​414. Докажите, что среди чисел, записываемых только цифрами 1 и 0, найдется число, кратное 414414.

#олмат
#делимость

415. Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4, P(5)=5, а его значения при всех остальных натуральных x – иррациональны?

#олмат
#многочлены

416. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 2003?

#олмат
#тч

417. Отрезок [0;1] разделили на 2¹⁰⁰ равных частей. В каком отношении (считая от левого конца) точка 1/3 делит ту часть, в которую попадает?

#олмат
#тч

​418. На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

#олмат
#геометрия

419. У каждого из 11 островитян на лбу надпись «рыцарь» или «лжец». Островитяне видят все надписи, кроме своей, и заявляют «Все надписи, которые я вижу, соответствуют действительности». Сколько рыцарей могло быть среди них?

#олмат
#логика

420. В каждой клетке доски 8×8 написано некоторое натуральное число так, что у каждой пары клеток, соседних по ребру, числа отличаются на 1. Найдите наибольшую возможную сумму чисел на главных диагоналях, если на доске присутствуют числа 6 и 20.

#олмат

421. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

#олмат
#геом

422. В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₂₀₁₈. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

#олмат
#тч

​423. Решите уравнение в целых числах: x³ + y³ = 2³⁰.

#олмат
#тч

​​Вопрос 222. Кто был первым в Европе, кто использовал отрицательные числа?

#раздатка

​​424. Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Как разрезать полученный квадратик ножницами по прямой, чтобы салфетка распалась а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей?

#олмат
#разрезания

425. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

#олмат
#текстовыезадачи

426. Сумма цифр натурального числа 3k−1 равна сумме цифр натурального числа 2k+2. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3k−2 и k+1?

#олмат
#тч

427. Назовем натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

#олмат
#тч

​​428. На доске написаны два числа: 23 и 29. Каждую минуту Гермиона одно из чисел на доске уменьшает на 1, а другое записывает в блокнот. Так она делает до тех пор, пока оба числа на доске не станут нулями. а) Сколько чисел будет написано в блокноте? б) Какова будет сумма этих чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

​​429. В шахматном турнире по круговой системе (каждый играет с каждым ровно один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0) каждый из шахматистов, избежавших трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с тремя участниками, занявшими последние три места. Найдите наибольшее возможное количество участников турнира.

#олмат
#турниры

430. Аня Валиуллина задумала число. Каждую минуту она прибавляет к текущему числу его наибольший собственный делитель. Через 100 минут она получила число 56789. Докажите, что Аня ошиблась. (Делитель числа n называется собственным, если он отличен от n).

#олмат
#тч

431. Лист бумаги можно разрезать на 6 или 12 частей. Каждый новый кусок можно разрезать на 6 или 12 частей или оставить целым и так далее. а) Можно ли таким образом разрезать лист на 40 частей? б) Докажите, что таким образом можно получить любое число частей, большее 40.

#олмат
#разрезание