​​473. Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен единице и самому числу. Найдите все числа, у которых сумма двух наибольших собственных делителей равна 2019.

#олмат
#тч

​​474. На доске записано число 111...111 (всего 99 единиц). Вика и Наташа играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Вика. За ход игрок либо записывает ноль вместо одной из единиц, кроме первой и последней, либо стирает один из нулей. Проигрывает тот, после чьего хода на доске в первый раз появится число, делящееся на 11. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

​​475. Шерлок Холмс расследует преступление, в котором замешаны 120 человек, среди них один — преступник, а один — свидетель. Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких людей и если среди них есть свидетель, но нет преступника, то свидетель скажет, кто преступник. Как гарантированно раскрыть преступление за 9 дней?

#олмат
#алгоритмы

476. Докажите, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (m, n, k), таких, что m, n, k > 1 и m! ⋅ n! = k!.

#олмат
#тч

477. Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

#олмат
#текстовыезадачи

​​478. Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

#олмат
#мудрецы

479. Найдите НОД всех шестизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений.

#олмат #тч

480. Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.

#олмат
#тч

​​481. Полина и Шахноза ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиганка Полина сорвала с Шахнозы шапку и бросила её на встречный эскалатор. Пострадавшая Шахноза побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрая Полина побежала по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Шахнозы. Кто успеет раньше, если скорости девочек одинаковые и постоянны относительно эскалатора (и хотя бы в два раза больше скорости эскалатора)?

#олмат #эскалаторы

​​482. Каждому из двух мудрецов сообщили по натуральному числу, причём им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: «Известно ли тебе моё число?» Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит «да».

#олмат
#мудрецы

​​483. Международная комиссия состоит из 9 человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее 6 членов комиссии? (любые шесть человек должны открывать сейф, никакие 5 не должны)

#олмат
#текстовыезадачи

​​484. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

#олмат
#текстовыезадачи

​​485. На столе 20×20 разбросано 96 салфеток 1×1 со сторонам, параллельными краям стола. Докажите, что можно положить еще одну такую салфетку, не пересекающуюся с уже лежащими (по положительной мере).

#олмат
#текстовыезадачи

486. Множество А натуральных чисел таково, что для любого натурального n среди чисел n, 2n, 3n в А лежит ровно одно из них. Известно, что в А лежит двойка. Петя утверждает, что в А лежит 13824, прав ли он?

#олмат
#тч

​​487. Два бога по очереди выписывают цифры бесконечной десятичной дроби. Первый своим ходом приписывает в хвост любое конечное число цифр, второй -- одну. Они успевают сделать все ходы (то есть, бесконечно много) за час. Если в итоге получится периодическая дробь (без предпериода), выигрывает первый, иначе -- второй. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник?

#олмат
#матигры

​​488. Докажите, что число (a+b)(b+c)(a+c), где a, b, c -- попарно различные натуральные числа, не может быть степенью двойки.

#олмат
#тч

​​489. В ряд выложено 5 карточек. На оборотной стороне каждой написано вещественное число. Про любые две карточки можно узнать (а) сумму; (б) произведение чисел на них. (в) Всегда ли можно определить, какие числа написаны на карточках? (г) Можно ли хоть в одном случае определить, какие числа написаны на карточках?

#олмат
#алгоритмы

​​490. На луче из клеток есть ладья и король. София играет за ладью, Софья — за короля, ходят по очереди, ладья не видит короля. Ладья ест короля, если она оказывается с ним на одной клетке. Сможет ли София съесть Софью?

#олмат
#алгоритмы

​​491. Вожатые заказали большую пиццу на полдник школьникам из 7Б. Они забыли сколько школьников осталось в группе (17 или 18), но хотят заранее разрезать пиццу на куски, чтобы получилось всем гарантированно раздать поровну (всю пиццу надо раздать). Каким наименьшим количеством кусков можно обойтись?

#олмат
#оценкаплюспример

​​492. Докажите, что найдутся миллион идущих подряд натуральных чисел, среди которых ровно тысяча простых.

#олмат
#тч

​​493. Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог написать на доске Петя?

#олмат
#тч