رابطه رو می‌شه از جهت دیگه هم دید؛ تا جایی که فرما و اویلر را می‌توان طوری صورت‌بندی کرد که هر کدام تعمیمی از دیگری باشند.

یه سؤال مهم پشت شبکه‌های عصبی هست: اصلاً از کجا معلوم این مدل‌ها توانایی تقریب‌زدن چیزها و توابع پیچیده رو داشته باشن؟

یکی از جواب‌های کلاسیک، قضیه تقریب جهانی است.
(Universal Approximation Theorem)

این قضیه به زبان ساده می‌گه:

یک شبکه عصبی با فقط یک لایه پنهان، اگر به‌اندازه کافی نورون داشته باشه و تابع فعال‌ساز مناسبی استفاده کنه، می‌تونه هر تابع پیوسته‌ای رو روی یک ناحیه محدود، با هر دقتی که بخوای تقریب بزنه.

Cybenko
در ۱۹۸۹ یکی از نتایج معروف این ایده رو برای توابع فعال‌ساز سیگموئیدی ثابت کرد و Hornik و همکاران هم همان سال چارچوب عمومی‌تری برای شبکه‌های پیش‌خور ارائه کردند.

برای یک تابع پیوسته مثل f روی یک مجموعه فشرده، ایده اینه که می‌شه ترکیبی از این جنس پیدا کرد:

F(x) = Σ αᵢ σ(wᵢ·x + bᵢ)

طوری که اختلاف F(x) و f(x) روی کل ناحیه موردنظر، هرقدر بخوای کوچک بشه. یعنی برای هر ε مثبت، می‌شه شبکه‌ای ساخت که خطای تقریبش از ε کمتر باشه.

مثلاً فرض کنید تابعی داریم که ورودی‌اش دما، فشار و رطوبته و خروجی‌اش مصرف انرژی. لازم نیست از قبل فرمول دقیق این تابع رو بدونیم؛ قضیه می‌گه در شرایط مناسب، یک شبکه عصبی می‌تونه تابعی بسازه که خروجی اون تابع اصلی رو هرقدر بخوای دقیق تقریب بزنه.

از نظر ریاضی، حرف قضیه خیلی شبیه اینه که خانواده‌ای از توابع شبکه عصبی در فضای توابع پیوسته، چگال باشه؛ یعنی هر تابع پیوسته‌ای رو بشه با اعضای این خانواده به دلخواه نزدیک کرد.

اما یک نکته مهم: قضیه نمی‌گه شبکه حتماً یاد می‌گیره، نمی‌گه چقدر داده لازم داره، نمی‌گه آموزش چقدر طول می‌کشه و حتی نمی‌گه چند نورون لازم داریم. فقط می‌گه چنین شبکه‌ای وجود دارد.

همین تفاوت کوچیک خیلی مهمه:
«توانایی تقریب‌زدن» با «توانایی پیدا کردن اون تقریب در عمل» یکی نیست.

برای همین قضیه تقریب جهانی بیشتر از اینکه پاسخ مسئله آموزش باشه، یک نتیجه درباره ظرفیت نمایش شبکه عصبیه.

یکی از پایه‌های نظری موفقیت شبکه‌های عصبی، از یک سؤال کاملاً ریاضی شروع می‌شه: یک خانواده از توابع، تا چه حد می‌تونه توابع دیگر رو تقریب بزنه؟

چرا حل مساله‌های ریاضی موج وحشت بین ریاضیدان‌ها ایجاد کرده؟ کی گفت ریاضی یه
zero-sum game
هست؟ کی گفته جام‌ها محدودند و یکی دو نفر برنده می‌شن و بقیه بازنده‌اند؟ کی گفته باید جایی رو فتح کرد که فاتحان قبلی گفتند؟

