445. В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

#олмат
#графы

446. Через p(n,k) обозначим количество делителей числа n, не меньших k. Найдите p(1001,1)+...+p(2000,1000).

#олмат
#тч

447. 100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

#олмат
#алгоритмы

448. Таня Хадыева умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n — любое натуральное число. Таня утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом отношении m : k (m, k — натуральные). Права ли она?

#олмат
#тч
#текстовыезадачи

449. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

#олмат
#тч

​​450. Двум мудрецам, А и Б, назначено испытание. Наутро их приведут в комнату, где на столе по кругу будут лежать шесть одинаковых с виду таблеток, из которых четыре безвредны, а две отравлены. Затем мудрецу А сообщат, какие таблетки отравлены, но передать информацию Б он уже не сможет. Мудрецы должны по очереди (начинает А) съедать по таблетке, пока не останется только две ядовитых. Как мудрецам заранее договориться, чтобы успешно пройти испытание?

#олмат
#алгоритмы

​​451. Для оклейки кубика n×n×n имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?

#олмат
#оценкаплюспример

452. Назовем редкой парой два последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на произведение своих цифр (числа не должны содержать в своей десятичной записи нулей). Среди каких чисел больше редких пар — среди 2018-значных или среди 2019-значных?

#олмат
#тч

​​453. За столом сидят 2018 джедаев. Любознательный Энакин хочет узнать, как их зовут (у всех джедаев разные имена). Он может показать на несколько джедаев пальцем и попросить магистра Йоду перечислить все их имена. К сожалению, порядок, в котором Йода перечисляет имена, может быть произвольным. Какое наименьшее количество раз Энакину придется отвлечь магистра Йоду от медитации?

#олмат
#алгоритмы

​​454. Даша Забродина утверждает, что число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным. Права ли она?

#олмат
#тч

455. Лиза Яковлева поет в течение месяца не менее одной песни в день, но не более 12 песен в любую неделю. Докажите, что найдётся несколько последовательных дней, в течение которых она споет ровно 20 песен.

#олмат
#текстовыезадачи

456. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2019-ой степени?

#олмат
#алгебра

457. Среди 12 футбольных команд проводится турнир в один круг. Уже сыграно 23 матча. Докажите, что найдется тройка команд, в которой еще никто ни с кем не играл.

#олмат
#турниры(нет)

​​458. Даня отметил на плоскости 100 точек, никакие три не лежат на одной прямой, и провел все возможные отрезки с концами в этих точках. Артем нарисовал прямую, которая не проходит через данные точки. Могло ли оказаться, что эта прямая пересекает ровно треть из отрезков, нарисованных Даней?

#олмат
#текстовыезадачи

​​459. Оля утверждает, что знает такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число. Не ошибается ли Оля?

#олмат
#тч

​​460. Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек — белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это?

#олмат
#алгоритмы

461. Число 670 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее четырехзначное число, обладающее таким свойством.

#олмат
#тч

462. На окружности стоят 50 единиц. За одну операцию можно выбрать 4 подряд стоящих числа и из любого из них вычесть единицу, одновременно прибавив единицу к трём остальным. Могут ли через несколько таких операций все числа стать равными 100?

#олмат
#алгебра

​​463. Может ли ладья обойти все клетки доски 10×10, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход длиной в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.)

#олмат
#шахматы

​​464. (Лемма Архимеда) Окружность α касается окружности ω в точке А, а хорды ВС касается в точке D. Прямая AD пересекает окружность ω в точке Е. Докажите, что точка Е — середина дуги ВЕС.

#олмат
#геом