​383. Ортогональными проекциями некоторого тела на каждую из двух данных плоскостей являются круги. Докажите, что диаметры этих кругов совпадают.

#олмат
#геометрия
#стереометрия

384. На окружности выбраны случайно n точек. Найдите вероятность того, что они все лежат на одной полуокружности.

#олмат
#тервер

​385. В некотором году три месяца подряд содержали по 4 воскресенья. Докажите, что один из этих месяцев — февраль.

#олмат

386. Найдите все такие тройки простых чисел, что произведение любых двух из них при делении на третье даёт остаток 1.

#олмат
#тч

387. Вычеркните из произведения 1!·2!·3!·...·99!·100! один из ста факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.

#олмат
#тч
#алгебра

388. Было 8 гирь массами 1г, 2г, ... , 8г без надписей. Одну из гирь потеряли. Известно, что чем больший вес имела гиря, тем больше был ее размер. Научитесь за два взвешивания на чашечных весах выяснять, какая именно гиря потеряна.

#олмат
#взвешивания

389. Могут ли биссектрисы двух внешних углов треугольника пересекаться на его описанной окружности?

#олмат
#геом

390. Найдите сумму всех семизначных чисел, полученных перестановкой цифр 1, 2, ..., 7.

#олмат
#алгебра

​​391. На шахматной доске 8 × 8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через ребра, так что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

#олмат
#текстовыезадачи

392. Расположите на плоскости 8 точек так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

#олмат
#геом
#конструктив

393. Натуральное число разрешено увеличить на любое целое число процентов от 1 до 100, если при этом получаем натуральное число. Найдите наименьшее натуральное число, которое нельзя при помощи таких операций получить из числа 1.

#олмат
#алгебра
#проценты

394. Какое наибольшее количество диагоналей клеток шахматной доски можно провести так, чтобы никакие две из них не имели ни одной общей точки?

#олмат
#оценкаплюспример

395. Через середину биссектрисы угла B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная ей. Может ли эта прямая пересекать отрезок AC?

#олмат
#геом

396. Разместите грузики массами 1, 2, ... , 8 граммов в вершинах куба так, чтобы центр их тяжести совпал с центром куба.

#олмат
#конструктив

​​397. Схема городов и дорог в некотором государстве изображена на рисунке. Можно ли обойти все города, побывав в каждом из них по одному разу?

#олмат
#графы

398. Решите уравнение в целых числах: x³+2y³+4z³=0.

#олмат
#уравнения

399. Сколькими способами в таблице n×n (n>1) можно расставить единицы и нули так, чтобы в каждом квадратике 2×2 сумма чисел была четной?

#олмат
#комбинаторика
#яндексалгоритмы

400. Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: на 1 квадратный дециметр в "обычном" случае, вдвое — если желание заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько — ещё всемеро, а ещё через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи? (Изначально площадь кожи выражается целым числом).

#олмат
#текстовыезадачи

​401. На каждой клетке таблицы 8х8 сидит по два таракана. По команде все они переползают в соседнюю по ребру клетку так, что два таракана, сидящие в одной клетке, не могут снова оказаться в одной. Какое наибольшее число клеток после этого могут быть свободными?

#олмат
#оценкаплюспример
#раскраски

​Дорогие друзья, сегодня у нашего "Ежидзе" день рождения!

Ровно год назад был создан этот замечательный проект. За это время было оформлено более 400 задач, и многие из них с решениями!

Будем стараться и дальше продолжать радовать вас красотой олимпиадной математики!