Math Atlas 102
245 subscribers
81 photos
61 videos
1 file
141 links
Второй год образовательного трека геометрии и топологии

Буст: t.me/boost/geomtop25
Полная таблица: t.me/ldtss/527

Версии других лет:
t.me/geomtop26
t.me/geomtop25
t.me/geomtop24
t.me/geomtop23
Download Telegram
Откажитесь от чтения

Я не коллекционер. Я не нахожу удовольствия в накоплении предметов. Это относится и к книгам тоже — я не раз избавлялся от значительной части своей библиотеки, дарил или перепродавал большинство книг. Я сохранил только те, к которым был особо привязан.

Моя математическая библиотека невелика — меньше ста книг. Мало у кого дома есть сто книг по математике, но у некоторых математиков их намного больше. Я скопил эти книги за время учебы и научной деятельности. Несколько экземпляров мне подарили, потому что я был знаком с авторами. Меньше ста за все эти годы – не так уж много.

Большую часть нужных мне книг я одалживал или читал в электронной форме. Я покупал только те, которые мне очень нравились, которые я хотел иметь у себя или находил действительно прекрасными.

Одна из моих любимых книг, одна из тех немногих, расставание с которыми разбило бы мне сердце, — «Категории для работающего математика» Саундерса Маклейна.

Каждый раз, как она попадается мне, я мысленно улыбаюсь. Эта книга написана в 1960-е годы и остается главным трудом по теории категорий — революционному способу видеть и осмыслять математические структуры, который Маклейн и Самуэль Эйленберг изобрели в 1940-е годы.

Я купил ее 20 лет назад, сразу после защиты диссертации, на первое жалованье доцента в Йельском университете. Немногие книги оставили во мне такой же след. Я нахожу ее великолепной, блистательной, вдохновляющей и на редкость хорошо написанной.

Я так ее и не прочитал.
😁1221
Уравнение Навье—Стокса

00:00 Существует ли решение
01:36 Чем плавный поток отличается от турбулентности
03:49 УЧП/PDE и введение в функциональный анализ
04:13 В чём связь между диффгемом и вероятностью

Это вода. Это воздух. Они текут.
Уравнение говорит: вот сила. Вот давление. Вот вязкость. Она держит всё вместе, как смола. Без неё всё разлетится.
Масса сохраняется. Она никуда не уходит. Движение тоже. Оно переходит. Отсюда — туда.
Выглядит оно просто. Небольшая строка. Но в ней — весь океан. Вся буря. Весь дым от папиросы.
Его понимают. Но не до конца. За полное решение дадут миллион. Долларов.
Оно — вызов. Самый старый. Самый сложный. Победишь его — поймёшь реку, ветер, кровь в жилах.
Это всё. Уравнение.


(источник)
❤‍🔥4👍2
Загадка

Чтобы повесить картину на стенку, её подвешивают на верёвку. Например, изображенная верёвка делит стену на 59 областей, и каждая область относится к одному из двух типов:

• Те, после вбивания гвоздя в которые картина упадёт (под действием силы тяжести).
• Те, после вбивания гвоздя в которые картина будет висеть.

Важно: предполагается, что верёвка может проходить сквозь себя (но не через гвозди)


Вопрос — ниже. Разгадка — завтра утром
Можно ли повесить картину на два гвоздя так, чтобы она не упала, но падала при удалении любого из них?
Anonymous Quiz
75%
Да, можно
25%
Нет, нельзя
7
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Загадка о картине: свободные группы и теория узлов

00:00 Введение в теорию узлов
04:22 Задача с двумя гвоздями
06:35 Случай нескольких гвоздей
07:34 Возможное решение
09:09 Свободная группа с базисом из гвоздей
13:50 Проблема экспоненциального роста длины слов
15:04 Полиномиальное решение

(источник)
🔥3
Красота фрактальной геометрии

0:00 Ковер Серпинского
0:18 Дерево Пифагора
1:12 Кривая дракона
1:30 Папоротник Барнсли
2:05 Снежинка Коха
2:26 Треугольник Серпинского
2:47 Канторово множество
3:03 Кривая Гильберта
3:43 Губка Менгера
3:53 Симплекс Серпинского
4:05 Множество Мандельброта

