انجمن ریاضی آمریکا به پیشرفت ریاضی OpenAI در مسئله‌ی ناویر-استوکس واکنش نشان داد

در پاسخ به موفقیت ناویر-استوکس که امروز توسط OpenAI اعلام شد، انجمن ریاضی آمریکا بیانیه‌ای صادر کرد و ضمن تجلیل از این نقطه عطف، خاطرنشان کرد که این موفقیت بر اساس تلاش‌های بسیاری از ریاضیدانان انسانی برای حل این مسئله بنا شده و صرفاً یک پیشرفت هوش مصنوعی مجزا نیست.

به گفته راوی وکیل، رئیس و جان مایر، مدیرعامل AMS:

«خبر امروز در مورد پیشرفت در حل مسئله ناویر-استوکس، یکی از چالش‌های بزرگ و دیرینه ریاضیات در مورد معادلات حاکم بر جریان سیالات، نشان‌دهنده پیشرفتی برجسته در دانش بشری است. این داستان با ناویر، استوکس، لری و لیدیژنسکایا آغاز شد و با پیشرفت‌های اخیر کوردوبا و مارتینز-زوروا به اوج خود رسید، سپس - با کمک فناوری‌های جدید - آلپوگه و باکمستر، و گام‌های نهایی ریاضیدانان OpenAI برداشته شد. هدف ریاضیات، درک انسان است و این دستاورد و فرآیندی که منجر به آن شد، برای مدت طولانی ثمربخش خواهد بود.»

لينک مقاله ۱۶۵ صفحه ای openai



https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf

We are not trying to meet some abstract production quota of definitions, theorems and proofs. The measure of our success is whether what we do enables people to understand and think more clearly and effectively about mathematics.

William Thurston

ترجمه متن‌ نامه ۲۵ ریاضیدان‌ برنده مدال (جایزه) فیلدز در مورد ارتباط هوش مصنوعی (هوشواره) و رياضيات

عدم هم‌راستایی و انحراف شدید هوش مصنوعی در ریاضیات.

طی چند ماه گذشته، توانمندی‌های ریاضی مد‌ل‌های زبانی بزرگ (LLM) به طرز چشمگیری بهبود یافته است، تا جایی که می‌توانند مسائل برجسته و حل‌نشده مهمی را در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات حل کنند.

با این حال، فشار شرکت‌های هوش مصنوعی برای حل مسائل ریاضی صرفاً به‌عنوان یک بنچمارک (معیار سنجش)، برای علم ریاضیات و جامعه ریاضی‌دانان زیان‌بار است.

اهداف شرکت‌های هوش مصنوعی و اهداف جامعه ریاضیات به شدت دچار عدم هم‌راستایی هستند.

ما این مسئله را بخشی از چالش‌های گسترده‌تر هم‌راستایی می‌دانیم که سایر مشاغل علمی و خلاقانه و همچنین کل جامعه را تحت تاثیر قرار می‌دهد.

در شهور اخیر، موفقیت هوش مصنوعی در حل مسائل بزرگ ریاضی حتی خارج از محافل ریاضی خبرساز شده است.

اما حل مسائل تنها یک ابزار و واسطه برای دستیابی به هدف اصلی، یعنی درک مفهومی و بینش عمیق است.

فراموش کردن این امر در دنیای هوش مصنوعی ممکن است ابزار را علیه هدف اصلی کند.

در واقع، تولید انبوه گزاره‌های «درست/نادرست» با سرعتی روزافزون، می‌تواند به جای بخشیدن حیات به ایده‌های جدید، زمین‌های بارور علمی را نابود سازد.

غالباً این راه‌حل‌ها با عجله اعلام می‌شوند و هیچ زمانی برای نگارش مناسب، تفکیک روش‌ها و ایده‌های جدید و ارجاع به کارهای مرتبط قبلی دیگران باقی نمی‌گذارند.

مانند همه مشاغل خلاقانه، این موضوع چالش‌های جدی در زمینه استناد و سرقت علمی ایجاد می‌کند.

علاوه بر این، بدون ریاضی‌دانان مشتاقی که باید مراقب پرورش این ایده‌ها و ادغام آن‌ها در بدنه اصلی ریاضیات باشند، ایده‌های زاییده هوش مصنوعی هرگز کاملاً به حیات واقعی نمی‌رسند و زنجیره حیاتی انتقال انسانی بین ریاضی‌دانان از دست خواهد رفت.