آخرین قدرت نمایی openai

خبر OpenAI درباره ریاضی خیلی مهمه، اما چند نکته باید دقیق گفته بشه. عدد «۷۲۲» به معنی حل ۷۲۲ مسئله مستقل نیست؛ OpenAI از ۷۲۲ دست‌نوشته در ۳۷۲ خانواده نتیجه صحبت می‌کنه که از آزمایش مدل روی حدود ۴۰۰۰ مسئله پژوهشی به دست اومدن. همه این نتایج هم هنوز به شکل مستقل تأیید نشدن؛ بخشی با Lean بررسی صوری شدن، اما خود OpenAI نوشته که بعضی نتایج غیرصوری ممکنه اشکال داشته باشن. پس فعلاً باید بین «تولید یک اثبات» و «پذیرفته شدن اون توسط جامعه ریاضی» فرق بذاریم.
با این حال ماجرا اصلاً کم‌اهمیت نیست. بعضی از نتایج، اگه تأیید بشن، واقعاً در سطح پژوهش جدی ریاضی هستن. واکنش ریاضی‌دان‌ها هم ترکیبی از هیجان و نگرانی بوده. گروه AGMAI با حضور چهره‌هایی مثل Timothy Gowers، Martin Hairer و Edward Witten تأکید کرده که تولید اثبات پایان کار نیست؛ فهمیدن نتیجه، بررسی اون و پیدا کردن جایگاهش در ریاضیات هنوز کار اساسی انسانه.
شاید سؤال مهم‌تر از خود این ۷۲۲ دست‌نوشته این باشه: اگه هوش مصنوعی بتونه اثبات‌های پژوهشی رو سریع و انبوه تولید کنه، نقش ریاضی‌دان چی میشه؟ شاید ارزش اصلی کم‌کم از «پیدا کردن اثبات» بره به سمت «پرسیدن سؤال درست، تشخیص نتیجه مهم، فهم ایده و پیدا کردن ارتباط بین نظریه‌ها».
شاید سؤال اصلی این دوران همین باشه: اگه تولید اثبات ارزون بشه، ریاضی‌دان بودن یعنی چی؟

منابع:
OpenAI Math: https://github.com/openai/math
AGMAI: https://agmai.org/
Terence Tao, Mathematics in the age of AI: https://arxiv.org/abs/2608.16753


@infinitymath

از بین صدها نتیجه‌ای که OpenAI منتشر کرده، این ۵ تا به نظرم نسبتا مهمن

۱) ثابت کاتالان گنگه یا نه؟
سال‌ها معلوم نبود یک ثابت معروف ریاضی به اسم «ثابت کاتالان» رو میشه دقیقاً به شکل یک کسر نوشت یا نه. ادعای نتیجه جدید اینه که نه؛ این عدد گنگه.

۲) مسأله بعدی اینه که عددی π رو چقدر خوب میشه با کسر تقریب زد؟
همه 22/7 رو برای تقریب پی می‌شناسیم. سؤال جدی‌تر اینه که آیا میشه π رو بارها و بارها با کسرهایی به شکل غیرعادی دقیق تقریب زد؟ نتیجه منتشرشده میگه نه؛ π از این نظر، رفتار معمولی‌تری داره.
۳) مسئله دهم هیلبرت روی اعداد گویا.
سؤالش خیلی ساده بیان میشه:

آیا یک الگوریتم عمومی وجود داره که برای هر معادله چندجمله‌ای بگه جواب کسری داره یا نه؟ ادعای OpenAI اینه که چنین الگوریتمی وجود نداره.

۴) آیا ضرب ماتریس‌ها رو میشه باز هم سریع‌تر کرد؟
ضرب ماتریس قلب خیلی از محاسبات علمی و الگوریتم‌های یادگیری ماشینه. OpenAI یک کران نظری جدید منتشر کرده که اگر درست باشه، نشون میده میشه ضرب ماتریس‌های خیلی بزرگ رو از چیزی که قبلاً می‌دونستیم سریع‌تر انجام داد.
۵) مسئله شانزدهم هیلبرت در سیستم‌های دینامیکی
بیش از یک قرنه ریاضی‌دان‌ها می‌پرسن یک سیستم دینامیکی چندجمله‌ای در صفحه حداکثر چند چرخه۴ بسته می‌تونه داشته باشه. یکی از نتایج منتشرشده میگه برای درجه مشخص، تعداد این چرخه‌ها واقعاً یک سقف محدود داره.
@infinitymath

به کجا چنین شتابان ...🤦‍♂

یکی هم گفته:

" شاید هوش مصنوعی دشمن ریاضیات نباشه؛ شاید ادامه‌ی طبیعی خود ریاضیات باشه.
بالاخره AI روی شونه‌ی ریاضی، آمار، منطق و بهینه‌سازی ساخته شده و رفته بالا. حالا هم داره بخشی از همین توان رو به خود ریاضیات برمی‌گردونه.
اما یه چیز احتمالاً عوض میشه: «کار ریاضی‌دانان».
شاید در آینده ارزش ریاضی‌دانان فقط به این نباشه که چه کسی سریع‌تر یه قضیه رو اثبات پیدا می‌کنه؛ از این به بعد مهم‌تر این خواهد بود که چه کسی سؤال بهتری می‌پرسه، زودتر می‌فهمه کدوم نتیجه واقعاً مهمه و می‌تونه توضیح بده چرا باید اصلاً اون قضیه رو ثابت کنیم.
شاید AI اثبات رو ارزون‌تر کنه، اما «سؤال خوب» و «فهم عمیق» هنوز ارزون نیست. "


@infinitymath