بسیاری از مسائل رشته های برق و مکانیک در دنیای واقعی با مدلسازی تبدیل به یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی می شوند. حل بسیاری از این معادلات با آنالیز تابعی ممکن است. مهم ترین قضیه ی آنالیز تابعی که این رشته بر آن استوار است قضيه ی هان-باناخ می باشد. قضيه هان-باناخ با لم زورن ثابت می شود. لم زورن از اصل انتخاب نتیجه می شود.
ببینید از کجا رسیدیم به کجا؟!
این است کاربرد محض ترین شاخه های ریاضی
@harmoniclib

پیام ارسالی:

دوسال پیش که داشتم این سوال رو میخوندم
به این فکر می‌کردم موتور سواری که باک نداره بنزین رو کجا می‌ریزه؟!🤣🤣
@harmoniclib

سوی بی‌سو کجاست؟!
@harmoniclib

مرا گوید مرو هر سو، تو استادی بیا این سو
که من آن سوی بی‌سو را نمی‌دانم نمی‌دانم
@harmoniclib
مولوی

پیام ارسالی :

نکته جالب‌تر اینه که برخی از نتایج اصل انتخاب با این اصل معادل هستند.

مثلا قضیه تیخونوف که یکی از قضایای مهم در توپولوژی هست با اصل انتخاب معادل هست.

یعنی میتونیم جای اصل انتخاب توی اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها از قضیه تیخونوف استفاده کنیم.

همینطور این گزاره که "هر فضای برداری دارای پایه هست" نیز با اصل انتخاب معادله هست.

یا این گزاره مهم در جبر که "هر حلقه جابجایی یکدار دارای ایده‌آل ماکسیمال است" نیز با اصل انتخاب معادل هست.

ولی در مورد قضیه هان باناخ فکر کنم معادل نیست با اصل انتخاب.
یه قضیه دیگه مثل اینکه تو آنالیزتابعی داریم به نام قضیه کرین-میلمن که تو اثبات اون هم از اصل انتخاب استفاده میشه.

یادمه یه جا خوندم که قضیه کرین-میلمن با یه شرط خاص به همراه قضیه هان باناخ، اصل انتخاب رو نتیجه میدن.

اثبات این که قضیه تیخونوف ، اصل انتخاب را نتیجه می ده
👇👇👇👇👇👇

یکی از صورت‌‌های معادل اصل انتخاب رو ثابت میکنیم.

این صورت معادلش که میگه "حاصلضرب خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی، ناتهی است."

فرض کنیم {Xj} یک خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی باشه.
میخواهیم ثابت کنیم که
Π Xj
هم ناتهی هست.

برای اینکار یه عنصر مجزا مثل * در نظر میگیریم که تو هیچکدوم از Xj ها نیست.

قرار بدید:
Yj = Xj U {*}

روی Yj توپولوژی به صورت زیر تعریف میکنیم.
τj={ Φ , Xj , {*} , Yj }

با این توپولوژی همه Yj ها فشرده میشن پس طبق قضیه تیخونوف حاصلضرب‌شون هم فشرده است.
فرض کنیم Y حاصلضرب Yj ها باشه و

πj : Y----->Yj

نگاشت افکنش باشه.(که میدونیم پیوسته است)

اگر Uj رو بگیریم تصویر معکوس {*} تحت πj، اونوقت Uj بازه.(به خاطر پیوستگی πj و باز بودن {*} در Yj)

حالا میتونیم بگیم که هیچ تعداد متناهی از Uj ها Y رو نمیپوشونه.
چون اگر مثلا Ui1,Ui2,...,Uik فضای Y رو بپوشونند اونوقت کافیه یه عنصر تو Y به اینصورت بگیرید که مولفه‌های i1,i2,...,ik رو چیزی به جز * انتخاب کنیم.(توجه کنید که اینجا از اصل انتخاب استفاده نمیکنیم چون از تعداد متناهی مجموعه داریم انتخاب میکنیم)
بقیه مولفه‌ها رو هم * بذاریم.
این عضو تو اجتماع Ui1,Ui2,...,Uik ها نیست.

پس هیچ تعداد متناهی از Uj ها نمیتونه Y رو بپوشونه.
چون Y فشرده بود پس نتیجه میگیریم که کل Uj ها یک پوشش باز برای Y نیستند.
یعنی عضو y در
Y \ U Uj
ها وجود داره.

با توجه به تعریف Uj ها مشخصه که هیچکدوم از مولفه‌های عضو y برابر * نیست.
پس y عضوی از
ΠXj
هست.
@harmoniclib

قضیه تیخونوف :

حاصل‌ضرب دلخواه (حتی نامتناهی) از فضاهای فشرده، با توپولوژی حاصلضربی، فشرده است.
@harmoniclib
این قضیه کاربرد اساسی در آنالیز تابعی دارد که یکی از مهم‌ترین کاربردهای آن، اثبات قضیه Banach–Alaoglu theorem است. این قضیه می‌گوید توپ بسته واحد در فضای دوگان، در توپولوژی ضعیف-* فشرده است و پایه بسیاری از مباحث آنالیز تابعی، بهینه‌سازی و معادلات دیفرانسیل است.

