​​289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика

290. В строке 2, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 4 каждое из чисел от 1 до 4 встречается дважды, и количество запятых между одинаковыми числами равно этому числу. А можно ли записать такую строку для чисел от 1 до 2018?

#олмат
#7класс

​291. Паук и муха бегают по прямой. Известно, что скорость паука в двое больше скорости мухи. Но паук слепой и не видит муху, если только не находится с ней в одной точке. Верно ли, что паук всегда сможет догнать и съесть муху, где бы она ни находилась в начальный момент?

#олмат
#матигры

292. Функция f(x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f(f(x))=x имеет решение. Докажите, что уравнение f(x)=x также имеет решение.

#олмат
#матан
#алгебра

293. Докажите, что у любого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.

#олмат
#стереом

​​294. Группа туристов делит печенье. Если они разделят поровну две одинаковые пачки, останется одно лишнее печенье. А если разделят поровну три такие же пачки, останется 13 лишних печений. Сколько туристов в группе?

#олмат
#ммо
#7класс

295. В клетки доски 3×3 случайным образом поставили 4 фишки. Найдите вероятность того, что какие-то 3 из них находятся в одном столбце, в одной строке или на одной диагонали (фишки неразличимы).

#олмат
#теорвер

296. Дано 100 различных натуральных чисел, взяты все 4950 попарных сумм. Какое наибольшее количество степеней пятерок может быть среди них?

#олмат
#тч

297. Докажите, что из 11 различных двузначных чисел всегда можно выбрать два непересекающихся подмножества, средние арифметические чисел в каждом из которых равны.

#олмат
#10класс

​298. На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли при этом верхняя грань куба повернуться на 90° относительно своего начального положения?

#олмат
#инвариант

​​299. Никита и Аня по очереди ломают шоколадку 6×8, Никита начинает. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?

#олмат
#матигры

300. Даны два отрезка с длинами a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длиной корень из ab.

#олмат
#геом

301. Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

#олмат
#делимость

302. На единичной окружности произвольным образом отмечены 100 точек. Верно ли, что на этой окружности можно выбрать еще одну точку так, что сумма расстояний от нее до всех отмеченных точек будет не меньше 100?

#олмат

303. У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

#олмат
#графы

304. Имеются три автомата. Получив пару чисел (n,m), первый из них преобразует ее в пару (m,n), второй преобразует в пару (m,n−m), третий — в пару (m,n+m). Можно ли преобразовать пару (19,86) в пару (12,21)?

#олмат
#тч

​​305. У каждого марсианина по три руки и несколько антенн. Каждый марсианин взял за руки трех других (так, что все руки оказались заняты). Оказалось, что у любых двух марсиан, взявшихся за руки, количество антенн отличается ровно в 6 раз. Может ли суммарное количество антенн быть 2018?

#олмат
#графы
#тч

306. Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

#олмат
#8класс

307. На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них «+» так, чтобы сумма оказалась трехзначным числом. Какое наибольшее число может получиться?

#олмат
#оценкаплюспример

​​308. Есть куча из n спичек. Играют двое, ходят по очереди, за ход разрешается брать от 1 до 10 спичек, выигрывает взявший последнюю спичку. При каких n выигрывает начинающий?

#олмат
#матигры

​​309. Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

#олмат
#путешественники