379. Можно ли записать в строчку семь чисел так, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательной, а сумма всех семи — положительной?

#олмат

​380. 100 гирек выставили в ряд. Известно, что веса соседних гирек отличаются ровно на 1 грамм. Докажите, что можно разложить все гирьки на две чаши весов так, чтобы было равновесие.

#олмат
#бессмертнаяклассика
#взвешивания

381. Любое ли чётное натуральное число можно представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, каждое из которых состоит из нечётных цифр?

#олмат
#тч

​​382. Пять человек играют в мафию: два мирных, две мафии и комиссар. Мафии знают друг друга, комиссар вычислил всех, а мирные знают только свои роли. Известно, что мафии всегда лгут, а мирные и комиссар всегда говорят правду. Далее состоялся следующий полилог:

А: Я знаю кто Б.
Б: Я знаю кто комиссар.
В: Я знаю кто Б.
Г: Я знаю кто Д.

Определите кто кем является.

#олмат
#логика

​383. Ортогональными проекциями некоторого тела на каждую из двух данных плоскостей являются круги. Докажите, что диаметры этих кругов совпадают.

#олмат
#геометрия
#стереометрия

384. На окружности выбраны случайно n точек. Найдите вероятность того, что они все лежат на одной полуокружности.

#олмат
#тервер

​385. В некотором году три месяца подряд содержали по 4 воскресенья. Докажите, что один из этих месяцев — февраль.

#олмат

386. Найдите все такие тройки простых чисел, что произведение любых двух из них при делении на третье даёт остаток 1.

#олмат
#тч

387. Вычеркните из произведения 1!·2!·3!·...·99!·100! один из ста факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.

#олмат
#тч
#алгебра

388. Было 8 гирь массами 1г, 2г, ... , 8г без надписей. Одну из гирь потеряли. Известно, что чем больший вес имела гиря, тем больше был ее размер. Научитесь за два взвешивания на чашечных весах выяснять, какая именно гиря потеряна.

#олмат
#взвешивания

389. Могут ли биссектрисы двух внешних углов треугольника пересекаться на его описанной окружности?

#олмат
#геом

390. Найдите сумму всех семизначных чисел, полученных перестановкой цифр 1, 2, ..., 7.

#олмат
#алгебра

​​391. На шахматной доске 8 × 8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через ребра, так что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

#олмат
#текстовыезадачи

392. Расположите на плоскости 8 точек так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

#олмат
#геом
#конструктив

393. Натуральное число разрешено увеличить на любое целое число процентов от 1 до 100, если при этом получаем натуральное число. Найдите наименьшее натуральное число, которое нельзя при помощи таких операций получить из числа 1.

#олмат
#алгебра
#проценты

394. Какое наибольшее количество диагоналей клеток шахматной доски можно провести так, чтобы никакие две из них не имели ни одной общей точки?

#олмат
#оценкаплюспример

395. Через середину биссектрисы угла B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная ей. Может ли эта прямая пересекать отрезок AC?

#олмат
#геом

396. Разместите грузики массами 1, 2, ... , 8 граммов в вершинах куба так, чтобы центр их тяжести совпал с центром куба.

#олмат
#конструктив

​​397. Схема городов и дорог в некотором государстве изображена на рисунке. Можно ли обойти все города, побывав в каждом из них по одному разу?

#олмат
#графы

398. Решите уравнение в целых числах: x³+2y³+4z³=0.

#олмат
#уравнения