120. Квадратный трехчлен f(x)=x^2+ax+b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0;1], а другой вне этого отрезка. Определите знак f(b).

#олмат
#алгебра
#9класс

121. Возможна ли такая компания, в которой у каждого человека ровно 10 друзей, а у каждой пары человек ровно 4 общих друга?

#олмат
#комбинаторика
#9класс

122. В стаде пасётся 101 корова. Каждая из них весит целое число килограммов. Известно, что если выбрать любые 100 коров, то их можно разделить на две группы по 50 коров так, что суммарный вес коров в первой группе равен суммарному весу коров во второй. Докажите, что все коровы весят одинаково.

#олмат
#системауравнений
#тч
#11класс

123. Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться в одном из двух состояний: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех ламп, расположенных подряд. Вначале горит только одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?

#олмат
#можноилинет
#8класс

Уважаемые подписчики!
Мы все время совершенствуем наш канал, чтобы вам было удобнее им пользоваться. Вы можете нам помочь в этом, заполнив гугл-форму.

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScov-gL6i3n1VyNlIWOMjyLk7xsHe7v2mN9gHYU1QOqJPLCuw/viewform?usp=sf_link

124. Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше, чем разность прогрессии.

#олмат
#тч
#9класс

125. На бревне длинной 1 метр находятся 1000 муравьев. По команде каждый муравей начинает двигаться влево или вправо, причем все муравьи двигаются с одинаковой постоянной скоростью. Когда два муравья встречаются, они меняют движение на противоположное. Дойдя до края бревна, муравьи падают с него. Какое наибольшее число встреч могло быть?

#олмат
#8класс
#движение

126. Можно ли накрыть квадрат со стороной 1,5 тремя квадратами со стороной 1?

#олмат
#геометрия
#7класс

127. Имеется дробь 2/7. Каждую секунду к ее числителю прибавляется 3, а к знаменателю прибавляется 10. В Южном Бутово существует поверье, что когда дробь станет сократимой, наступит конец света. Стоит ли бояться наступления конца света?

#олмат
#тч
#8класс

128. Можно ли разрезать выпуклый семнадцатиугольник на 14 треугольников?

#олмат
#8класс
#разрезание

129. У многочленов P(x) и Q(x) -- один и тот же набор целых коэффициентов, но их порядок -- различен. Докажите, что разность P(228) - Q(228) кратна 227.

#олмат
#алгебра
#9класс

130. В треугольник с периметром 12 вписана окружность. Докажите, что произведение длин шести отрезков касательных не превосходит 64.

#олмат
#геом
#9класс

131. Целые числа a, b и c таковы, что (a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c. Докажите, что число a+b+c делится на 27.

#олмат
#9класс
#тч

132. Вася выписал все трехзначные числа и вычислил в каждом числе произведение его цифр, а затем сложил все полученные произведения. Какое число у него получилось?

#олмат
#7класс

133. Из любых ли пяти различных чисел, выписанных в ряд, можно выбрать три, стоящие (не обязательно подряд) в этом ряду в порядке убывания или в порядке возрастания?

#олмат
#алгебра
#8класс

134. Есть 10 мешков с большим количеством монет. Известно, что в 9-ти мешках настоящие монеты, а в одном - фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая - 11. Как за одно взвешивание на весах определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты?

#олмат
#взвешивания

135. В ряд стоят 111 ламп. У каждой лампы есть выключатель. В любой момент времени вы можете переключить ровно 13 выключателей на свой выбор.
а) Изначально включено произвольное число ламп. Можно ли выключить все лампы за несколько действий?
б) Изначально включены все лампы. За какое минимальное число действий можно выключить все лампы?

#олмат
#9класс

​​136. Найдите мат в один ход за белых.

137. Через точку, лежащую на окружности, проводятся произвольные хорды. Найдите геометрическое место их середин.

#олмат
#геом
#8класс

138. Знайка пришёл в гости к братьям-близнецам Винтику и Шпунтику, зная, что один из них никогда не говорит правду, и спросил одного из них: "Ты Винтик?". "Да" — ответил тот. Когда Знайка спросил об этом же второго, то получил столь же чёткий ответ и сразу определил, кто есть кто. Кого звали Винтиком и кто из братьев соврал?

#олмат
#логика
#8класс