ما شاهد یک تهدید عمومی برای کار پژوهشی و فکری هستیم، همراه با عدم هم‌راستایی میان پیامد استفاده از هوش مصنوعی...

جامعه ریاضیات از بسیاری جهات مانند نمونه‌ای کوچک از کل جامعه بشری عمل می‌کند.

این جامعه از افرادی تشکیل شده که از رویکردهای بسیار متنوعی استفاده می‌کنند و ارزش‌های بنیادی مشترکی آن‌ها را به هم پیوند می‌دهد.

ارزشمندترین منابع حرفه ما، دانشجویان و ایده‌ها هستند و ما با دقت و دلسوزی فراوان از آن‌ها مراقبت می‌کنیم.

ما خود را موظف می‌دانیم به آن‌ها اجازه دهیم تا به حداکثر پتانسیل خود برسند، تا زمانی که بتوانند زندگی مستقل خود را در دنیای ریاضیات داشته باشند.

برای دانشجویان، ما اغلب مسائلی را با هدف اصلی توسعه مهارت‌هایی پیشنهاد می‌کنیم که آن‌ها را برای پیشرفت در پژوهش و سایر زمینه‌ها آماده می‌سازد.

ایده‌هایمان را از طریق سخنرانی‌ها، گفتگوهای خصوصی و نگارش‌های دقیق منتشر می‌کنیم و آن‌ها را به ایده‌های قبلی دیگران پیوند می‌دهیم.

این فرآیندها همواره زمان‌بر بوده و بر پایه تعاملات انسانی استوار هستند.

اسامی امضاکنندگان:
* آرتور آویلا (مدال فیلدز ۲۰۱۴)
* منجول بهارگاوا (مدال فیلدز ۲۰۱۴)
* کوچر بیرکار (مدال فیلدز ۲۰۱۸)
* پیر دلین (مدال فیلدز ۱۹۷۸)
* یو دنگ (مدال فیلدز ۲۰۲۶)
* سایمون دونالدسون (مدال فیلدز ۱۹۸۶)
* هوگو دومینیل-کوپن (مدال فیلدز ۲۰۲۲)
* الزیو فیگالی (مدال فیلدز ۲۰۱۸)
* مارتین هایرر (مدال فیلدز ۲۰۱۴)
* جون هو (مدال فیلدز ۲۰۲۲)
* ماکسیم کانتسویچ (مدال فیلدز ۱۹۹۸)
* آلون لیندن‌شتراوس (مدال فیلدز ۲۰۱۰)
* پیر-لوئی لیون (مدال فیلدز ۱۹۹۴)
* جیمز مینارد (مدال فیلدز ۲۰۲۲)
* کورت مک‌مولن (مدال فیلدز ۱۹۹۸)
* شیگه‌فومی موری (مدال فیلدز ۱۹۹۰)
* نگو باو چائو (مدال فیلدز ۲۰۱۰)
* آندری اکونکوف (مدال فیلدز ۲۰۰۶)
* پیتر شولتزه (مدال فیلدز ۲۰۱۸)
* استانیسلاف اسمیرنوف (مدال فیلدز ۲۰۱۰)
* ترنس تائو (مدال فیلدز ۲۰۰۶)
* مارینا ویازوفسکا (مدال فیلدز ۲۰۲۲)
* سدریک ویلانی (مدال فیلدز ۲۰۱۰)
* وندلین ورنر (مدال فیلدز ۲۰۰۶)
* افیم زلمانوف (مدال فیلدز ۱۹۹۴)

https://x.com/ns123abc/status/2098515807869255893

استاد ابوالقاسم قربانی صرفا یک پژوهشگر تاریخ ریاضی نبود. او کسی بود که به تنهایی بخش مهمی از گذشتهٔ ریاضی ایران را از لابه‌ لای نسخه‌ها و منابع قدیمی بیرون کشید و دوباره جلوی چشم ما گذاشت.
اگر امروز دربارهٔ بسیاری از ریاضی‌ دانان ایرانی و سهم واقعی‌ شان در تاریخ ریاضیات شناخت دقیق‌ تری داریم، بخش مهمی از آن را مدیون سال‌ها تحقیق صبورانه و جدی او هستیم.

