101. На доске написаны 10 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых четырёх из них кратно 30. Докажите, что хотя бы одно из написанных чисел само по себе кратно 30.

#олмат
#делимости
#6класс

102. Найдите мат в один ход за белых.

#шахматы

103. Докажите, что ряд 1 +1/2 +1/3+1/4... расходится (т.е. эта бесконечная сумма больше любого наперед заданного числа).

#олмат
#11класс
#матан

104. Аня во дворе нашла 6 натуральных чисел и для каждых двух посчитала их НОД. У нее получились следующие 15 чисел: 1, 2, 3,.., 15. Не ошиблась ли Аня?

#олмат
#7класс
#тч

(Наверное самый популярный софизм в геометрии, который сломает вам мозг в 8 классе)
105. Докажем, что все треугольники являются равнобедренными.

#олмат
#геометрия

(Подъехала свежая задачка с турнира городов)
106. Существуют ли нецелые числа x и y, для которых {x}*{y}={x+y}? (Здесь {х} - дробная часть числа x)

#олмат
#9класс
#алгебра

107. На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) каждого жителя спросили про каждого из остальных кто он: рыцарь или лжец. Всего было получено 56 ответов: 26 ответов -- "рыцарь" и 30 ответов -- "лжец". Сколько могло быть рыцарей на острове?

#олмат
#9класс
#логика

108. На одном плакате изображен бумажный кораблик, отражающийся в воде. В какой стране автор вопроса увидел этот плакат?

#чгк

109. Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

110. Первой в очереди из 100 человек стоит сумасшедшая старушка. У каждого пассажира в очереди, кроме старушки, есть билет, на котором написано его место. Первой в самолет заходит старушка и садится на случайное место (в самолете 100 мест). Далее пассажиры заходят по одному и садятся на свое место, если оно свободно, иначе садятся на случайное свободное. Какова вероятность того, что последний пассажир в очереди сядет на свое место?

#олмат
#тервер
#10класс

111. Какое наибольшее число следующих фигур можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две друг друга не били:
а) коней; б) слонов; в) ладей; г) ферзей;
д) королей?

#олмат #8класс #шахматы
#оценкаплюспример
#бессмертнаяклассика

112. Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина -- отрицательна. Каково наибольшое возможное количество положительных произведений?

#олмат
#11класс
#комбинаторика

113. В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Оказалось, что сумма углов А и С равна углу ABD. Найдите, во сколько раз сторона BC длиннее медианы BD?

#олмат
#геом
#7класс

114. Замените в числе 453?92? знаки вопроса цифрами так, чтобы полученное число делилось на 45.

#олмат
#8класс
#делимость

115. Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 2017 девяток?

#олмат
#9класс
#тч

116. Какое наибольшее число следующих пешек можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две друг друга не били:
а) белых; б) белых и черных?

#олмат #8класс
#шахматы
#оценкаплюспример

117. Муравей гуляет по рёбрам проволочного куба. Может ли он последовательно обойти все ребра куба, не проходя дважды по одному ребру?

#олмат
#8класс
#графы

(Парадокс Монти-Холла)
118. Предположим, что вы играете в следующую игру. Перед вами 3 двери. За одной из них машина, за остальными двумя - козы. Вам очень хотелось бы открыть дверь и забрать машину. Ваш друг открывает некоторую дверь, за ней оказывается коза. Он предлагает вам изменить выбор (выбрать оставшуюся из неоткрытых дверей). Имеет ли смысл это делать?

#олмат
#теорвер

119. Двое играют в игру на доске 1703×1703. Первый своим ходом закрашивает "уголок" (квадрат 2×2 с вырезанной клеткой), а второй квадрат 2×2. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может обеспечить себе победу вне зависимости от ходов противника?

#олмат
#8класс
#матигры