نتيجة تكاملية توصلت لها اثناء بحثي عن صيغة عامة للتكامل الاول

solving integral problem using harmonic series results

Another interesting result about harmonic series

من نظرية المؤثرات (احدى فروع التحليل العددي)

ايجاد صيغة لحساب الفروقات الخلفية (التصاعدية)  لأي حد .

على الرغم من أن هذه الصيغة تتيح حساب الفروقات لجميع الحدود بشكل مباشر ودقيق، إلا أن تطبيقها يدويًا قد يكون معقدًا ومزعجًا مقارنة بالطريقة التقليدية المعروفة باستخدام جداول الفروقات.

ومع ذلك، تتمثل ميزة هذه الصيغة في سهولة تحويلها إلى خوارزمية برمجية، مما يجعل من عملية البرمجة أكثر بساطة وفعالية مقارنة ببرمجة طريقة الجداول التقليدية.

an operator theory, a branch of numerical analysis.

Derive a general formula to calculate backward (or ascending) differences for any term.

من نظرية المعادلات الجبرية

قاعدة ديكارت لتغيّر الإشارة نسبة للفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت نص على ان عدد الاشارات المتغيرة في معاملات متعددة الحدود المرتبة ليست اصغر من عدد الجذور الحقيقية الموجبة للمتعددة وعدد الاشارات المتغيرة تطابق عدد الجذور الموجبة مقياس 2 (اي زوجيان او فرديان معا)

نشر ديكارت هذه القاعدة في كتابه La Géométrie عام 1637، وذكر أنه استقاها من كتابات جيرولامو كاردانو. ومن الجدير بالذكر أن ديكارت لم يذكر الجزء الثاني من المبرهنة المتعلق بتطابق عدد تغيّرات الإشارة مع عدد الجذور (أي الفرق يكون زوجيًا)، وهو ما أضافه لاحقًا الرياضيين كارل فريدريش غاوس وجوزيف لاغرانج في إثباتاتهم.

وقد اعتُبر ذلك نقطة بداية لرؤية أولية نحو المبرهنة الأساسية في الجبر، التي برهنها غاوس لاحقًا (حول كون المتعددة من الدرجة النونية لها n من الحلول في C بعضها قد تكون مكررة )

about theory of equations

Descate's Rule of Signs : the number of positive real roots of an equation with real coefficients is never greater than the number of variations in the sequence of its coefficients.

مثال حول طريقة ديكارت يظهر اهميته وبعض الصعوبات التي تواجهنا اثناء الحل

نظرية في التحليل العددي عن الاستكمال (الاستيفاء)

نظرية معامل الحد الأعلى في الفروق المقسومة

مع برهان صيغة نيوتن للفروق المقسومة وبالرغم من أن نيوتن لم يكتب الصيغة بهذا الشكل الحديث، إلا أن جذو ر الطريقة تعود لأعماله.

in numerical analysis

proof of Divided Differences of a Polynomial theorem

the nth order divided difference of nth degree polynomial equals the leading coefficient

with proof of  Newton’s Divided Difference formula

An integral problem of logarithmic function with a perfect result

USING THE NUMBER 2 ONLY

posted in RMM

قوى الأسس الزائفة (Pseudo-powers)، والذي يُطلق عليه أيضًا أسس بوشهامير التصاعدية نسبةً إلى الرياضي البروسي ليو بوشهامير (1841–1920).

تستخدم هذه الأسس على نطاق واسع في الدوال فوق الهندسية (Hypergeometric functions) كما أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة غاما تظهر في العديد من الحسابات الرياضية خصوصا في المتسلسلات.

ومن الجدير بالذكر أن مجموع هذه الأسس يُشبه إلى حد بعيد قواعد التكامل، كما أن الصيغ المتداخلة لها تأخذ شكلًا مشابهًا لقواعد الاشتقاق، مما يجعلها سهلة التذكر والاستخدام.

The pseudo-power series, also known as the rising Pochhammer symbols, are named after the German mathematician Leo August Pochhammer (1841–1920).

important in the study of hypergeometric functions and their close connection with the Gamma function.

من الأمثلة اللافتة على هذه الأسس أنه يمكن استخدامها لحساب بعض المجاميع دون الحاجة إلى تجزئة الكسور إلى كسور جزئية مطولة كما أن وجود الصيغة في البسط لا يستدعي فك الأقواس أو اللجوء إلى مجموعات قوى معقدة مما يجعل التعامل معها أكثر بساطة وكفاءة.