این مقاله درباره استفاده دانشجوها از AI از نگاه یه استاده. نویسنده که بیشتر از ۲۰ ساله در دانشگاه درس می‌ده، می‌گه این روزها وقتی وارد دانشگاه می‌شه، حس می‌کنه وسط یک موج خلافکاری گیر افتاده! منظورش هم خلاف معمولی نیست. منظورش استفاده گسترده دانشجوها از هوش مصنوعی برای تقلبه.

می‌گه دانشگاه‌ها اصولاً نهادهای خیلی قدیمی و کندی هستن و تغییر توشون به‌شدت آهسته اتفاق می‌افته. برای همین وقتی هوش مصنوعی یک‌دفعه وارد زندگی دانشجوها شد، دانشگاه‌ها اصلاً آماده نبودن. خودش این وضعیت رو به آدم‌های عصر حجر تشبیه می‌کنه که یک‌دفعه جلوی غارشون سفینه فضایی ببینن.

نگرانی اصلی نویسنده فقط این نیست که دانشجوها با استفاده از AI چیزی یاد نمی‌گیرن یا در آینده بلد نیستن درست بنویسن و فکر کنن. چیزی که بیشتر می‌ترسونتش، اثر اخلاقی این ماجراست. چون معتقده یک نسل داره کم‌کم عادت می‌کنه که «تقلب کردن» بخشی طبیعی از زندگیه.

وقتی دانشجو مقاله‌ای رو که باید خودش بنویسه می‌ده هوش مصنوعی بنویسه، کتاب و مقاله‌ای رو که باید بخونه با AI خلاصه می‌کنه یا تکالیفش رو با کمک آن انجام می‌ده، عملاً داره راه میانبر می‌زنه. آخرش هم مدرکی می‌گیره که به اعتقاد نویسنده واقعاً برای به دست آوردنش زحمت نکشیده.

نویسنده روی کلمه «به دست آوردن» تأکید داره. می‌گه فرق هست بین چیزی که واقعاً با تلاش به دست آوردی و چیزی که فقط گیرت اومده. نگرانی او اینه که دانشجوها دارند یاد می‌گیرند بدون انجام کار واقعی، نتیجه و پاداشش را بگیرند.

او می‌گه از زمستان ۲۰۲۳ متوجه این تغییر شد. مقاله‌هایی که دانشجوها تحویل می‌دادند ناگهان بیش از حد تمیز شده بودند: گرامر بی‌نقص، کلی بولت‌پوینت و جملات مرتب اما بی‌روح و ربات‌مانند. خبری هم از آن فکرهای شخصی، اشتباهات طبیعی و سبک خاص هر دانشجو نبود.

اوایل تعداد این دانشجوها کم بود، اما حالا قضیه خیلی گسترده‌تر شده. در یک نظرسنجی روزنامه دانشجویی هاروارد، حدود یک‌سوم فارغ‌التحصیلان گفته‌اند برخلاف اجازه استاد، برای تکالیفشان از هوش مصنوعی استفاده کرده‌اند.

یکی از همکاران نویسنده در دانشگاه شیکاگو هم که درس «نگارش» به دانشجویان سال اول می‌دهد، گفته در تمام کلاس‌هایی که طی یک سال برگزار کرده، فکر می‌کند فقط سه دانشجو تکالیفشان را بدون کمک AI نوشته‌اند. یعنی حتی در کلاسی که هدف اصلی‌اش یاد گرفتن نوشتنه، تقریباً همه از هوش مصنوعی کمک گرفته‌اند.

یکی از دلایلش هم واضحه: احتمال گیر افتادن خیلی کمه.

در همان نظرسنجی هاروارد، ۹۳ درصد کسانی که برخلاف دستور استاد از AI استفاده کرده بودند، اصلاً گیر نیفتاده بودند. از آن تعداد کمی هم که لو رفته بودند، بیش از نصفشان هیچ مجازاتی نشده بودند. در نهایت فقط حدود ۲.۶ درصد واقعاً بابت کارشان هزینه‌ای داده بودند.

