344. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.

#олмат
#тч

345. На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

#олмат
#8класс

346. На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

#олмат
#текстовыезадачи

347. Есть 20 гирек, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что если убрать произвольное число (возможно ноль) каких-то гирек, то оставшиеся нельзя разделить на две кучки с одинаковым весом. Докажите, что суммарный вес всех гирек не меньше 1 тонны.

#олмат
#9класс

​​348. В каплю воды, где находились 1000 бактерий, посадили один вирус. После этого каждую минуту стало происходить следующее: каждый вирус уничтожал по одной бактерии, после чего каждая бактерия делилась на две бактерии, а каждый вирус — на два вируса. Верно ли, что через некоторое время не останется ни одной бактерии?

#олмат
#8класс

​​349. Две карты Москвы разного масштаба наложены друг на друга так, что меньшая карта лежит целиком на большей (север у них в одном направлении). Докажите, что их можно проткнуть булавкой так, чтобы на обоих картах была проколота одна и та же точка Москвы.

#олмат
#9класс

​Для тех, кто не смог побывать сегодня на дне мехмата, выкладываем условия по математике

Начинаем выкладывать решения задач с Дня Мехмата.

350. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 228 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми числами?

#олмат
#алгебра

351. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами, равна половине площади треугольника.

#олмат
#геометрия

352. Пусть Ezh — конечное множество различных чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит Ezh. Какое наибольшее число элементов может быть в Ezh?

#олмат
#оценкаплюспример

353. Что больше: ₑπ или πᵉ?

#олмат
#алгебра
#матан

​​354. У Тайлера Джозефа есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, то Тайлер укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль, и треугольник снова нельзя сложить, то Тайлер повторяет операцию. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

#олмат
#9класс

​​355. Восемь клеток доски 9×9 заросли можжевельником. Далее, если вокруг пустой клетки не меньше двух клеток, заросших можжевельником (по стороне), то она зарастает можжевельником. Докажите, что вся доска не зарастет можжевельником.

#олмат
#текстовыезадачи

356. Докажите, что на плоскости нельзя разместить более чем счетное множество непересекающихся восьмерок (восьмерки не обязательно одинаковые, не обязательно ориентированы одинаково и не обязательно симметричны).

#олмат
#теориямножеств

​​357. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

#олмат
#7класс
#болеемзаливерпуль

​​358. Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

#олмат
#алгебра

359. Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

#олмат
#тч

​​360. В некоторой стране из каждого города выходит нечётное число дорог. На центральной площади каждого города поднят чёрный или белый флаг. Каждое утро в одном из городов, у которого число соседей с флагами другого цвета больше половины, меняют цвет флага. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

#олмат
#процессы
#hommIIIforever

​​361. Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные — картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

#олмат
#фокусы

362. В крайних клетках полоски 1×20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры