​​464. (Лемма Архимеда) Окружность α касается окружности ω в точке А, а хорды ВС касается в точке D. Прямая AD пересекает окружность ω в точке Е. Докажите, что точка Е — середина дуги ВЕС.

#олмат
#геом

465. Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N четно.

#олмат
#алгебра

466. Первоначально на доске написано натуральное число А. Разрешается прибавить к нему любой из его делителей, отличный от 1 и А. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа А = 4 можно с помощью таких операций получить любое наперед заданное составное число.

#олмат
#тч

​​467. На доске написано число 1234. Его можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из них не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью нескольких таких операций получить число 2019?

#олмат
#тч

​​468. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных -- по две точки, и на двух оставшихся -- по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из шести его граней. Могло ли получиться шесть последовательных чисел?

#олмат
#текстовыезадачи

​​469. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил троих островитян и спросил каждого из них: ''Сколько рыцарей среди твоих спутников?''. Первый ответил: ''Ни одного''. Второй сказал: ''Один''. Что сказал третий?

#олмат
#логика

​​470. В 8 вершинах некоторого куба записали числа 1, 2, 3, ..., 8. Потом на каждом ребре написали разность двух чисел на его концах (из большего вычитали меньшее). Какое наименьшее количество разных чисел могло оказаться на рёбрах?

#олмат
#оценкаплюспример

​​471. На шахматной доске в левом верхнем углу стоит робот. Ему надо попасть в правый нижний квадрат. За один ход он может переходить на любую соседнюю клетку (только не по диагонали). На доске есть непроходимый квадрат. Когда он получает инструкцию, например, вправо, а там стоит этот квадрат, то он остаётся на месте и выполняет следующую инструкцию по алгоритму. Придумайте алгоритм (конечную последовательность шагов), наверняка доставляющий робота в правый нижний квадрат (инструкции, направляющие робота за пределы доски, игнорируются).

#олмат
#алгоритмы

​​472. На столе в ряд лежат четыре монеты. Среди них обязательно есть как настоящие, так и фальшивые (которые легче настоящих). Известно, что любая настоящая монета лежит левее любой фальшивой. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить тип каждой монеты, лежащей на столе?

#олмат
#взвешивания

​​473. Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен единице и самому числу. Найдите все числа, у которых сумма двух наибольших собственных делителей равна 2019.

#олмат
#тч

​​474. На доске записано число 111...111 (всего 99 единиц). Вика и Наташа играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Вика. За ход игрок либо записывает ноль вместо одной из единиц, кроме первой и последней, либо стирает один из нулей. Проигрывает тот, после чьего хода на доске в первый раз появится число, делящееся на 11. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

​​475. Шерлок Холмс расследует преступление, в котором замешаны 120 человек, среди них один — преступник, а один — свидетель. Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких людей и если среди них есть свидетель, но нет преступника, то свидетель скажет, кто преступник. Как гарантированно раскрыть преступление за 9 дней?

#олмат
#алгоритмы

476. Докажите, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (m, n, k), таких, что m, n, k > 1 и m! ⋅ n! = k!.

#олмат
#тч

477. Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

#олмат
#текстовыезадачи

​​478. Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

#олмат
#мудрецы

479. Найдите НОД всех шестизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений.

#олмат #тч

480. Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.

#олмат
#тч

​​481. Полина и Шахноза ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиганка Полина сорвала с Шахнозы шапку и бросила её на встречный эскалатор. Пострадавшая Шахноза побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрая Полина побежала по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Шахнозы. Кто успеет раньше, если скорости девочек одинаковые и постоянны относительно эскалатора (и хотя бы в два раза больше скорости эскалатора)?

#олмат #эскалаторы

​​482. Каждому из двух мудрецов сообщили по натуральному числу, причём им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: «Известно ли тебе моё число?» Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит «да».

#олмат
#мудрецы

​​483. Международная комиссия состоит из 9 человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее 6 членов комиссии? (любые шесть человек должны открывать сейф, никакие 5 не должны)

#олмат
#текстовыезадачи

​​484. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

#олмат
#текстовыезадачи