پس از نگاه کسی که می‌خواهد تقلب کند، حساب‌وکتاب ساده است: «احتمال اینکه گیر بیفتم خیلی کمه پس چرا انجامش ندم؟»

نویسنده می‌گه مشکل دقیقاً همین طرز فکره. شبیه کسی که بلیت مترو نمی‌خره، سرعت غیرمجاز می‌ره یا مالیاتش رو دور می‌زنه و فقط حساب می‌کنه احتمال گیر افتادنش چقدره. دیگر سؤال این نیست که «این کار درسته یا غلط؟» بلکه اینه: «چقدر احتمال داره مچم رو بگیرن؟»

از طرفی خیلی از دانشجوها احتمالاً استفاده غیرمجاز از AI رو نوعی «جرم بدون قربانی» می‌بینن. فکر می‌کنن: خب من مقاله‌ام رو با ChatGPT نوشتم، به چه کسی آسیب زدم؟ تازه وقتی همه دارن این کار رو می‌کنن، چرا من باید چند ساعت وقت بذارم و خودم بنویسم و از بقیه عقب بیفتم؟

اما نویسنده می‌گه همین منطق کم‌کم کل فضای دانشگاه رو خراب می‌کنه.

برای نمونه ماجرایی از دانشگاه براون تعریف می‌کنه. یک استاد اقتصاد به نام روبرتو سرانو بعد از تیراندازی مرگباری که در دانشگاه اتفاق افتاده بود، برای اینکه فشار روانی دانشجوها کمتر شود، امتحانش را از حضوری به امتحان در خانه تبدیل کرد.

ناگهان تعداد دانشجوهای کلاس از حداکثر معمولِ حدود ۳۰ نفر به نزدیک ۹۰ نفر رسید!

بعد هم نتیجه امتحان عجیب بود: میانگین نمره ۹۶ از ۱۰۰ شد و ۴۰ نفر نمره کامل گرفتند.

استاد شک کرد. سؤال‌های خودش را به ChatGPT داد و دید جواب‌هایش خیلی شبیه جواب دانشجوهاست: تا حدودی درست، ولی با توضیحات پیچیده و عجیب.

بنابراین امتحان پایان‌ترم را دوباره حضوری کرد.

نتیجه حیرت‌آور بود: بلافاصله ۱۸ نفر درس را حذف کردند. ۹ نفر اصلاً سر امتحان نیامدند و میانگین نمره کسانی که امتحان دادند فقط ۴۸.۶ شد؛ تقریباً ۲۰ نمره کمتر از بدترین میانگین امتحان نهایی در تاریخ آن کلاس.

استاد گفته بود: «ما نمی‌تونیم جامعه‌ای داشته باشیم که بخش قابل‌توجهی از بهترین جوان‌هاش فکر کنن تقلب کردن اشکالی نداره. چنین جامعه‌ای رو به زوال میره.

در روزگاری که هر روز چیزی از ما گرفته می‌شود، شوق یادگیری تنها چیزی‌ست که هیچ‌کس نمی‌تواند از ما بگیرد!



جالب و شنیدنی بود.

یه سؤال بود که هم بیشتر شرکت‌کننده‌های المپیاد جهانی ریاضی رو متوقف کرد، هم Gemini Deep Think رو. سال ۲۰۲۵، این مدل رفت سراغ ۶ سؤال IMO؛ ۵ تاش رو کامل حل کرد و ۳۵ از ۴۲ گرفت، یعنی در حد مدال طلا. فقط سؤال ششم موند. صورت سؤال عجیب ساده‌ست: یک صفحه شطرنجی ۲۰۲۵ در ۲۰۲۵ داریم. باید با چند مستطیل پوشونیمش، طوری که در هر سطر دقیقاً یک خانه خالی بمونه و در هر ستون هم دقیقاً یک خانه خالی بمونه. سؤال فقط اینه: حداقل چند مستطیل لازم داریم؟

از ۶۳۰ شرکت‌کننده، فقط ۶ نفر نمره کامل این سؤال رو گرفتن و میانگین نمره فقط ۰٫۱۸۴ از ۷ بود. دیروز
3Blue1Brown
هم یک ویدئوی خیلی خوب درباره همین مسئله ساخته و قدم‌به‌قدم بازش کرده.

سال ۱۹۳۱، برنارد کوپمن یه ایده عجیب مطرح کرد: شاید برای فهمیدن یک سیستم غیرخطی، لازم نباشه مستقیم با خودِ معادلات پیچیده‌اش درگیر بشیم. می‌شه چیزهایی رو که از سیستم اندازه می‌گیریم مثل موقعیت، سرعت، انرژی و ترکیب‌های مختلفشون به یک فضای بزرگ‌تر بُرد؛ جایی که تحول این مشاهده‌ها خطی دیده می‌شه.