آندری نیکولایویچ تیخونوف (Andrey Nikolayevich Tikhonov) یکی از ریاضیدانان برجستهٔ شوروی در قرن بیستم بود که در چندین حوزهٔ مهم ریاضیات، به‌ویژه توپولوژی، آنالیز تابعی و معادلات دیفرانسیل فعالیت کرد.
او در ۱۹۰۶ در مسکو به دنیا آمد و در سال ۱۹۹۳ چشم از جهان فروبست. او استاد دانشگاه دولتی مسکو بود.
@harmoniclib

آرخایو اعلام کرده که اگر نویسندگان مقاله‌ای ارسال کنند که به‌وضوح حاوی محتوای تولیدشده توسط هوش مصنوعی باشد و آن را بررسی و بازبینی نکرده باشند، به مدت یک سال از ارسال مقاله به arXiv محروم خواهند شد.
این سیاست، مقالاتی را هدف قرار می‌دهد که نشانه‌های آشکاری از عدم بازبینی خروجی هوش مصنوعی توسط نویسندگان در آن‌ها دیده می‌شود؛ از جمله:
ارجاعات (رفرنس‌های) ساختگی یا خیالی،
داده‌های جعلی،
مطالب گمراه‌کننده،
یا حتی باقی ماندن متن‌های مربوط به دستورات چت‌بات (Promptها) در مقاله.

توماس دیترش (Thomas Dietterich)، رئیس بخش علوم کامپیوتر arXiv، گفته است که وجود چنین شواهدی باعث می‌شود اعتماد به کل مقاله دشوار شود.

پس از اعمال این محرومیت، نویسندگانی که مشمول آن شده‌اند، برای اینکه دوباره بتوانند مقاله‌ای را در arXiv منتشر کنند، باید ابتدا مقاله‌ای را در یک نشریه یا کنفرانس معتبرِ داوری‌شده (Peer-reviewed) به پذیرش برسانند.

منبع: Thomas Dietterich / X
@harmoniclib

🚀 می‌خواهید خدمات، دوره یا محصول شما دیده شود؟

📚 تبلیغات شما در کانال پرمخاطب
✨ اخبار و کتاب‌های ریاضی
@harmoniclib

و گروه تخصصی
🎓 ارشد و دکتری ریاضی
@arshadoct

با تخفیف ویژه امکان‌پذیر است.

🎯 فرصت ویژه برای معرفی کسب‌وکار، دوره‌ها و خدمات شما در جامعه ریاضی

اگر مخاطب شما دانشجویان، پژوهشگران، اساتید و علاقه‌مندان ریاضی هستند، این فرصت را از دست ندهید. هزاران علاقه‌مند به ریاضی، دانشجو و پژوهشگر اینجا حضور دارند.

📩 جهت هماهنگی و رزرو تبلیغ پیام دهید:
👇👇👇
@meisami_mah

ریاضیات ارث پدر هیچکس نیست!
مافیابردار هم نیست.
مهم نیست حرفت را کجا زده باشی.
تو مقاله،
تو کتاب،
تو سایت،
یا تو یه برگه‌ی چک‌نویس زیر هزار من خاک.
اگر حرفت دقیق و درست باشد، تا ابد در تاریخ می‌ماند. کافیست تاریخ ریاضیات را بخوانید، از این نمونه‌ها بسیارند.
پس بدون توجه به نظرات ناامیدکننده، مسیرت را ادامه بده. یک قلم و چند برگه کاغذ، فقط فکر کن و ابتکارت را خرج کن. هزاران بوده‌اند که امکانات کمتری از من و تو داشته‌اند و شاهکارها از خود به جا گذاشته‌اند.
@harmoniclib
مهدی میسمی

《 حدس خانم فیروزبخت 》
👇👇👇
https://www.aparat.com/v/2UfXb

مشهور ترین مسائل در ریاضیات آن هایی نیستند که کاربردهای زیادی دارند، بلکه آن هایی هستند که نمادی از یک نظریه بنیادی هستند.

