266. Гири с массами 1,2,3..,27 разложили на кучки так, что в каждой кучке оказалась гиря, весящая столько же, сколько и остальные гири в этой кучке вместе. Найдите число кучек.

#олмат
#8класс

​​267. Сто карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры противника?

#олмат
#матигры

​​268. Мат в два хода за белых.

#шахматы

269. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

#олмат

270. В парламенте у каждого не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разделить на две палаты так, что у каждого парламентария в своей палате будет не более одного врага.

#олмат

271. Пусть n>2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

#олмат
#тч

272. Назовём число "куском", если оно представляет из себя записанные подряд натуральные числа от 1 до некоторого n больше 1 (например: 12345, 123456789101112). Докажите, что произведение двух "кусков" не может быть "куском".

#олмат
#тч

273. На доске выписаны числа 1,2,...,20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab+a+b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

#олмат
#9класс

​​​274. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает всех, но его не знает никто. Вы можете спросить любого человека из компании про любого другого человека, знает ли он его или нет, и получить честный ответ. За какое наименьшее число вопросов можно найти "шпиона" в этой компании?

#олмат
#оценкаплюспример

275. В дебатах участвовали 9 кандидатов. Каждый заявил: "Кандидат, чей номер равен последней цифре квадрата моего номера — рыцарь". Выяснилось, что среди них были рыцари, но их было не более трех. Кто из них кто?

#логика

276. Докажите, что если отразить ортоцентр (точка пересечения высот в треугольнике) относительно стороны или середины стороны, то он попадет на описанную окружность треугольника.

#олмат
#геом

​​277. Шеренга новобранцев стоит перед старшиной. Старшина командует: нале-ВО! Но по неопытности часть солдат поворачивается налево, а часть — направо. После этого каждую секунду происходит вот что: солдаты, оказавшиеся друг к другу лицом, понимают, что произошла ошибка, и оба поворачиваются кругом. Требуется доказать, что рано или поздно повороты прекратятся (при любом числе солдат и при любом их положении после команды).

#олмат

278. Доску 8×8 покрасили в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 присутствуют все цвета. Докажите, что все угловые клетки таблицы покрашены в разные цвета.

#олмат
#раскраски

279. В строке написано несколько минусов. Двое по очереди исправляют один или два соседних минуса на плюс. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

280. Докажите, что число 100! не является полным квадратом.

#олмат
#тч
#бессмертнаяклассика

281. Сложили числа 9, 99, 999, …, 99…99 (20 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы?

#олмат
#7класс

​​282. (Ханойские башни) Eсть три стержня и n колец разного размера (изначально все кольца на одном стержне). Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Докажите, что для любого n можно всю башню переложить с одного стержня на другой.

#олмат
#бессмертнаяклассика

​283. В шахматном турнире участвовало 10 человек. Турнир проходил в 4 круга. В одном круге каждый человек играл со всеми другими (победа - 1 очко, ничья 0.5 очков, проигрыш - 0 очков). Какая наибольшая разница очков могла быть между двумя соседними игроками после окончания турнира?

#олмат
#турниры

​284. На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?

#олмат
#матигры

285. Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

#олмат
#алгебра

286. На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого были ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

#олмат
#всерос
#9класс