یعنی غیرخطی‌بودن ناپدید نمی‌شه و از بین نمیزه؛ فقط جای نگاه‌کردنمون رو عوض می‌کنیم.( یه مختصات جدید) سختی کار هم اینه که از یک فضای کوچک وارد فضایی خیلی بزرگ، و در نظریه عملگرها وارد یک فضای برداری نامتناهی العبد، می‌شیم.

این ایده سال‌ها بیشتر یک بحث ریاضی بود. بعد داده و کامپیوتر از راه رسیدند و داستان کلن عوض شد: حالا می‌شد از روی داده، تقریب عملگر کوپمن رو یاد گرفت و از ابزارهای ساده و قدرتمند سیستم‌ های خطی برای مسائل غیرخطی استفاده کرد.

یکی از جاهایی که این ایده قدرتش رو قشنگ نشون داد کنترل ربات ها بود. کنترل یک بازوی نرم بادی کار ساده‌ای نیست؛ خم می‌شه، کش میاد و دینامیکش شدیداً غیرخطیه. Bruder و همکاران با داده‌های خود ربات یک مدل کوپمنی ساختند و روی اون MPC طراحی کردند. در آزمایش واقعیِ دنبال‌کردن مسیر، میانگین خطای کنترل کوپمنی بیش از سه برابر کمتر از MPC مبتنی بر مدل خطی معمولی همان ربات بود.
ایده‌ای مال سال ۱۹۳۱، نزدیک نود سال بعد داره یک بازوی نرم واقعی ربات رو دقیق‌تر کنترل می‌کنه.

بعضی ریاضیدان‌ها رو نباید فقط با تعداد مقاله‌ها یا اسم قضیه‌هاشون شناخت، باید دید بعد از چند دهه هنوز چه جور سؤال‌هایی به ذهنشون می‌رسه.

پروفسور امیدعلی شهنی کرمزاده، یا همان O.A.S، برای چند نسل از جامعه ریاضی ایران اسم آشناییه. از سخنرانی معروفش دز بیست‌وپنجمین کنفرانس ریاضی ایران گرفته تا فعالیت‌های جدیش در المپیاد ریاضی، تا جبر، توپولوژی، هندسه و آموزش ریاضی. اما چیزی که برای من جالبه اینه که هنوز هم می‌ره سراغ سؤال‌هایی که در نگاه اول خیلی ساده به نظر می‌رسن، ولی پشتشون یک عادت قدیمیِ ریاضی خوابیده.

در مقاله اش در مجله انجمن ریاضی اروپا، از یک سؤال شروع می‌کنه: چرا این‌همه قضیه رو به شکل «اگر P، آنگاه Q» می‌نویسیم و بعد اصلاً جدی نمی‌پرسیم برعکسش چی؟

حرفش فقط بازی با منطق نیست. می‌گه گاهی اگر برگردیم و دنبال عکس یک قضیه بگردیم، یا ضدنمونه پیدا می‌کنیم، یا مجبور می‌شیم فرض‌ها رو بهتر بفهمیم، یا حتی به یک قضیه کامل‌تر برسیم. برای این نوع قضیه‌ها اسم هم می‌ذاره: good complete theorem یا gc-theorem.

بعد با مثال جلو می‌ره؛ از اشتاینر لهموس و قضیه مورلی گرفته تا بولتسانو–وایرشتراس، جبر حلقه‌ها و توپولوژی. یعنی حرفش اینه که بعضی وقت‌ها یک کشف تازه از اضافه‌کردن تکنیک عجیب در نمیاد از این میاد که به یک قضیه قدیمی دوباره نگاه کنیم و بپرسیم: «برعکسش چی؟ درسته یا نه؟»

این همون جنس ریاضی‌ورزیه که آدم رو یاد ریاضیدان‌های بزرگ مسئله‌محور می‌اندازه: سؤال ساده، خلاقیت ، روح ناب ریاضی، سماجت روی جزئیات، و نپذیرفتن اینکه چون چیزی سال‌ها همین‌طور نوشته شده، پس حتماً کامل‌ترین شکلشه.

توی پست قبلی گفتیم پروفسور کرمزاده روی یک سؤال ساده تأکید داشت: وقتی قضیه‌ای می‌گه «اگر P، آنگاه Q»، بد نیست بپرسیم برعکسش هم درسته یا نه.

