Об эллиптических кривых

Хотелось бы вспомнить то, чего и не знали 🐺
Представьте 2^8 (если что ^ - это степень), м? Ответ: 256, считать надо было
А вот 2^256 уже тяжелее.

Есть такое простое число 2^255-19, а магия простых чисел используется в современной криптографии, и вот это число:
57896044618658097711785492504343953926634992332820282019728792003956564819949.

Так вот, один Брайнштейн в 2006 году представил Curve25519 — функцию эллиптической кривовой Diffie-Hellman, вспомните себя в 2006 году.🤪,
ага ага, Дифи Хеллман , знакомо, но что это ???
Ответ: ассиметричный обмен ключами

Описывать все нудно и долго, да и кому нужно читать столько букв😱

Если все очень упрощенно, то Curve25519 разработана для эффективного обмена ключами в криптографических системах. Каждый пользователь генерирует 32-байтный секретный ключ и соответствующий открытый ключ, а пара пользователей создает 32-байтный общий секрет для аутентификации и шифрования.

Функция основана на эллиптической кривой y^2 = x^3 + 486662x^2 + x над полем Fp, где p = 2^255 - 19.

Кста, эта КУРВА используется в WireGuard (спасибо Антику, а то бы никто и не знал😂)

Секретные ключи ограничены диапазоном 2^254 + 8{0, …, 2^251 - 1}, а открытые ключи принимаются как любые 32-байтные строки.

Безопасность Curve25519 основана на трудности дискретного логарифма на эллиптических кривых размером более 2^252.

Известные атаки, такие как метод rho или кенгуру Полларда, требуют около 2^125 сложений, что выходит за пределы современных вычислительных возможностей (оценочно 2^80 операций).

Здравствуйте квантовые компы, кста, этот Брайнштейм Брейншторм 🎧 активно участвует в пост квантовой криптографии.

Атаки малых подгрупп исключены благодаря простому порядку базовой точки (2^252 + …), а активные атаки нейтрализуются за счет отсутствия слабых искажений. Пользователи должны генерировать случайные ключи и использовать надежные функции вывода ключа, такие как Salsa20 (это еврей шиллит свое потоковое шифрование, хитрец🪞)

Арифметика в Fp (Fp - это поле, кто забыл то, что не знал 😎) выполняется с использованием инструкций с плавающей запятой на Pentium M. А до сюда вообще никто не дочитает, так же как и серьезную статью про патриотизм, везде нужно быстро и просто, 21 век, хули.
Полиномы представляются с уменьшенными степенями (до x^9) и коэффициентами (в диапазоне ±2^25), что оптимизирует умножение и сложение. Выбор p = 2^255 - 19 минимизирует накладные расходы, а метод Karatsuba ускоряет умножение полиномов. Инверсия реализуется через метод Ньютона с 3-4 итерациями.

Скалярное умножение nQ реализовано с помощью метода Монгомерри (это и есть формула эллиптической кривой в начале), работающего только с x-координатами, и алгоритма с фиксированным окном (5 бит). Таблица предварительных вычислений (для 32 битного ключа) (1 КБ) и маскирование обеспечивают постоянное время выполнения, защищая от атак с измерением времени. Удвоение и сложение точек оптимизированы до 3-4 умножений и 5-6 сложений, а кофактор 8 учитывается сдвигом секретного ключа.

Кофактор нужен для попадания в нужную подгруппу в конечном поле, кратную 8, чтобы избежать атак малых подгрупп, например кратных 2 , 4 или искаженных подгрупп). Все это проверяется при скалярном умножении (mod 8), таким образом здоумышленник не сможет подсунуть точку из других подгрупп и узнать секретный ключ)

Возможно, вы натыкались на Возможно, вы натыкались на пост одного уважаемого Госта🐳, где P=NP контексте дискретных алгоритмов. Через сколько лет это будет достижимо, и будет ли вообще?

Интересно еще и то, что эллиптическую кривую используют и в Bitcoin - secp256k1:
y^2 = x^3 + 7 (вейштрасс), и кривая эта выбрана, просто по красивому числу (интересно, где-то пахнет обманом🛌), особенно когда на вопросы этого Брейншторма про открытость и слабые места криптоалгоритмов от NIST (Национальный институт стандартов и технологий США) они отмалчиваются 😨

Это конец поста обо все и ни о чем, принимаются все замечания и обсуждения

А вот низ, все мои многочисленные подписчики прочитают, шалом✋.
Ниже ориджинал статьи Брейншторма 😌

«Деньги - Товар - Еще больше денег»

Как это может стать системой строительства и обеспе’чения процветания общества 🤵

Перевод Стратегии национальной безопасности США 2025

Мы уходим из мира/ мир через силу

И как Китай является противником номер 1

А также нет конкретики, про каких врагов идет речь🤷‍♂️

Ссылка на оригинал