(источник)
❤‍🔥6
Математическая теория фракталов

00:00 Распространённые заблужения
01:56 Фрактальная размерность
03:08 Самоподобие
06:31 Пример вычисления (Серпинский и Кох)
09:45 С таким определением размерности далеко не уедешь
12:34 Береговая линия Великобритании
14:33 Определение фрактала

(источник)
3
Метод Ньютона поиска корней многочленов

00:00 Введение в теорию фракталов
01:39 Кривые Безье в векторной графике
04:12 Формулы для корней многочлена
05:27 Метод Ньютона поиска вещественных решений
07:44 Упрощение метода, предложенное Рафсоном
09:42 Поиск корней в комплексной плоскости
13:01 Непредсказуемость алгоритма: появление хаоса
17:31 Объяснение сложности изображения и головоломка
20:22 Решение головоломки: фрактал (бассейны) Ньютона
22:44 Квадратичные многочлены
23:22 Голоморфная динамика

(источник)
3
Введение в голоморфную динамику

00:00 Чем интересны рациональные функции
03:02 В чём суть теории Фату—Жюлиа
04:15 Зачем изучают множество Мандельброта
06:16 Связь с фракталом Ньютона
08:12 Неподвижные точки, стабильность, геометрический смысл
12:51 Откуда берутся циклы
16:25 Где неожиданно обнаружили Мандельброта
21:17 Как множества Жюлиа и Фату объясняют теорию
26:24 Как в математике фракталы помогают постичь хаос

(источник)
4
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
В каком это смысле «малейшее изменение начальных условий динамической системы может приводить к существенно иным результатам»?!
6
Хаос и фракталы в движениях маятника

00:00 От маятников к кривым Лиссажу и как их услышать
02:15 Фазовый портрет и экскурсия по фракталу
03:23 График зависимости от начальных условий
04:27 Точки интереса
05:00 Гипотеза о связи энергичности и хаотичности
06:00 Смена угла зрения

(источник)
🔥4
Злой двойник Мандельброта из другого измерения

00:00 Как ведёт себя уравнение множества Мандельброта
03:01 Множества Жулиа
04:38 Эксперименты с показателем степени
05:43 Выход в шестимерное пространство
06:45 Действительно ли Мандельброт самоподобен?

(источник)
😁3
Великая тайна тостеров

На свете есть не только книги по математике. Есть и другие книги, которые никто никогда не читает с начала. Вот вы читали инструкцию к вашему тостеру?

Вероятно, нет. Может быть, вы машинально открыли ее, пока распаковывали тостер, но скорее всего вы никогда в нее по-настоящему не заглядывали. Разве что, конечно, если у вас возникла проблема с тостером — тогда вы, вероятно, пропустили все предисловия и напрямую отправились на страницу, которая в этот момент вас больше всего интересовала.

Может показаться шуткой, что мы сравниваем математические тексты с инструкциями к тостерам. Но вообще, это очень глубокая мысль. Мы обязаны ею Биллу Тёрстону.

Те‌рстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.

Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными:

Мне было бы проще всё написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле хотели сказать авторы.
🔥3
Математика эффекта бабочки

00:00 Эффект бабочки
01:03 Демон Лапласа
01:55 Конфигурации маятника
03:48 Задача трёх тел
04:49 Эксперимент Лоренца
08:29 Примеры хаотических систем
10:18 Аттрактор Лоренца и фракталы

Согласно теории хаоса, детерминистические системы могут быть непредсказуемы. Мы знаем все законы физики, которым они подчиняются, тем не менее, мы не можем точно рассчитать их поведение в будущем. Небольшие неточности и погрешности в расчётах накапливаются, усиливают друг друга, раз за разом приводя к вычислительной катастрофе. Будто взмах крыльев бабочки в одном полушарии стал причиной торнадо в другом. А ведь таким системам не обязательно быть очень сложными, достаточно всего трёх элементов. Так возможно ли вообще что-то предсказать?


(источник)