خودش هم همین ایده رو روی دو تا از معروف‌ترین قضیه‌های نظریه اعداد اجرا کرده.

قضیه کوچک فرما می‌گه اگر p عدد اول باشه و a بر p بخش‌پذیر نباشه، آن‌وقت a به توان p−1، به پیمانه p برابر ۱ می‌شه.

قضیه اویلر این الگو رو عمومی‌تر بیان می‌کنه میگه: اگر a و n نسبت به هم اول باشن، آن‌وقت a به توان φ(n)، به پیمانه n برابر ۱ می‌شه.

معمولاً توی کتاب‌ها می‌گن قضیه اویلر تعمیم قضیه فرماست؛ چون وقتی n اول باشه، φ(n)=n−1 و قضیه فرما از دل قضیع اویلر درمیاد.

اما O.A.S در مقاله‌ای که سال ۲۰۲۴ در مجله The Mathematical Gazette چاپ کرد، از همین سؤال converse شروع می‌کنه و نشون می‌ده رابطه رو می‌شه از جهت دیگه هم دید؛ تا جایی که فرما و اویلر را می‌توان طوری صورت‌بندی کرد که هر کدام تعمیمی از دیگری باشند.

یه سؤال مهم پشت شبکه‌های عصبی هست: اصلاً از کجا معلوم این مدل‌ها توانایی تقریب‌زدن چیزها و توابع پیچیده رو داشته باشن؟

یکی از جواب‌های کلاسیک، قضیه تقریب جهانی است.
(Universal Approximation Theorem)

این قضیه به زبان ساده می‌گه:

یک شبکه عصبی با فقط یک لایه پنهان، اگر به‌اندازه کافی نورون داشته باشه و تابع فعال‌ساز مناسبی استفاده کنه، می‌تونه هر تابع پیوسته‌ای رو روی یک ناحیه محدود، با هر دقتی که بخوای تقریب بزنه.

Cybenko
در ۱۹۸۹ یکی از نتایج معروف این ایده رو برای توابع فعال‌ساز سیگموئیدی ثابت کرد و Hornik و همکاران هم همان سال چارچوب عمومی‌تری برای شبکه‌های پیش‌خور ارائه کردند.

برای یک تابع پیوسته مثل f روی یک مجموعه فشرده، ایده اینه که می‌شه ترکیبی از این جنس پیدا کرد:

F(x) = Σ αᵢ σ(wᵢ·x + bᵢ)

طوری که اختلاف F(x) و f(x) روی کل ناحیه موردنظر، هرقدر بخوای کوچک بشه. یعنی برای هر ε مثبت، می‌شه شبکه‌ای ساخت که خطای تقریبش از ε کمتر باشه.

مثلاً فرض کنید تابعی داریم که ورودی‌اش دما، فشار و رطوبته و خروجی‌اش مصرف انرژی. لازم نیست از قبل فرمول دقیق این تابع رو بدونیم؛ قضیه می‌گه در شرایط مناسب، یک شبکه عصبی می‌تونه تابعی بسازه که خروجی اون تابع اصلی رو هرقدر بخوای دقیق تقریب بزنه.

از نظر ریاضی، حرف قضیه خیلی شبیه اینه که خانواده‌ای از توابع شبکه عصبی در فضای توابع پیوسته، چگال باشه؛ یعنی هر تابع پیوسته‌ای رو بشه با اعضای این خانواده به دلخواه نزدیک کرد.

اما یک نکته مهم: قضیه نمی‌گه شبکه حتماً یاد می‌گیره، نمی‌گه چقدر داده لازم داره، نمی‌گه آموزش چقدر طول می‌کشه و حتی نمی‌گه چند نورون لازم داریم. فقط می‌گه چنین شبکه‌ای وجود دارد.

همین تفاوت کوچیک خیلی مهمه:
«توانایی تقریب‌زدن» با «توانایی پیدا کردن اون تقریب در عمل» یکی نیست.

برای همین قضیه تقریب جهانی بیشتر از اینکه پاسخ مسئله آموزش باشه، یک نتیجه درباره ظرفیت نمایش شبکه عصبیه.

یکی از پایه‌های نظری موفقیت شبکه‌های عصبی، از یک سؤال کاملاً ریاضی شروع می‌شه: یک خانواده از توابع، تا چه حد می‌تونه توابع دیگر رو تقریب بزنه؟