سدریک ویرانی
برنده ی مدال فیلدز در سال ۲۰۱۰
@harmoniclib

پادکست رادیو ریاضی:

انتخاب رشته کارشناسی ارشد
@harmoniclib

لیست شماره کد های انجمن ریاضی آمریکا برای همه ی شاخه های مختلف ریاضی
@harmoniclib

معرفی فیلم
Adventures of a Mathematician 2020

داستان یک مهاجر و ریاضیدان لهستانی به نام استن اولام که در دهه 1930 به ایالات متحده نقل مکان کرد. استن با تلفات سخت خانواده و دوستان در حالی که به ایجاد بمب هیدروژنی و اولین رایانه کمک می کند، کنار می آید ...
@harmoniclib

پیام ارسالی دکتر مرادی:

امروز جی‌پی‌تی ۱۰ تا سوال سوپر سخت رو جواب داده. حدس rigidity از آلن کان. حدس Soficity از گروموف و سوالای دیگه که به کار من مربوط نیستن. سوالای در حد فیلدز مدال. اینا سخت ترین سوالایی بودن که تا حالا مدل‌های هوش مصنوعی حل کردن.
@harmoniclib

گروموف کانجکچر بوده که هر گروه گسسته‌ای subamenable هست بعدا ثابت شد که این معادل sofic هست و شواهد می‌گفت که درست نیست. در عمل همه دنبال مثال بودیم. سال ۲۰۱۹ هم یه مقاله‌ای اومد که قویا وجود مثال رو پیش‌بینی می‌کرد. مثالش پیدا شد.
👇👇👇

Ten Advances in Mathematics
and Theoretical Computer Science
OpenAI
@harmoniclib

جزوه ی پیوستگی یکنواخت
دانشگاه برکلی آمریکا
@harmoniclib

لم زورن (Zorn's lemma) را می‌توان برای نشان دادن این موضوع به کار برد که هر گراف همبند دارای یک درخت پوشا (spanning tree) است.
مجموعۀ تمام زیرگراف‌هایی که خودشان درخت هستند، با رابطۀ شمول (درج شدن) مرتب می‌شود. اجتماعِ یک زنجیره (chain) از این زیرگراف‌ها، یک کران بالایی برای آن زنجیره است. طبق لمۀ زورن، یک درخت ماکزیمال (بیشینه) باید وجود داشته باشد؛ و چون گراف اصلی همبند است، این درخت ماکزیمال در واقع یک درخت پوشا است، یعنی تمام رأس‌های گراف را شامل می‌شود.
برای گراف‌های متناهی، مانند گرافی که در تصویر نشان داده شده است، استفاده از لم زورن لازم نیست. (در گراف‌های متناهی می‌توان با روش‌های مستقیم، مثلاً با حذف یال‌های اضافی یا الگوریتم‌های پیمایش، یک درخت پوشا پیدا کرد.)
@harmoniclib

دوستان عزیز 🌱

اگر در این مدت از مطالب، معرفی کتاب‌ها، اخبار علمی و محتوای آموزشی کانال اخبار کتاب‌های ریاضی استفاده کرده‌اید و این کانال برای شما مفید بوده است، خوشحال می‌شویم با حمایت خود به ادامه‌ی فعالیت آن کمک کنید.

راه‌اندازی و حفظ یک فضای علمیِ مستقل، نیازمند همراهی کسانی است که به گسترش دانش و فرهنگ ریاضی اهمیت می‌دهند.

هر میزان حمایتی، حتی کوچک، می‌تواند کمک کند تا این چراغ کوچک علمی همچنان روشن بماند و کتاب‌ها، ایده‌ها و مطالب ارزشمند ریاضی به دست علاقه‌مندان بیشتری برسد. ✨

شماره کارت جهت حمایت:
👇👇👇
6219861980029192
مهدی میسمی
بانک سامان

از همراهی و محبت شما سپاسگزاریم. 🙏

@harmoniclib

پیام ارسالی:

ولی به صورت کلی تجربه استفاده م از AI رو بگم، آدم در مجموع تنبلتر و بی حوصله تر میشه و خلاقیت هم آسیب میبینه. البته این احتمال جدی وجود داره که من از اعتدال خارج شدم و زیاد دارم استفاده میکنم.

اساسا خلاقیت تو بستر آرام شکل میگیره وقتی که روی یک جمله توقف میکنی، تصویر سازی ذهنی میکنی و بعد از چند بار تلاش ناکام، در نهایت درک درستی ازش پیدا میکنی. این جاها احتمالا خلاقیت بروز میکنه و همین تلاشهاست که میشه سرمایه ای برای حل مسائل بعدی. با وجود AI، فقط کپی پیست میکنی و میگی برات توضیح بده اونم گاهی درست و گاهی نه چندان درست، جملات جذابی رو با قطعیت کامل برات ردیف میکنه. اصلا به مرور تفکر مستقل رو هم ممکنه از دست بدی و همیشه دنبال تایید AI باشی.

با این همه حد اعتدال و استفاده درست تعیین کننده ست ولی همین استفاده درست به نظرم چیز ساده ای نیست. کم عامل وسوسه کننده و خراب کننده نظم ذهنی داشتیم این وسوسه تایید گرفتن همیشگی از AI هم اضافه میشه.
@harmoniclib