Начинаем выкладывать решения задач с Дня Мехмата.

350. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 228 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми числами?

#олмат
#алгебра

351. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами, равна половине площади треугольника.

#олмат
#геометрия

352. Пусть Ezh — конечное множество различных чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит Ezh. Какое наибольшее число элементов может быть в Ezh?

#олмат
#оценкаплюспример

353. Что больше: ₑπ или πᵉ?

#олмат
#алгебра
#матан

​​354. У Тайлера Джозефа есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, то Тайлер укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль, и треугольник снова нельзя сложить, то Тайлер повторяет операцию. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

#олмат
#9класс

​​355. Восемь клеток доски 9×9 заросли можжевельником. Далее, если вокруг пустой клетки не меньше двух клеток, заросших можжевельником (по стороне), то она зарастает можжевельником. Докажите, что вся доска не зарастет можжевельником.

#олмат
#текстовыезадачи

356. Докажите, что на плоскости нельзя разместить более чем счетное множество непересекающихся восьмерок (восьмерки не обязательно одинаковые, не обязательно ориентированы одинаково и не обязательно симметричны).

#олмат
#теориямножеств

​​357. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

#олмат
#7класс
#болеемзаливерпуль

​​358. Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

#олмат
#алгебра

359. Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

#олмат
#тч

​​360. В некоторой стране из каждого города выходит нечётное число дорог. На центральной площади каждого города поднят чёрный или белый флаг. Каждое утро в одном из городов, у которого число соседей с флагами другого цвета больше половины, меняют цвет флага. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

#олмат
#процессы
#hommIIIforever

​​361. Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные — картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

#олмат
#фокусы

362. В крайних клетках полоски 1×20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

363. Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

#олмат
#геом
#раскраски

​​364. (продолжение задачи 361) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

#олмат
#фокусы

​​365. Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причём каждый весит не больше 1 тонны. Какого наименьшего числа трёхтонок заведомо достаточно, чтобы увезти весь груз?

#олмат
#оценкаплюспример

366. В волшебной стране Лариколяндия 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что из каждого города выходит более 90 авиалиний. Докажите, что найдутся 12 городов, попарно соединенных авиалиниями.

#олмат
#графы

​​367. В школе организовали n (n > 1) кружков. Оказалось, что для любых двух школьников есть кружок, в который ходит ровно один из них, а для любых трёх школьников есть либо кружок, в который ходят все трое, либо кружок, в который не ходит ни один из них. Какое наибольшее количество учеников может быть в этой школе?

#олмат #текстовыезадачи

​​368. Семья ночью подошла к мосту. Арья может перейти его за 1 минуту, Джон за 2, Санса — за 5, а Ходор — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком нельзя.)

#олмат
#классика

​​369. Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... . Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

#олмат #матигры