​257. Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдет все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?

#олмат
#информатика
#9класс

258. Верно ли, что среди чисел вида 2ⁿ+4ᵏ бесконечно много являются квадратами?

#олмат
#тч

259. Можно ли расставить в квадрате 3×3 различные числа Фибоначчи, чтобы он стал магическим? (Магический квадрат - это квадрат, в котором суммы чисел во всех столбцах, строках и на двух главных диагоналях равны)

#олмат
#9класс
#тч

260. Верно ли, что что из всякого связного графа можно удалить вершину и все выходящие из нее ребра так, чтобы он остался связным?

#олмат
#графы

​261. На шахматную доску выставили 11 белых фигур. Докажите, что можно поставить на доску черного коня так, что он не будет бить ни одну из белых фигур.

#олмат
#шахматы

262. Докажите, что среди чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4,... найдутся 2018 чисел, которые образуют арифметическую прогрессию.

#олмат
#тч

263. Квадрат n×n разрезали на n² прямоугольников (n-1)-ой горизонтальной и (n-1)-ой вертикальной прямой. Затем раскрасили все прямоугольники в шахматном порядке. Оказалось, что главная диагональ, клетки которой покрашены в черный цвет, состоит только из квадратов. Докажите, что суммарная площадь черных прямоугольников не меньше суммарной площади белых.

#олмат
#10класс

264. Могут ли обе декартовы координаты всех вершин равностороннего треугольника быть целыми числами?

#олмат
#геометрия
#тч
#бессмертнаяклассика

265. На острове живут 33 рыцаря, а также лжецы и фантазеры. Каждого жителя этого острова по очереди спросили "Сколько среди вас рыцарей?". Было получено 10 различных ответов, каждый из которых был назван более, чем одним жителем. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда называют неверное число, которое еще не было названо, а фантазеры всегда называют число, которое на единицу больше предыдущего ответа. Обязательно ли было названо число 40?

#олмат
#8класс
#логика

266. Гири с массами 1,2,3..,27 разложили на кучки так, что в каждой кучке оказалась гиря, весящая столько же, сколько и остальные гири в этой кучке вместе. Найдите число кучек.

#олмат
#8класс

​​267. Сто карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры противника?

#олмат
#матигры

​​268. Мат в два хода за белых.

#шахматы

269. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

#олмат

270. В парламенте у каждого не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разделить на две палаты так, что у каждого парламентария в своей палате будет не более одного врага.

#олмат

271. Пусть n>2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

#олмат
#тч

272. Назовём число "куском", если оно представляет из себя записанные подряд натуральные числа от 1 до некоторого n больше 1 (например: 12345, 123456789101112). Докажите, что произведение двух "кусков" не может быть "куском".

#олмат
#тч

273. На доске выписаны числа 1,2,...,20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab+a+b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

#олмат
#9класс

​​​274. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает всех, но его не знает никто. Вы можете спросить любого человека из компании про любого другого человека, знает ли он его или нет, и получить честный ответ. За какое наименьшее число вопросов можно найти "шпиона" в этой компании?

#олмат
#оценкаплюспример

275. В дебатах участвовали 9 кандидатов. Каждый заявил: "Кандидат, чей номер равен последней цифре квадрата моего номера — рыцарь". Выяснилось, что среди них были рыцари, но их было не более трех. Кто из них кто?

#логика

276. Докажите, что если отразить ортоцентр (точка пересечения высот в треугольнике) относительно стороны или середины стороны, то он попадет на описанную окружность треугольника.

#олмат
#геом

​​277. Шеренга новобранцев стоит перед старшиной. Старшина командует: нале-ВО! Но по неопытности часть солдат поворачивается налево, а часть — направо. После этого каждую секунду происходит вот что: солдаты, оказавшиеся друг к другу лицом, понимают, что произошла ошибка, и оба поворачиваются кругом. Требуется доказать, что рано или поздно повороты прекратятся (при любом числе солдат и при любом их положении после команды).

#олмат