153. Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника ABCDE, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках A, B, C, D, и E лежала хотя бы одна точка?

#олмат
#геометрия
#оценкаплюспример
#9класс

(Сейчас ещё раз повторим задачу 20, поскольку она черезвычайно важна)
154. Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

#олмат
#графы
#бессмертнаяклассика

(А вот и продолжение прошлой задачи)
155. В компании из 9 девушек некоторые поссорились. Оказалось, что нет такой тройки девушек, в которой каждая девушка поссорилась с каждой. Докажите, что найдутся 4 девушки, среди которых ни одна пара еще не ссорилась.

#олмат
#графы
#9класс

​​​​156. Имеется 80 подозреваемых, среди которых один убийца и один свидетель. Пуаро каждый день приглашает к себе любое количество подозреваемых. Если окажется, что среди них есть свидетель, но нет убийцы, то свидетель расскажет всю правду, и Пуаро раскроет это дело. Сможет ли Пуаро за 12 дней наверняка раскрыть дело?

#олмат
#10класс

157. Докажите, что число 1...1 (3ⁿ единиц) делится на 3ⁿ.

#олмат
#делимость
#8класс

158. Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы они били всю доску? (король бьет клетку на которой стоит)

#олмат
#оценкаплюспример
#шахматы

159. В ряд стоят 100 человек (каждый человек либо рыцарь, либо лжец). Первый сказал: «Количество рыцарей среди нас — делитель числа 1», второй сказал: «Количество рыцарей среди нас — делитель числа 2» и так далее. Сколько в ряду рыцарей?

#олмат
#логика

160. Существуют ли такие 10 различных натуральных чисел, что сумма этих десяти чисел равна произведению двух наибольших?

#олмат
#алгебра
#тч
#8класс

Дорогие подписчики, нас уже без малого 1000 человек!
Кажется, настало время создать наш общий чат, где вы сможете решать задачки, предлагать свои, общаться и оставлять обратную связь администраторам.
Желаем вам удачи и умственного наслаждения от интересных задач!

@ezhidze_chat
@ezhidze_chat
@ezhidze_chat

161. Можно ли занумеровать вершины куба числами от 1 до 8 так, чтобы все суммы чисел на концах рёбер были различны?

#олмат
#7класс

162. Любые два натуральных числа от 1 до 100 включительно соединены стрелкой, ведущей от меньшего числа к большему. Как раскрасить эти стрелки в красный и синий цвета так, чтобы любой одноцветный путь проходил не более чем по девяти стрелкам?

#олмат
#7класс

163. В трехлитровой банке находится литр спирта, а в пятилитровой — литр воды. Разрешается переливать из одного сосуда в другой любое количество жидкости. Можно ли в результате какого-то количества переливаний получить в пятилитровой банке раствор спирта с концентрацией 54%? При переливании вода и спирт равномерно смешиваются.

#проценты
#8класс

164. Дана линейка с делениями через один сантиметр. Постройте биссектрису данного угла.

#олмат
#геом
#построение
#8класс

165. В шахматном турнире участвовало 8 человек и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым, победа -- 1 очко, ничья -- 0.5 очков, поражение -- 0 очков). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое место?

#олмат
#турниры
#8класс

166. Доказать, если x и y — положительные иррациональные числа, такие, что 1/х + 1/у = 1, то для любого неотрицательного целого числа n можно найти такое целое число k, что либо n = [kx], либо n = [ky].

#олмат
#алгебра
#9класс

167. За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

#олмат
#10класс

168. На экране компьютера написано число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу, написанному на экране, его сумму цифр. Может ли через какое-то время на экране оказаться число 1234567890987654321?

#олмат
#8класс

169. По кругу записаны 10 десять чисел. Известно, что сумма любых трех идущих подряд чисел отрицательная. Может ли сумма всех чисел быть положительной?

#олмат
#6класс

​​170. Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?

#олмат
#6класс

171. На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин была меньше 2.

#олмат
#9класс