302. На единичной окружности произвольным образом отмечены 100 точек. Верно ли, что на этой окружности можно выбрать еще одну точку так, что сумма расстояний от нее до всех отмеченных точек будет не меньше 100?

#олмат

303. У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

#олмат
#графы

304. Имеются три автомата. Получив пару чисел (n,m), первый из них преобразует ее в пару (m,n), второй преобразует в пару (m,n−m), третий — в пару (m,n+m). Можно ли преобразовать пару (19,86) в пару (12,21)?

#олмат
#тч

​​305. У каждого марсианина по три руки и несколько антенн. Каждый марсианин взял за руки трех других (так, что все руки оказались заняты). Оказалось, что у любых двух марсиан, взявшихся за руки, количество антенн отличается ровно в 6 раз. Может ли суммарное количество антенн быть 2018?

#олмат
#графы
#тч

306. Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

#олмат
#8класс

307. На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них «+» так, чтобы сумма оказалась трехзначным числом. Какое наибольшее число может получиться?

#олмат
#оценкаплюспример

​​308. Есть куча из n спичек. Играют двое, ходят по очереди, за ход разрешается брать от 1 до 10 спичек, выигрывает взявший последнюю спичку. При каких n выигрывает начинающий?

#олмат
#матигры

​​309. Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

#олмат
#путешественники

310. На прямой отмечено 9 красных и 9 синих точек. Всегда ли можно стереть по 4 точки каждого цвета так, чтобы оставшиеся пять точек каждого цвета располагались подряд?

#олмат
#раскраски

311. Дано 2018 чисел. Известно, что сумма любого набора из 41 числа положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

#олмат
#7класс

​312. Четверо пиратов: капитан, старшина, матрос и юнга (звания идут в порядке убывания значимости) нашли клад со 100 золотыми монетами. Им нужно разделить эти 100 монет между собой. Этот процесс происходит следующим образом: сначала капитан выбирает, как нужно разделить монеты среди четверых моряков (каждому достается целое число монет) и происходит голосование в котором участвуют все. Если большинство голосов против такого разделения, то капитана убивают, иначе, пираты получают соответствующее количество монет. Если капитана убили, то свой вариант предлагает старшина и опять происходит голосование. Так происходит и далее. Какое наибольшее количество монет может гарантировать себе капитан, если все пираты действуют наиболее оптимальным образом? Дополнительное условие: если невозможно увеличить собственную выгоду, то пират действует так, чтобы поддержать моряка меньшей значимости. Например: при всех прочих равных, юнга будет действовать в интересах матроса, а не старшины.

#олмат
#матигры

313. Может ли сумма 1+2+...+n при каком-нибудь натуральном n оканчиваться цифрой 7?

#олмат
#тч

314. На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

#олмат
#8класс

315. Можно ли на плоскости разместить конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?

#олмат
#квадратныйтрехчлен

316. Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?

#олмат
#тч

317. На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?

#олмат
#оценкаплюспример
#шахматы

318. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH равны.

#олмат
#геом

​​319. В одну из голов стоглавого дракона пришла мысль расположить свои головы так, чтобы каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать? (Головы дракона можно считать точками в пространстве)

#олмат
#8класс

320. Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?

#олмат
#геом
#тч

​(Ставим арбузы Копатычу)
321. Копатыч вырастил несколько арбузов. Три самых тяжелых арбуза (35% от общего веса арбузов) он оставил лежать до своего дня рождения, три самых маленьких арбуза (5/13 от общего веса оставшихся) он съел сразу, а остальные п̶о̶д̶а̶р̶и̶л̶ продал Карычу. Сколько всего арбузов он вырастил?

#олмат
#текстовыезадачи

322. На доске написано число 60. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить число на один из его натуральных делителей (в том числе на единицу или само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры