نامساوی یونگ برای حاصلضرب‌ها
👇👇👇
https://youtube.com/shorts/y7tRfNDXXWo?si=kSY-fLo7NraTV1__

جزوه بسیار خوب مبانی ریاضی

دکتر بهرامیان
@harmoniclib

پیام ارسالی:

امروز تو یه جلسه ای مجبور بودم یه مفهوم هوش مصنوعی رو برا یه نفر توضیح بدم که پزشک بود. پدرم دراومد. با خودم گفتم ببین اگه این یه لیسانس ریاضی داشت کل زحمت من میشد یه خط معادله.

واقعا ما خودمون نمیدونیم همین مفاهیم اپسیلون دلتا، همگرایی، بی نهایت, ... رو که بلدیم ذهنمون جوری سازمان یافته شده که درک مفاهیم انتزاعی به مراتب برامون تسهیل شده.
@harmoniclib

جزوه هندسه جبری
دانشگاه " هاروارد" آمریکا
پرفسور کوپر
@harmoniclib

گویا یک دانش آموز در حین امتحان نهایی دچار ایست قلبی شده و فوت کرده. این همه استرس برای چی؟!
@harmoniclib

کارگاه هندسه
👇👇👇
https://t.me/geometryforall

🧶 حدس ژاکوبی

صحبت در مورد این حدس را با یک مثال خیلی ساده شروع می‌کنیم. یک ورق لاستیکی را تجسم کنید که روی آن نقطه‌هایی کشیده شده است. اگر این ورق را فقط بکشید یا بچرخانید؛ نه اینکه آن را تا کنید یا پاره کنید. چه اتفاقی می‌افتد؟!

هر نقطه به یک نقطه جدید می‌رود.

هیچ دو نقطه روی هم نمی‌افتند.

همیشه می‌توانید ورق را برعکس کنید و جای اولیه هر نقطه را پیدا کنید.

این همان چیزی است که انتظار داریم.

اما نقش دترمینان ژاکوبی چیست؟

دترمینان ژاکوبی مثل یک حسگر است که در هر نقطه بررسی می‌کند:

«آیا این قسمت از ورق تا خورده یا مچاله شده است؟»

اگر دترمینان صفر شود، یعنی آن قسمت روی خودش خوابیده است.

اما اگر دترمینان همیشه غیرصفر باشد، یعنی در هیچ نقطه‌ای تاخوردگی وجود ندارد.

کلر گفت:

اگر هیچ جای ورق تا نخورده باشد، آیا ممکن است باز هم دو نقطه روی هم بیفتند؟

او حدس زد:

نه؛ چنین چیزی ممکن نیست.
@harmoniclib

کمی دقیق تر
@harmoniclib

در ۱۹ ژوئیه ۲۰۲۶، لِوِنت آلپوگه، ریاضیدان دانشگاه هاروارد و پژوهشگر شرکت Anthropic، در توییتی اعلام کرد که مدل هوش مصنوعی Claude Fable 5 یک مثال نقض برای این حدس پیدا کرده است. او این یافته را حین تماشای فینال جام جهانی به دست آورد.

حالا ما حین تماشای فینال جام جهانی چه کار می‌کردیم؟!
تخمه می‌شکستیم و اینستاگرام را بالا و پایین می‌رفتیم.

@harmoniclib
نکته مهم این است که هوش مصنوعی مستقیماً «اثبات» تولید نکرد؛ بلکه یک مثال نقض بسیار ظریف پیشنهاد داد. سپس ریاضیدانان با محاسبات نمادین و بررسی‌های مستقل ثابت کردند که واقعاً دترمینان ژاکوبی آن ثابت است و نگاشت یک‌به‌یک نیست.

کانال اخبار و کتاب‌های ریاضی کانال خود شماست.

از هر کمکی که فکر می‌کنید بهترش می‌کنه، لطفا دریغ نکنید.
👇👇👇
@meisami_mah

خلاصه گفتگوی ترنس تائو و لکس فریدمن
در ۱۴ ژوئن ۲۰۲۵
@sciencefrontiers

او به دنبال مدال نبود. او به دنبال یک سوال بود.

شایان اویس قرن با تجربه تحقیقاتی کمی دوره دکتری خود را آغاز کرد و به دنبال رهنمودهای استادش وارد مسئله‌ای شد که ریاضیدانان دهه‌ها در حال دور زدن آن بودند. اما در طول این مسیر، او به شدت مجذوب شد. هنگامی که تکنیک‌های جدیدی را یاد گرفت، شروع به فکر کردن کرد که آیا ابزارهایی که اکنون در اختیار داشت، دقیقاً همان چیزی نبودند که مشکل به آن نیاز داشت.
@harmoniclib
این خودباوری در حال رشد او را از میان سال‌ها کار سخت عبور داد و در نهایت به مدال آباكوس IMU 2026 رسید.