برهان صيغة فاولهابر

سميت الصيغة بهذا الاسم نسبة للرياضي الالماني يوهان فاولهابر 1580-1635 رغم انه لم يتوصل الى هذه الصيغة لكن وجده حتى 17حالات الاولى وبالتالي استنتج امكانية كتابة النتيجة العامة بمتعددة الحدود.

بعد قرابة قرن وتحديدا في عام 1713 ظهرت أعداد برنولي في أعمال الرياضي السويسري ياكوب برنولي (1655–1705) حيث توصل إلى أن هذه الأعداد تلعب دورا أساسيا في الصيغة العامة لمجموع القوى الصحيحة وقد نشرت نتائجه بعد وفاته في كتابه الشهير Ars Conjectandi ولاحقا اكتشف ان لها تطبيقات اوسع واعمق.

في الواقع هناك اختلاف تاريخي حول قيمة عدد برنولي عند الحد الاول حيث استخدم برنولي القيمة الموجبة للنصف عند التعبير عن صيغة فاولهابر اما اويلر فاعتمد القيمة السالبة وحديثا اصبح التعريف السائد هو القيمة السالبة كما اعتمدنا عليه في منشورنا.

ويوجد طرق عديدة اخرى لبرهانها اهمها استخدام المؤثر التفاضلي الا انها تحتاج لعمق رياضي اكبر لفهمها وقد توصلت سابقا الى برهانها باستخدام المتتاليات لكنها مطولة جدا وتتطلب حسابات كثيرة لذا فالبرهان بالدالة المولدة افضل

Proof of Faullhaber formula

Using generating function where B1=-1/2

يمكن التعبير عنه باستخدام اعداد ستيرلنغ الثانية ايضا مما يبرز العلاقة الوثيقة بين هذه الاعداد وبين أعداد برنولي

برهان صيغة أويلر لتحويل متسلسلة القوى باستخدام فروق التقدم

ظهرت هذه الصيغة في القرن الثامن عشر عندما كان العالم ليونارد أويلر يدرس طرق تسريع تقارب المتسلسلات وخاصة المتسلسلات المتناوبة بهدف الحصول على حساب تقريبي أسرع وأكثر دقة للمجاميع اللانهائية.

يقدم هذا التحويل تمثيلًا جديدا للمتسلسلة الأصلية يحقق تقاربا أسرع مما يعني أننا نحتاج إلى جمع عدد أقل من الحدود للوصول إلى الدقة المطلوبة مقارنة بالسلسلة الأصلية.

ويمكن إثبات أن التحويل يؤدي إلى تقارب أسرع للسلسلة باستخدام تعريف التقارب الأسرع حيث يقل معدل الخطأ بشكل أكبر مقارنة بالتقارب العادي.

ويشتهر حساب ln2 و pi بها اذ يقدم قيم اكثر دقة للثوابت باستخدام حسابات اقل

Proof of Euler’s transformation of the power series using forward differences

The transform provides a new representation of the original series that converges faster, meaning fewer terms are needed to achieve the desired accuracy.

سؤال من الدكتور الزهراني في محاولة ثانية بعد ورود خطا في المحاولة الاولى

تعميم الاس المتكرر (tetration) لاي دالة
كتبتها قبل حوالي تسع سنين والان اكتشفت وجود تعبير ابسط لها وذلك بفرض f0=1 اذ من المعروف اجراء العملية لاشيء من المرات بالتعريف يساوي العنصر المحايد اي 1

Generalization of Tetration Derivative
using f_n to denote the nth tetration of f(x) (of course it must be differentiable)

مسالة كتبتها عندما كنت طالبا في الثانوية ونشرتها الان في RMM

كانت محاولتي حول ايجاد صيغة عامة لحل المعادلات من الدرجة النونية تحت شرط خاص يفرض على معاملات كثير الحدود.

واكتشفت انذاك أن الشرط المفروض يمثل في الحقيقة تعميما لفكرة اكمال المربع في المعادلات التربيعية بحيث يصبح نوعا من "اكمال الدرجة النونية" للمعادلات ذات الرتبة الاعلى.

وسنلاحظ ان وضع n=2 في الحل العام للمسالة يعبر عما يعرف بدستور المعادلة التربيعية.

problem I wrote when I was 16 years old

a generalization of the method of completing the square — a kind of “completing the n-th degree” for higher-order equations.