322. На доске написано число 60. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить число на один из его натуральных делителей (в том числе на единицу или само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

323. Даны девять натуральных чисел, причем запись первого состоит только из единиц, второго — только из двоек, ..., девятого — только из девяток. Может ли произведение каких-то двух из этих чисел делиться на произведение остальных?

#олмат
#делимость

324. Рассмотрим график параболы y = x²+bx+1 (b² > 4), который пересекает ось абсцисс в двух точках A и B, а ось ординат в точке С. Пусть A' --- точка, симметричная точке A относительно начала координат. Найдите радиус описанной окружности треугольника A'BC.

#олмат
#квадратныйтрехчлен

​​325. Есть два бикфордовых шнура, каждый из которых горит по часу, но горит неравномерно. Как с помощью этих двух шнуров и спичек отмерить 45 минут?

#олмат
#алгоритмы

​326. Есть бильярдный стол, который имеет вид правильного шестиугольника со стороной 1. Лузы располагаются в вершинах шестиугольника. Изначально бильярдный шар лежит в центре стола. Какое минимальное расстояние он должен прокатиться, чтобы попасть в лузу с двумя отскоками от бортов?


Пояснение: удар шара о борт - упругий (угол падения равен углу отражения). Считаем, что размеры шара и лузы очень малы (они являются точками).

#олмат
#геометрия

327. Является ли число 4⁹+6¹⁰+3²⁰ простым?

#олмат
#тч

328. (Формула Эйлера). Пусть связный плоский граф с V вершинами и E ребрами разрезает плоскость на F связных кусков (граней). Тогда V−E+F=2.

#олмат
#графы

329. На столе лежат 100 спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять 1, 2, 4, 8, . . . (любую степень двойки) спичек. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?

#олмат
#матигры

​​330. На Олимпе есть игра: всем богам наливают поровну амброзии, затем один бог переливает другому столько амброзии, сколько у того уже было, и это повторяется несколько раз. Однажды удалось слить всю амброзию в чашу Зевса. Докажите, что количество богов является степенью двойки.

#олмат
#подсчетдвумяспособами

331. Можно ли все натуральные числа раскрасить в два цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?

#олмат
#10класс

332. а) Выписаны числа от 1 до 13. Раскрасьте их в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

б) Выписаны 100 произвольных натуральных чисел. Докажите, что их можно покрасить в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом.

#олмат
#тч
#раскраски

333. За одну операцию из числа разрешается вычесть его наибольший делитель, не равный самому числу. За сколько операций из числа 10¹⁰ получится сделать число 1?

#олмат
#тч
#сколтех

334. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее — полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

#олмат
#алгебра

335. В стране 10 городов. Возможно ли проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило по 3 дороги и из каждого города в каждый можно было бы добраться по дорогам, заходя не более, чем в один промежуточный город?

#олмат
#графы

336. У числа 2018! вычислили сумму цифр. У полученного числа опять вычислили сумму цифр. И так продолжали до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это было за число?

#олмат
#тч

337. Известно, что a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)=x. Найдите x.

#олмат
#алгебра

338. Возможен ли треугольник, высоты которого равны 3, 4 и 5?

#олмат
#геом

339. Можно ли в квадрате 4×4 расставить числа от 1 до 16 так, чтобы в каждом квадратике 2×2 сумма чисел делилась на 16?

#олмат
#тч

​​340. Двадцать городов соединены 172 авиалиниями. Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

#олмат
#графы

​341. Крош хочет порадовать Ёжика и вставить в торт к его дню рождения свечки в форме некоторого выражения, значение которого есть натуральное число меньшее 100 (возраст Ёжика). Более того, он собирается использовать одни и те же цифры каждый год. Также у Кроша есть свечка в виде знака "×". Необходимо, чтобы каждый год Крош смог составлять возраст Ёжика с помощью этих свечек. Какое наименьшее количество свечек-цифр ему для этого потребуется?

#олмат
#оценкаплюспример