پادکست رادیو ریاضی:

کاربرد نظریه مجموعه ها و به ویژه حساب کاردینال ها
@harmoniclib

کل چرخش مالی بازار ریاضی ایران
👇👇👇
https://youtube.com/shorts/3NnfaG0uJ7E?si=UWltplwJQ7AGqARB

بسیاری از مسائل رشته های برق و مکانیک در دنیای واقعی با مدلسازی تبدیل به یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی می شوند. حل بسیاری از این معادلات با آنالیز تابعی ممکن است. مهم ترین قضیه ی آنالیز تابعی که این رشته بر آن استوار است قضيه ی هان-باناخ می باشد. قضيه هان-باناخ با لم زورن ثابت می شود. لم زورن از اصل انتخاب نتیجه می شود.
ببینید از کجا رسیدیم به کجا؟!
این است کاربرد محض ترین شاخه های ریاضی
@harmoniclib

پیام ارسالی:

دوسال پیش که داشتم این سوال رو میخوندم
به این فکر می‌کردم موتور سواری که باک نداره بنزین رو کجا می‌ریزه؟!🤣🤣
@harmoniclib

سوی بی‌سو کجاست؟!
@harmoniclib

مرا گوید مرو هر سو، تو استادی بیا این سو
که من آن سوی بی‌سو را نمی‌دانم نمی‌دانم
@harmoniclib
مولوی

پیام ارسالی :

نکته جالب‌تر اینه که برخی از نتایج اصل انتخاب با این اصل معادل هستند.

مثلا قضیه تیخونوف که یکی از قضایای مهم در توپولوژی هست با اصل انتخاب معادل هست.

یعنی میتونیم جای اصل انتخاب توی اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها از قضیه تیخونوف استفاده کنیم.

همینطور این گزاره که "هر فضای برداری دارای پایه هست" نیز با اصل انتخاب معادله هست.

یا این گزاره مهم در جبر که "هر حلقه جابجایی یکدار دارای ایده‌آل ماکسیمال است" نیز با اصل انتخاب معادل هست.

ولی در مورد قضیه هان باناخ فکر کنم معادل نیست با اصل انتخاب.
یه قضیه دیگه مثل اینکه تو آنالیزتابعی داریم به نام قضیه کرین-میلمن که تو اثبات اون هم از اصل انتخاب استفاده میشه.

یادمه یه جا خوندم که قضیه کرین-میلمن با یه شرط خاص به همراه قضیه هان باناخ، اصل انتخاب رو نتیجه میدن.

اثبات این که قضیه تیخونوف ، اصل انتخاب را نتیجه می ده
👇👇👇👇👇👇

یکی از صورت‌‌های معادل اصل انتخاب رو ثابت میکنیم.

این صورت معادلش که میگه "حاصلضرب خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی، ناتهی است."

فرض کنیم {Xj} یک خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی باشه.
میخواهیم ثابت کنیم که
Π Xj
هم ناتهی هست.

برای اینکار یه عنصر مجزا مثل * در نظر میگیریم که تو هیچکدوم از Xj ها نیست.

قرار بدید:
Yj = Xj U {*}

روی Yj توپولوژی به صورت زیر تعریف میکنیم.
τj={ Φ , Xj , {*} , Yj }

با این توپولوژی همه Yj ها فشرده میشن پس طبق قضیه تیخونوف حاصلضرب‌شون هم فشرده است.
فرض کنیم Y حاصلضرب Yj ها باشه و

πj : Y----->Yj

نگاشت افکنش باشه.(که میدونیم پیوسته است)

اگر Uj رو بگیریم تصویر معکوس {*} تحت πj، اونوقت Uj بازه.(به خاطر پیوستگی πj و باز بودن {*} در Yj)

حالا میتونیم بگیم که هیچ تعداد متناهی از Uj ها Y رو نمیپوشونه.
چون اگر مثلا Ui1,Ui2,...,Uik فضای Y رو بپوشونند اونوقت کافیه یه عنصر تو Y به اینصورت بگیرید که مولفه‌های i1,i2,...,ik رو چیزی به جز * انتخاب کنیم.(توجه کنید که اینجا از اصل انتخاب استفاده نمیکنیم چون از تعداد متناهی مجموعه داریم انتخاب میکنیم)
بقیه مولفه‌ها رو هم * بذاریم.
این عضو تو اجتماع Ui1,Ui2,...,Uik ها نیست.

پس هیچ تعداد متناهی از Uj ها نمیتونه Y رو بپوشونه.
چون Y فشرده بود پس نتیجه میگیریم که کل Uj ها یک پوشش باز برای Y نیستند.
یعنی عضو y در
Y \ U Uj
ها وجود داره.

با توجه به تعریف Uj ها مشخصه که هیچکدوم از مولفه‌های عضو y برابر * نیست.
پس y عضوی از
ΠXj
هست.
@harmoniclib