239. Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит 2.

#олмат
#алгебра
#8класс

​240. Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Цена натурального числа - это сумма цен цифр, из которого оно состоит.

#олмат
#8класс

​​247. Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города А, существует город B такой, что любой из остальных городов напрямую соединён либо с А, либо с B. Докажите, что от любого города добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками.

#олмат
#графы
#8класс

251. При каком N существует замкнутая N-звенная ломаная, которая пересекает себя по каждому звену ровно в одной точке? (пересечение не может происходить в концах звеньев и никакие 3 звена не пересекаются в одной точке)

#олмат
#8класс

252. Верно ли, что сумма цифр числа 3²⁰⁰ меньше 1000?

#олмат
#8класс

254. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#8класс

265. На острове живут 33 рыцаря, а также лжецы и фантазеры. Каждого жителя этого острова по очереди спросили "Сколько среди вас рыцарей?". Было получено 10 различных ответов, каждый из которых был назван более, чем одним жителем. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда называют неверное число, которое еще не было названо, а фантазеры всегда называют число, которое на единицу больше предыдущего ответа. Обязательно ли было названо число 40?

#олмат
#8класс
#логика

266. Гири с массами 1,2,3..,27 разложили на кучки так, что в каждой кучке оказалась гиря, весящая столько же, сколько и остальные гири в этой кучке вместе. Найдите число кучек.

#олмат
#8класс

306. Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

#олмат
#8класс

314. На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

#олмат
#8класс

​​319. В одну из голов стоглавого дракона пришла мысль расположить свои головы так, чтобы каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать? (Головы дракона можно считать точками в пространстве)

#олмат
#8класс

345. На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

#олмат
#8класс

​​348. В каплю воды, где находились 1000 бактерий, посадили один вирус. После этого каждую минуту стало происходить следующее: каждый вирус уничтожал по одной бактерии, после чего каждая бактерия делилась на две бактерии, а каждый вирус — на два вируса. Верно ли, что через некоторое время не останется ни одной бактерии?

#олмат
#8класс